Differentialregning - Beviser

Bevis for differentialkvotienten for en lineær funktion

Vi vil bevise sætningen

Sætning 1

📌

For en lineær funktion $$f(x)=ax+b$$ er differentialkvotienten givet ved $$f'(x)=a$$.

i en øvelse!

Øvelse 1

📌
Brug tretrinsreglen til at bevise ovenstående sætning

Du går til tavlen og viser mig det:-)

Bevis for tangentens ligning

Vi vil nu bevise den sætning der kan bruges til at bestemme tangentens ligning. Fremgangsmåden er magen til den vi brugte til at finde tangentens ligning inden sætningen blev introduceret.

Første skridt

Vi starter med at opskrive sætningen

Sætning 2

📌

Lad $$f$$ være en differentiabel funktion. Da er tangenten gennem punktet $$(x_0,f(x_0))$$ givet ved ligningen: $$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$$

Næste skridt

Bevis

Tangenten er en linje med ligningen $$y=ax+b$$. Vi skal bestemme $$a$$ og $$b$$.

Næste skridt

Vi starter med $$a$$. Vi husker at man kan bruge differentialkvotienten til at finde hældningen. Så tangentens hældning $$a$$ i punktet $$(x_0,f(x_0))$$ er givet ved $$f'(x_0)$$.

Næste skridt

Vi vil nu bestemme $$b$$. Det gør vi ved at indsætte i ligningen $$y=ax+b$$. Vi ved at $$a=f'(x_0)$$ så det kan vi sætte ind: $$$y=f'(x_0)x+b.$$$

Næste skridt

Vi ved også at tangenten går igennem $$(x_0,f(x_0))$$ så det punkt skal passe ind i tangentens ligning, når vi udskifter $$x$$ med $$x_0$$ og $$y$$ med $$f(x_0)$$:

$$$f(x_0)=f'(x_0)x_0+b.$$$

Næste skridt

Vi isolerer $$b$$

$$$b=f(x_0)-f'(x_0)x_0$$$

Næste skridt

Nu har vi både $$$a=f'(x_0)$$$ og $$$b=f'(x_0)x_0-f(x_0)$$$ som vi sætter ind i ligningen $$y=ax+b$$: $$$y=f'(x_0)x+f(x_0)-f'(x_0)x_0.$$$

Næste skridt

Vi bytter rundt på rækkefølgen: $$$y=f'(x_0)x-f'(x_0)x_0+f(x_0),$$$

Sidste skridt

og sætter $$f'(x_0)$$ ud foran en parentes $$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$$ og vi er færdige!

Beviser for regler for opbyggede funktioner

Vi vil nu bevise nogle af reglerne for differentiation af opbyggede funktioner. Vi bruger selvfølgelig tretrinsreglen.

$$h(x)=k\cdot f(x)$$:

Første skridt

Vi starter at med at opskrive den sætning vi gerne vil vise.

Sætning 3

📌

Lad $$f$$ være en differentiabel funktion og $$k$$ en konstant. Da er $$h(x)=k\cdot f(x)$$ differentiabel og differentialkvotienten er $$h'(x)=k\cdot f'(x)$$.

Næste skridt

Bevis

Vi bruger tretrinsreglen:

Trin 1: Opskriv differenskvotienten:

$$$\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Da $$h(x+\Delta x)=k\cdot f(x+\Delta x)$$ og $$h(x)=k\cdot f(x)$$ bliver differenskvotienten til:

$$$\frac{k\cdot f(x+\Delta x)-k\cdot f(x)}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Trin 2: Vi skal nu reducere differenskvotienten. Vi sætter $$k$$ ud foran en parentes: $$$\frac{k( f(x+\Delta x)- f(x))}{\Delta x},$$$

Næste skridt

og flytter $$k$$ ned foran brøken: $$$k\frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Trin 3: Vi skal nu undersøge om differenskvotienten har en grænseværdi for $$x$$ gående mod nul. Vi skal altså kigge på:

$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( k\frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}\big).$$$

Næste skridt

Vi flytter $$k$$ ud foran "lim":

$$$k\cdot\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( \frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}\big).$$$

Vi mangler i princippet et argument for at det er tilladt at flytte $$k$$ ud foran "lim", men vi springer let hen over det, mens vi bemærker at det intuitivt giver mening:)

Sidste skridt

Da $$f$$ er differentiabel er

$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( \frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}\big)=f'(x).$$$

Så vi får:

$$$k\cdot\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( \frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}\big)= k\cdot f'(x),$$$

og $$h$$ er altså differentiabel med differentialkvotient $$h'(x)=k\cdot f'(x)$$.

$$h(x)=f(x)+g(x)$$:

Første skridt

Vi vil gerne bevise at:

Sætning 4

📌

Lad $$f$$ og $$g$$ være differentiable funktioner. Da er $$h(x)=f(x)+g(x)$$ differentiabel og differentialkvotienten er $$h'(x)=f'(x)+g'(x)$$.

Næste skridt

Bevis

Vi bruger tretrinsreglen:

Trin 1: Opskriv differenskvotienten:

$$$\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Da $$h(x+\Delta x)=f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)$$ og $$h(x)=f(x)+g(x)$$ bliver differenskvotienten til:

$$$\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-(f(x)+g(x))}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Trin 2: Vi skal nu reducere differenskvotienten. Vi ophæver parentesen i tælleren:$$$\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-f(x)-g(x)}{\Delta x},$$$

Næste skridt

og ændrer lidt på rækkefølgen: $$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Vi deler brøken op: $$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.$$$

Næste skridt

Trin 3: Vi skal nu undersøge om differenskvotienten har en grænseværdi for $$x$$ gående mod nul. Vi skal altså kigge på:

$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\big).$$$

Næste skridt

Det kan vi omskrive til:

$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.$$$

Vi mangler i princippet et argument for at det er tilladt at dele grænseværdien op i to, men vi springer let hen over det, mens vi bemærker at det intuitivt giver mening:)

Sidste skridt

Da $$f$$ og $$g$$ er differentiable er:

$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}=f'(x)$$$

og

$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{g(x+\Delta x)- g(x)}{\Delta x}=g'(x).$$$

Så vi får:

$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=f'(x)+g'(x).$$$

og $$h$$ er altså differentiabel med differentialkvotient $$h'(x)=f'(x)+g'(x)$$.

Øvelse 2

📌

Reglen for differens ligner reglen for sum ($$h(x)=f(x)+g(x)$$) og bevises på tilsvarenden måde

Sætning

Lad $$f$$ og $$g$$ være differentiable funktioner. Da er $$h(x)=f(x)-g(x)$$ differentiabel og differentialkvotienten er $$h'(x)=f'(x)-g'(x)$$.

Bevis sætningen

Spørg mig.

Der er flere beviser i afsnittet "Ekstra udfordringer".