Monotoniforhold

Monotoniforhold er en beskrivelse af hvor en funktion er voksende og hvor den er aftagende.

Eksempel 1

📌

Vi ser på to grafer:

Graf Graf

Funktionen til venstre er voksende og funktionen til højre er aftagende. Matematik er svært.

Øvelse 1

📌

Nedenunder ses grafen for en funktion $$f$$.

Graf

Bestem monotoniforholden for $$f$$.

Funktionen $$f$$ er voksende.

Eksempel 2

📌

Her er grafen for en funktion $$f$$:

Graf

Det ses af når vi kommer fra venstre, starter funktionen med at være aftagende og bliver så voksende når vi kommer hen på den anden side af nul:

Graf

Monotoniforholdene er derfor:

$$f$$ er aftagende for $$x\in]-\infty;0]$$ og $$f$$ er voksende for $$x\in[0;\infty[$$.

Man kan undre sig over hvorfor $$0$$ er med i begge intervaller. Sådan er det altid når man laver monotoniforhold - den $$x$$-værdi hvor funktionen skifter fra aftagende til voksende (eller omvendt) tilhører begge intervaller. Der følger en forklaring til sidst i dette afsnit.

Øvelse 2

📌

Nedenunder ses grafen for en funktion $$f$$.

Graf

Bestem monotoniforholden for $$f$$.

$$f$$ er voksende for $$x\in [-1;0{,}5]$$ og $$f$$ er aftagende for $$x\in[0{,}5;\infty[$$.

Øvelse 3

📌

Nedenunder ses grafen for en funktion $$f$$.

Graf

Bestem monotoniforholden for $$f$$.

$$f$$ er aftagende for $$x\in ]-\infty;-2]$$.
$$f$$ er voksende for $$x\in [-2;1]$$.
$$f$$ er aftagende for $$x\in[1;3]$$.
$$f$$ er voksende for $$x\in [3;4[$$.

Formel definition af monotoniforhold (svært og kan springes over)

Indtil videre har vi brugt en intuitiv definition af monotoniforhold: En funktion er voksende hvis den går op ad! Den intuitive definition er dog ikke tilstrækkelig til at forklare hvorfor den $$x$$-værdi hvor funktionen vender skal tilhøre begge mononiintervaller. Dette bliver imidlertid klart med følgende mere præcise definition:

Definition 1

📌

En funktion siges at være voksende i et interval $$I$$ hvis der får alle $$x_1\in I$$ og $$x_2\in I$$ gælder at $$f(x_2)>f(x_1)$$ når $$x_2>x_1$$.

En funktion siges at være aftagende i et interval $$I$$ hvis der for alle $$x_1\in I$$ og $$x_2\in I$$ gælder at $$f(x_2)<f(x_1)$$ når $$x_2>x_1$$.

Øvelse 4 (meget svær)

📌
Benyt definition 1 til at redegøre for hvorfor den $$x$$-værdi hvor funktionen vender skal tilhøre begge mononiintervaller.

Spørg mig!

Øvelse 5 (meget svær)

📌

Vi kigger igen på grafen fra øvelse 3.

Man kunne have lyst til at opskrive monotoniintervallerne på følgende måde:

$$f$$ er aftagende for $$x\in ]-\infty;-2]\cup [1;3]$$.
$$f$$ er voksende for $$x\in [-2;1]\cup [3;4[$$.

Men det ville være forkert!!!!!!

Hvorfor?

Spørg mig