Kombinatorik

Størrelsen "n-fakultet"

Kombinatorik handler om, hvor mange forskellige måder noget kan gøres på. Altså hvor mange kombinationer man kan lave. Måske kender i tælletræer fra folkeskolen? Kombinatiorik er et stort og spændende emne, men vi skal kun kigge på enkelte begreber, som danner forudsætning for at vi kan forstå den mere avancerede sandsynlighedsregning som kommer senere. Vi starter med at definere "n-fakultet":

Definition 1

📌

Vi definerer $$n$$-fakultet (skrives som $$n!$$) ved $$$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$$$

Eksempel 1

📌

Vi udregner $$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$$.

Eksempel 2

📌

Har man 20 elever som gerne vil købe en billet til et fest, så kan man finde ud af, hvor mange muligheder der er for at danne køen til elevcenteret. På den første plads kan der stå 20 elever. For hver at de 20 muligheder er der 19 muligheder for den efterfølgende elev, dvs. $$20\cdot 19$$ i alt. For hver af de $$20\cdot 19$$ muligheder er der nu 18 muligheder for den næste, dvs. $$20\cdot 19\cdot 18$$ i alt osv.

I sidste ende får vi altså antallet af muligheder til at blive: $$$20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdots 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=20!$$$

Vi kan altså se, at fakultet er nyttigt til at løse praktiske problemer.

Binomialkoefficienter

Vi skal nu se på et lidt mere kompliceret kombinatorisk problem. Forstil jer at der kun er to billetter tilbage til en skolefest og der er 5 elever som gerne vil med. Hvor mange måder er der at fordele billetterne på? Vi kan illustrere et eksempel:

Navn Wan Dennis Jeffrey Daniel Jellow
Får billet x x

Her får altså Jeffrey og Jellow en billet. Men hvordan regner vi ud hvor mange muligheder der er?

Definition 2

📌

Binomialkoefficienten $$K(n,r)$$ er antallet af måder man kan sætte r krydser på $$n$$ pladser.

Sætning 1

📌

Binomialkoefficienten $$K(n,r)$$ kan bestemmes ved formlen $$$K(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$$

Eksempel 3

📌

Ved hjælp af sætning 1 kan vi bestemme antallet af måder, vi kan fordele billetterne i den før nævnte situation. Vi har to krydser så $$r=2$$ og vi har 5 pladser så $$n=5$$. Vi udregner: $$$K(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{120}{12}=10$$$ Atlså er der 10 måder billetterne kan fordeles på.

Øvelse 1

📌
Hvor mange måder kan man fordele 3 billetter til 6 mennesker?

Der er 20 muligheder.

Øvelse 2 (lidt svær)

📌

En elev skal holde fødselsdagsfest for klassen. Eleven har 8 store beholdere fyldt med 8 forskelllige slags slik. Eleven vil gerne lave slikposer med 4 forskellige stykker slik i hver, og der må ikke være to ens poser. Du skal gå ud fra at klassen har en normal størrelse.

Kan det lade sig gøre?

JA!