Andengradspolynomier

Vi har set at der findes polynomier af alle mulige grader. Nulte og førstegradspolynomier er jo bare lineære funktioner, og dem ved vi allerede en del om. Så det næste skridt er at lære om andengradspolynomier, hvilket dette afsnit handler om.

Et andengradspolynomium er altså en funktion på formen $$f(x)=ax^2+bx+c$$, hvor $$a≠0$$ (betyder at $$a$$ ikke må være nul).

Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel kan f.eks. se således ud:

Graf
Glad parabel

Ovenstående parabel kaldes en "glad" parabel fordi den ser glad ud. Synes man det er lidt fjollet kan man kalde den en "konveks" parabel. Vender benene i stedet nedad, kaldes parablen "sur" eller "konkav":

Graf
Sur parabel

Øvelse 1

📌

Åben Geogebra og skriv "ax^2+bx+c" i inputfeltet. Sig "ja" til at oprette skydere.

Ved at trække i skyderne kan du ændre parablens form og placering.

  1. Hvilken betydning har koefficienten $$a$$ for parablens form og/eller placering?

    Hvis $$a$$ er positiv vil parablen være glad, er $$a$$ negativ vil den være sur. Er $$a$$ tæt på 0 er parablen meget "bred og flad" og bliver "højere og tyndere" jo længere væk $$a$$ er fra 0.

  2. Hvilken betydning har koefficienten $$b$$ for parablens form og/eller placering?

    Nem forklaring: $$b$$ er med til at bestemme parablens placering men ikke dens form. Svær forklaring: $$b$$ er tangentens hældning i skæringspunktet med $$y$$-aksen:

    Graf

  3. Hvilken betydning har koefficienten $$c$$ for parablens form og/eller placering?

    Parablen skærere $$y$$-aksen i $$c$$:

    Graf

Diskriminant

Nu skal vi lære om diskriminanten. Diskriminanten er en størrelse som viser sig at være nyttig senere hen.

Definition 1

📌

For et andengradspolynomium $$f(x)=ax^2+bx+c$$ er diskriminanten $$d$$ defineret ved: $$$d=b^2-4ac.$$$

Som skrevet vil det vise sig hvad den kan bruges til... Indtil videre er det bare noget man kan regne ud.

Eksempel 1

📌

Vi vil finde diskriminanten for polynomiet $$f(x)=2x^2+3x-1$$. Vi aflæser $$a=2$$, $$b=3$$ og $$c=-1$$. Diskriminanten bliver så $$$d=b^2-4ac=3^2-4⋅2⋅(-1)=9+8=17.$$$ Altså $$d=17$$.

Øvelse 2

📌

Bestem diskriminanten for følgende polynomier:

  1. $$f(x)=2x^2-4x+1$$

    $$d=8$$

  2. $$f(x)=x^2+2x-2$$

    $$d=12$$

  3. $$f(x)=-x^2$$

    $$d=0$$

  4. $$f(x)=x^2-4$$

    $$d=16$$

Diskriminanten kan bl.a. bruges til at finde toppunktet. Toppunktet for et andengradspolynomium er det punkt hvor parablen er i top eller i bund:

Graf Graf

Sætning 1

📌

Toppunktet for et andengradspolynomium $$f(x)=ax^2+bx+c$$ med diskriminant $$d$$, kan bestemmes ved følgende formel: $$$T=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-d}{4a}\right).$$$

Eksempel 2

📌

Lad $$f(x)=-x^2+2x-1$$. Vi vil gerne finde toppunktet. Vi kan se i sætning 1 at diskriminanten optræder i formlen for toppunktet, så det er god ide at bestemme diskriminanten først, synes du ikke? $$$d=b^2-4ac=2^2-4⋅(-1)⋅(-1)=0$$$ Toppunktet kan så bestemmes: $$$T=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-d}{4a}\right)=\left(\frac{-2}{2\cdot -1};\frac{0}{4\cdot (-1)}\right)=\left(\frac{-2}{-2};\frac{0}{-4}\right)=\left(1;0\right)$$$ Altså toppunktet er $$(1;0)$$.

Øvelse 3

📌

Beregn Toppunktet for følgende funktioner

  1. $$f(x)=2x^2-4x+1$$

    Se øvelse 4 nedenunder

  2. $$f(x)=2x^2$$

    Se øvelse 4 nedenunder

  3. $$f(x)=-x^2+2$$

    Se øvelse 4 nedenunder

  4. $$f(x)=2x^2+4x+5$$

    Se øvelse 4 nedenunder

Øvelse 4

📌
Tegn i Geogebra graferne for funktionerne i øvelse 3 og tjek om dine beregninger passer.

Seføli' passer de. Du er jo god!

Vi har tidligere lært om nulpunkter. Vi husker, at det er der hvor funktionen skærer x-aksen. Man finder dem ved at løse ligningen $$f(x)=0$$. Denne ligning kan umiddelbart være lidt svær at løse når $$f(x)$$ er et andengradspolynomium. Dette skyldes at et andengradspolynomium typisk indeholder både $$x$$ og $$x^2$$ og derfor kan det være lidt svært at få $$x$$ til at stå alene i ligningen. I stedet har vi følgende sætning til finde nulpunkterne:

Sætning 2

📌

For et andengradspolynomium $$f(x)=ax^2+bx+c$$ med diskriminant $$d$$ gælder:

  • Hvis $$d<0$$ så er der ingen nulpunkter.
  • Hvis $$d=0$$ så er der et nulpunkt og det er bestemt ved $$$x=\frac{-b}{2a}$$$
  • Hvis $$d>0$$ så er der to nulpunkter. Kalder vi nulpunkterne $$x_1$$ og $$x_2$$, kan de findes ved formlerne $$$x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\quad\textrm{ og }\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}$$$

Ud fra sætning 2 kan vi se, at diskriminanten fortæller os, hvor mange nulpunkter der er.

Eksempel 3

📌

Lad $$f(x)=-x^2-2$$. Da er$$$d=b^2-4ac=0^2-4(-1)(-2)=-8.$$$ Derfor har $$f$$ ifølge sætning 2 ingen nulpunkter.

Eksempel 4

📌

Lad $$f(x)=2x^2$$. Da er $$$d=b^2-4ac=0^2-4⋅2⋅0=0.$$$ Ifølge sætning 2 har $$f$$ et nulpunkt: $$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-0}{2⋅2}=\frac{-0}{4}=0.$$$ Vi konkluderer at $$f$$ har $$x=0$$ som sit eneste nulpunkt.

Eksempel 5

📌

Lad $$f(x)=x^2-4$$. Da er $$$d=b^2-4ac=0^2-4⋅1(-4)=0+16=16.$$$ Ifølge sætning 2 er der to nulpunkter og de bestemmes ved $$$x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{-0+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$$$ og $$$x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{-0-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2.$$$ Altå $$f$$ har nulpunkterne $$x_1=2$$ og $$x_2=-2$$.

Øvelse 5

📌

Beregn nulpunkterne for

  1. $$f(x)=-x^2$$

    Se øvelse 6 nedenunder

  2. $$f(x)=x^2+2x+1$$

    Se øvelse 6 nedenunder

  3. $$f(x)=x^2-9$$

    Se øvelse 6 nedenunder

  4. $$f(x)=x^2+x-2$$

    Se øvelse 6 nedenunder

  5. $$f(x)=x^2-7x+12$$

    Se øvelse 6 nedenunder

Øvelse 6

📌
Tjek resultaterne fra øvelse 5 grafisk ved hjælp af dit yndlingsgrafprogram.

Seføli' passer de. Du er jo god!