Restgæld

Betaler man et lån af over flere terminer vil efter hver termin have nedbragt sin gæld. Gældens størrelse på et givet tidspunkt kaldes restgælden. I afsnittet om amortisationstabeller så vi, at man kan finde restgælden ved at lave en amortisationstabel. Der er imidlertid en hurtigere metode:

Sætning 1

📌

Restgælden $$R_t$$ efter $$t$$ terminer for et lån med en hovedstol på $$A_0$$, en ydelse på $$y$$ og en rentefod på $$r$$, kan bestemmes med følgende formel: $$$R_t=A_0\cdot (1+r)^t-y\frac{(1+r)^t-1}{r}$$$

Eksempel 1

📌

Vi vil bestemme restgælden efter 7 terminer for et lån med en hovedstol på 10.000 kr, en ydelse på 1.000 kr. og en rentefod på 2%: \begin{align}R_t & =A_0\cdot (1+r)^t-y\frac{(1+r)^t-1}{r} \\ & = 10000\cdot (1+0{,}02)^7-1000\frac{(1+0{,}02)^7-1}{0{,}02}\\ & = 4052{,}57\end{align} Altså er restgælden efter 7 terminer 4052{,}57 kr.

Øvelse 1

📌

Lille Sigismund låner 5.000 kr. til sprut og damer. Han betaler lånet tilbage med en ydelse på 100 kr. hver måned. Renten er 18 % p.a.

  1. Bestem rentefoden

    $$r=0{,}015$$

  2. Bestem vha. sætning 1 restgælden efter 18 terminer.

    $$R_{18}=4487{,}77$$

Hvor kommer restgældsformlen fra?

Den kvikke læser har måske bemærket at dele af restgældsformlen virker bekendt. Første led i restgældsformlen er $$$A_0\cdot (1+r)^t$$$ Det er jo fremskrivningsformlen i forklædning. Altså første del af formlen består af hovedstolen skrevet frem med $$t$$ terminer. Næste del er: $$$y\frac{(1+r)^t-1}{r}$$$ men hov det er jo formlen for fremtidsværdien af en annuitet efter $$t$$ terminer. Så anden del af formlen består af ydelsernes værdi efter $$t$$ terminer inklusiv rente.

Når man tænker sig om (hvilket man altid skal passe på med), så er det ikke så mærkeligt, at restgælden kan findes ved at fremskrive gælden $$t$$ terminer og så fratrække ydelsernes værdi efter $$t$$ terminer. Det er jo det man skylder, havde man ikke betalt noget tilbage, fratrukket det man faktisk har betalt tilbage. Det må være restgælden efter $$t$$ terminer.