Annuitetsopsparing

Forstil dig at du hver måned sætter 1000kr. ind på en konto, som bliver tilskrevet en fast månedlig rente. En sådan opsparing kaldes en annuitetsopsparing. En annuitetsopsparing er altså, når vi indsætter et fast beløb, hver termin på en konto med en fast rentefod. Vi bruger følgende betegnelser:

Betegnelse Betydning
$$y$$ Ydelsen: Det beløb vi indsætter, hver termin. Det er et fast beløb.
$$n$$ Antallet af ydelser.
$$r$$ Rentefoden som decimaltal
$$A_n$$ Slutbeløbet på kontoen efter $$n$$ indbetalinger. Kaldes også fremtidsværdien.

Dette kan vi illustrere på en tidslinje:

Tidslinje

Det er slet ikke så nemt lige at tænke sig til, hvordan man regner fremtidsværdien $$A_n$$. Problemet er, at vi har en masse ydelser. som får tilskrevet renter et forskelligt antal gange. Den første ydelse man indbetaler får tilskrevet masse renter, mens det sidste slet ikke får tilskrevet nogle. Heldigvis har vi en formel til hjælp:

Sætning 1

📌

Fremtidsværdien af en annuitet kan beregnes ved følgende formel: $$$A_n=y\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}$$$

Eksempel 1

📌

Anais sætter 1.000 kr. ind på en konto, hver termin i 10 terminer. Rentefoden er på 1%. Vi vil bruge sætning 1 til at beregne hvor mange penge Anais kan hæve efter 10 terminer. Altså skal vi finde $$A_n$$ når $$y=1000$$, $$n=10$$ og $$r=0{,}01$$. Vi har formlen $$$A_n=y\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}$$$ og vi sætter vores tal ind $$$A_{10}=1000\cdot\frac{(1+0{,}01)^{10}-1}{0{,}01}$$$ og så skal vi passe på når vi taster det ind. For er man ikke så god til at sætte parenteser kan det nemt gå galt. Er man i tvivl om hvordan parenteserne skal sættes er den nemmest at udregne stykket lidt ad gangen. Sådan her: $$$\begin{align} A_{10}&=1000\cdot\frac{(1+0{,}01)^{10}-1}{0{,}01}\\&=1000\cdot\frac{0{,}104622125}{0{,}01}\\&=1000\cdot 10{,}4622125\\&=10462{,}21\end{align}$$$ Anais kan altså hæve 10462,21 kr efter 10 terminer.

Øvelse 1

📌
  1. Hvor mange penge har Anais fra eksempel 1 i alt sat ind på kontoen?

    10.000 kr.

  2. Hvor mange penge har Anais fået tilskrevet i renter?

    462,21 kr.

Øvelse 2

📌

Lille Gysse opretter en konto i banken og sætter 200 kr. ind hver måned. Kontoen bliver tilskrevet en månedlig rente på 0,5%.

  1. Bestem rentefoden $$r$$ i decimaltal.

    r=0,005

  2. Beregn hvor mange penge Lille Gysse har på sin konto efter 27 indbetalinger.

    Lille Gysse har 5766,07 kr. på sin konto efter 27 indbetalinger.

Ligesom ved kapitalfremskrivning findes formlen for annuitetsopsparing i flere versioner:

Fremtidsværdi Ydelse Antallet af ydelser
$$A_n=y\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}$$ $$y=\frac{A_n\cdot r}{(1+r)^n-1}$$ $$n=\frac{\ln(\frac{A_n\cdot r}{y}+1)}{\ln(1+r)}$$

Der er desværre ingen formel for renten, så der er du nødt til at prøve dig frem.

Øvelse 3

📌

Martins mor har lavet en børneopsparing til Martin. Hun har hver måned sat et hemmeligt beløb ind på kontoen som er blevet tilskrevet en månedlig rente på 0,4%. Efter 216 indbetalinger på Martins 18 års fødselsdag hæver han hele sin børneopsparing. Han modtager 34213,67 kr.

Hvor mange penge satte Martins mor ind hver måned?

Hun satte 100 kr. ind hver måned.

Øvelse 4

📌

Michael indsætter hvert kvartal 500 kr. ind på en konto. Renten er 12% pa. og der er kvartårlige rentetilskrivninger.

  1. Bestem rentefoden som decimaltal.

    r=0,03

  2. Efter nogle år har Michael 46359,93 kr. på kontoen. Hvor mange indbetalinger har Michael lavet? Hvor mange år er der gået?

    Michael har fortaget 45 indbetalinger dvs. der er gået 11 år (hvorfor?)

Øvelse 5

📌
Som vi har set, betegner vi antallet af ydelser med $$n$$, men hvis der er $$n$$ ydelser, hvor mange terminer er der så?

Der er $$n-1$$ terminer.