Ekstrema ved hjælp af differentialregning

I sidste afsnit lærte vi at:

I lyset af det kommer følgende sætning ikke om en overraskelse:

Sætning 1

📌

Lad $$f$$ være en differentialbel funktion som er defineret på intervallet $$]a,b[$$.

Hvis $$f$$ har et ekstremum i $$x_0\in ]a,b[$$, så er $$f'(x_0)=0$$.

Sætning 1 er ikke overraskende fordi når differentialkvotieten er nul, så må funktionen have en vandret tangent (den skal have hældning lig med nul).

Tangent på graf

Som vi kan se er hældningen nul der hvor funktionen har sit maksimum.

Men sætning 1 nævner også et åbent interval. Lad os se nærmere på hvad det betyder. Vi ser på funktionen:

Tangent på graf

Vi kan se funktionen at funktionen har et globalt maksimum i $$x=1$$ og et lokalt minimum i $$x=2$$. Men der er jo ikke en vandret tangent i $$x=2$$! Det er fordi det er et endepunkt og $$f$$ er ikke defineret i et åbent interval der indeholder $$x=2$$. Altså kan vi kun være sikker på at $$f'(x)$$ er nul hvis vi har et ekstremum der ikke ligger i et endepunkt.

Vi konkluderer at hvis vi skal finde ekstrema for en funktion, skal vi undersøge alle de steder hvor $$f'(x)=0$$, og endepunkterne hvis $$f$$ er defineret i et begrænset interval.

Eksempel 1

📌

Vi vil nu finde ekstrema for funktionen $$f(x)=x^3-4{,}5x^2-30x$$.

Vi starter med at bestemme $$f'(x)$$: $$$f'(x)=3x^2-9x-30.$$$

Vi laver nu en fortegnsundersøgelse for $$f$$. Vi finder først nulpunkter. Differentialkvotienten $$f'(x)$$ er et andengradspolynomium, så vi regner diskriminanten først:

$$$d=b^2-4ac=9^2-4\cdot 3\cdot(-30)=81+360=441$$$

Vi Indsætter nu i nulpunksformlerne og ser at: $$$x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{-(-9)+\sqrt{441}}{2\cdot 3}=\frac{30}{6}=5$$$ og $$$x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{-(9)-\sqrt{441}}{2\cdot 3}=\frac{-12}{6}=-2.$$$

Vi vælger nu nogle $$x$$-værdier der omgiver nulpunkterne.

$$x$$ -3 -2 0 5 6
$$f'(x)$$ 24 0 -30 0 24
$$f(x)$$ $$\nearrow$$ $$\searrow$$ $$\nearrow$$

I tabellen har vi angivet monotoniforholdene for $$f$$ med pile. Pil op betyder voksende, pil ned betyder aftagende (surprise!).

Fordi $$f$$ starter med at vokse indtil den når $$x=-2$$ og aftager bagefter kan vi konkludere at $$f$$ har et maksimum i $$x=-2$$. Tilsvarende må $$f$$ have et minimum i $$x=5$$.

Ekstremumsværdierne er hhv. $$f(-2)=34$$ og $$f(5)=-137{,}5$$.

Vi kan desværre ikke sige noget om hvorvidt det lokale eller globale ekstrema. Vi tegner en graf:

Tangent på graf

Vi kan se at det passer at vores ekstrema passer. Vi kan også se at begge ekstrema er lokale. Da funktionen ikke er begrænset kan vi ud fra sætning 1 konkludere at der ikke er flere ekstrema (da der ikke er flere nulpunkter for $$f'$$). Det ville være svært at gøre bare ved at kigge på grafen, da vi aldrig kunne vide hvad der skete hvis vi zoomede længere ud.

Konklusion

Funktionen $$f$$ har et lokalt maksimum i $$x=-2$$ med maksimumsværdi $$34$$.
Funktionen $$f$$ har et lokalt minimum i $$x=5$$ med minimumsværdi $$137{,}5$$.

Øvelse 1

📌

Find ekstrema for følgende funktioner ved beregning. Tegn grafen for at finde ud af om det er globale eller lokale ekstrema.

  1. $$f(x)=x^2-8x+3$$

    $$f$$ har et globalt minimum i $$x=4$$ med minimumsværdi $$-13$$.

  2. $$f(x)=x$$

    $$f$$ har ingen ekstrema

  3. $$f(x)=2x^3-3x^2-12x+10$$

    $$f$$ har et lokalt maksimum i $$x=-1$$ med maksimumsværdi $$17$$.
    $$f$$ har et lokalt minimum i $$x=2$$ med minimumsværdi $$-10$$.

Begrænsede funktioner

Har vi en funktion der er begrænset kan vi klare os helt uden at tegne. Vi gør det helt som før bortset fra at vi også undersøger værdien i endepunkterne.

Eksempel 2

📌

Lad $$f(x)=0{,}5x^2-7x$$, hvor $$x\in]0;15]$$.

Vi vil bestemme ekstrema og værdimængde. Vi finder først $$f'(x)$$: $$$f'(x)=0{,}5\cdot 2x-7=x-7.$$$

Vi finder så nulpunkter for $$f'(x)$$: \begin{align} f'(x)&=0\\x-7&=0\\x&=7\end{align}

Vi laver så en fortegsundersøgelse:

$$x$$ 0 7 8
$$f'(x)$$ -7 0 1
$$f(x)$$ $$\searrow$$ Minimum $$\nearrow$$

Vi undersøger nu funktionsværdierne i ekstremum og i endepunkterne:

$$x$$ 0 7 15
$$f(x)$$ 0 -24,5 7,5

Samler vi informationer fra de to tabeller får vi:

$$x$$ 0 7 15
$$f(x)$$ 0 $$\searrow$$ -24,5 $$\nearrow$$ 7,5

Vi kan se at -24,5 er den laveste funktionsværdi så det må være et globalt minimumssted. Vi kan se at 7,5 er den højeste funktionsværdi, så det må være et globalt maksimum. Punktet (0,0) ligger ikke på grafen da 0 ikke ligger i definitionsmængden, og kan derfor ikke være et ekstremumspunkt.

Heraf kan vi konkludere:

$$f$$ har et globalt maksimum i $$x=15$$ med maksimumsværdi $$7{,}5$$.
$$f$$ har et globalt minimum i $$x=7$$ med minimumsværdi $$-24{,}5$$.

Øvelse 2

📌

Beregn ekstrema for følgende funktioner. Du må ikke tegne.

  1. $$f(x)=-x^2+2x+1$$, hvor $$x\in [-1;2]$$

    $$f$$ har et globalt maksimum i $$x=1$$ med maksimumsværdi $$2$$.
    $$f$$ har et globalt minimum i $$x=-1$$ med minimumsværdi $$-2$$.
    $$f$$ har et lokalt minimum i $$x=2$$ med minimumsværdi $$1$$.

  2. $$f(x)=-x^2+2x+1$$, hvor $$x\in ]-2;0]$$

    $$f$$ har et globalt maksimum i $$x=0$$ med maksimumsværdi $$1$$.

  3. $$f(x)=x$$, hvor $$x\in [0;5[$$

    $$f$$ har et globalt minimum i $$x=0$$ med minimumsværdi $$0$$.

  4. $$f(x)=x^3-1{,}5x^2-6x$$, hvor $$x\in]-2;40]$$

    $$f$$ har et globalt maksimum i $$x=40$$ med maksimumsværdi $$61360$$.
    $$f$$ har et globalt minimum i $$x=2$$ med minimumsværdi $$-10$$.
    $$f$$ har et lokalt maksimum i $$x=-1$$ med maksimumsværdi $$3{,}5$$.

  5. $$f(x)=x^3$$

    $$f$$ har ingen ekstrema