Kritiske værdier

Princippet i en $$\chi^2$$-test er altså vi udrener $$\chi^2$$ som er et mål for hvor stor afvigelsen er mellem det forventede og det observerede. Er afvigelsen for stor forkaster vi. Indtil videre har vi argjort om vi forkaster eller accepterer ved at sammenligne $$p$$-værdien med signifikansniveauet. Dette kræver dog et værktøj til at finde $$p$$-værdien. Har man ikke sådan et værktøj er der en anden mulighed, nemlig at lave en tabel som viser hvor stor $$\chi^2$$ må være før vi forkaster - disse værdier kaldes kritiske værdier. Et udsnit af en sådan tabel ses nedenunder:

df $$\chi^2_{0{,}90}$$ $$\chi^2_{0{,}95}$$ $$\chi^2_{0{,}99}$$
1 2,71 3,84 6,63
2 4,61 5,99 9,21
3 6,25 7,81 11,34

I tabellen har vi frihedsgraderne i venstre søjle og i resten af søjlerne har vi de kritiske værdier for signifikansniveauerne hhv. $$\alpha=10\%$$, $$\alpha=5\%$$ og $$\alpha=1\%$$.

Eksempel 1

📌

Antag at vi har vi er ved at lave en $$\chi^2$$-test med et signifikansniveau på $$1\%$$, med 2 frihedsgrader og vi har fået $$\chi^2=5{,}13$$. For at finde ud af om vi skal forkaste eller accepterer skal vi sammenligne med $$\chi^2=5{,}13$$ med $$\chi^2_{0{,}99}=9{,}21.$$ Da vores $$\chi^2$$-værdi er mindre end den kritiske værdi vil vi acceptere $$H_0$$.

Øvelse 1

📌

Antag at vi har vi er ved at lave en $$\chi^2$$-test et signifikansniveau på $$5\%$$ med 3 frihedsgrader og vi har fået $$\chi^2=8$$.

Afgør om vi skal forkaste eller acceptere $$H_0.$$

Vi forkaster da $$8>7{,}81$$.

Vi vil nu forklare hvordan tabellen er bygget op. Fra tidligere ved vi, at vi forkaster hvis $$p$$-værdien er mindre end eller lig med signifikansniveauet. Derfor kan vi finde de kritiske værdier ved at finde den $$\chi^2$$-værdi som giver en $$p$$-værdi, der er lig med signifikansniveauet, da den vil markere grænsen mellem hvor vi forkaster og hvor vi accepterer.

Eksempel 2

📌

Vi vil nu eftervise at det er rigtigt, at hvis signifikansniveauet er på 10% i en test med 2 frihedsgrader, så vil vi have en kritisk værdi på 4,61. Vi åbner sandsynlighedslommeregneren i Geogebra, finder $$\chi^2$$-fordelingen og indskriver antallet af frihedsgrader og signifikansniveaet:

Screenshot

Vi kan se, at sandsynligheden for at få en $$\chi^2$$-værdi som er mindre eller lig med 10% er 4,61.

Øvelse 2

📌
Bestem den kritiske værdi for en $$\chi^2$$-test med 6 frihedsgrader og et signifikansniveau på 5%.

$$\chi^2_{0{,}95}=12{,}59$$

Man kan undre sig lidt over betegnelsen for de kritiske værdier. Altså hvorfor vi skriver f.eks. $$\chi^2_{0{,}95}$$ for den kritiske værdi når signifikansniveauet er på 5%. For et signifikansniveau på 5% er den kritiske værdi $$\chi^2_{\textrm{kritisk}}$$den $$\chi^2$$-værdi, hvor $$P(\chi^2\geq \chi^2_{\textrm{kritisk}})=0{,}05$$. Men dette er jo det samme som den $$\chi^2$$-værdi, hvor $$P(\chi^2\leq \chi^2_{\textrm{kritisk}})=0{,}95$$, og denne værdi kaldes 0,95-fraktilen og betegnes med $$\chi^2_{0{,}95}$$.

Øvelse 3

📌
Hvordan betegnes den kritiske værdi når signifikansniveauet er på 7%?

Den betegnes $$\chi^2_{0{,}93}$$