Introduktion til normalfordeling

Hvis vi nu var gode til matematik ville vi definere en normalfordeling på følgende måde:

Definition 1 (for svær)

📌

En normalfordeling er en sandsynlighedsfordeling givet ved tæthedsfunktionen: $$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },$$$ hvor $$\mu$$ er middelværdien og $$\sigma$$ er standardafvigelsen.

Ud fra definitionen kan vi se, at normalfordelingen kun afhænger af $$\sigma$$ og $$\mu$$, da det er de to eneste parametrer i funktionen ud over $$x$$. Der er dog to problemer.

Vores løsning til disse problemer er at glemme forskriften og i stedet tænke på en normalfordeling som:

Definition 2 (nemmere men upræcis)

📌

En normalfordeling er en sandsynlighedsfordeling kendetegnet ved en klokkeformet tæthedsfunktion.

Normalfordelingen er fastlagt ved middelværdien $$\mu$$ og standardafvigelsen $$\sigma$$.

Middelværdien er $$X$$-værdien til det punkt hvor tæhedsfunktionen har sit maksimum og tæhedsfunktionen er symmetrisk omkring middelværdien.

Har vi sådan en sandsynlighedsfordeling siger vi at $$X$$ er en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi $$\mu$$ og standardafvigelsen $$\sigma$$ skriver vi $$X\sim N(\mu,\sigma)$$.

Nedenunder ses en normalfordeling. Træk i skyderne for $$\mu$$ og $$\sigma$$ og du kan se, hvordan tæthedsfunktionen ser ud for forskellige normalfordelinger.

Øvelse 1

📌

Ved at trække i skyderne ovenover skal du undersøge hvad det betyder for tæthedsfunktionens udseende når:

  1. Standardafvigelsen er stor.

    Tæthedsfunktionen er flad

  2. Standardafvigelsen er lille.

    Tæthedsfunktionen er smal

  3. Middelværdien er stor.

    Tæthedsfunktionen forskydes til højre.

  4. Middelværdien er lille.

    Tæthedsfunktionen forskydes til venstre.

Øvelse 2

📌
Forklar hvorfor resultaterne i øvelse 2 ikke er overraskende.

Vi ved, at middelværdien er ved tæthedsfunktionens maksimum, og når middelværdien gøres større/mindre vil grafen selvfølgelig forskydes til højre/venstre. Standardafvigelsen er et mål for hvor stor en spredning man kan forvente og derfor er det klart at en stor standardvigelse giver en bred tæthedsfunktion i forhold til en lille standardafvigelse.

Øvelse 3

📌

Afgør hvilke af følgende sandsynlighedsfordelinger som kunne være normalfordelinger:

  1. Tæthedsfunktion

    Normalfordeling

  2. Tæthedsfunktion

    Normalfordeling

  3. Tæthedsfunktion

    Ikke normalfordeling

  4. Tæthedsfunktion

    Ikke normalfordeling

  5. Tæthedsfunktion

    Normalfordeling

Øvelse 4

📌

Betragt følgende tæthedsfunktion for en normalfordeling:

Tæthedsfunktion

Vurder følgende sandsynligheder (dvs. du skal bare have et ca. tal):

  1. $$P(X\leq 2)$$

    $$P(X\leq 2)=0{,}5$$

  2. $$P(X\geq 2)$$

    $$P(X\geq 2)=0{,}5$$

  3. $$P(1{,}5\leq X\leq 3)$$

    $$P(1{,}5\leq X\leq 3)=0{,}8$$

  4. $$P(1\leq X\leq 1{,}7)$$

    $$P(1\leq X\leq 1{,}7)=0{,}25$$