Beviser

Formlerne for $$a$$ og $$b$$ bestemt ud fra to punkter

Første skridt

Vi starter med at skrive den sætning op, vi vil bevise:

Sætning 1

📌

Hvis grafen for en eksponentiel funktion $$f(x)=ba^x$$ går igennem punkterne $$(x_1,y_1)$$ og $$(x_2,y_2)$$ så kan $$a$$ og $$b$$ bestemmes med følgende formler: $$$a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}\quad \textrm{ og }\quad b=\frac{y_1}{a^{x_1}}$$$

Næste skridt

Bevis

Da $$f$$ går igennem punkterne $$(x_1,y_1)$$ og $$(x_2,y_2)$$ må der gælde at

$$$f(x_1)=y_1\quad\textrm{ og }\quad f(x_2)=y_2$$$

Næste skridt

Vi indsætter forskriften

$$$ba^{x_1}=y_1\quad\textrm{ og }\quad ba^{x_2}=y_2$$$

Næste skridt

Vi dividerer de to ligninger. Det er i orden fordi at en ligning jo udtrykker at to ting er ens og derfor er det det samme vi dividerer med på begge sider.

$$$\frac{ba^{x_2}}{ba^{x_1}}=\frac{y_2}{y_1}$$$

Næste skridt

Vi forkorter med $$b$$: $$$\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{y_1}$$$

Næste skridt

Vi bruger potensregnereglen $$\big(\frac{a^n}{a^m}\big)=a^{n-m}$$:

$$$a^{x_2-x_1}=\frac{y_2}{y_1}$$$

Næste skridt

Vi uddrager den $$x_2-x_1$$'te rod::

$$$a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}$$$

og vi har hermed vist formlen for $$a$$.

Sidste skridt

Formlen for $$b$$ er nem at vise. Vi har allerede argumenteret for at $$ba^{x_1}=y_1$$. Så vi dividerer bare denne ligning med $$a^{x_1}$$ på begge sider:

$$$b=\frac{y_1}{a^{x_1}}$$$

og vi er færdige jaaaaaaaaaaahhh

Procentvis vækst

Det er en helt essentiel egenskab ved eksponentielle funktioner, at de vokser med samme procent, hver gang $$x$$ vokser med samme værdi. Vi har allerede set på en øvelse, hvor vi efterviste at det passede på en konkret funktion.

Vi vil nu bevise at en eksponentiel funktion vokser med $$r\cdot 100\%$$ hver gang $$x$$ vokser med 1.

Vi vil også bevise at $$b$$ er skæringen med $$y$$-aksen.

Første skridt

Vi starter med at skrive den sætning op, vi vil bevise:

Sætning 2

📌

For en eksponentiel funktion $$f(x)=ba^x$$ gælder at hver gang $$x$$ vokser med 1 vokser $$y$$ med: $$r \cdot 100\%$$, hvor $$r$$ er væksraten givet ved $$r=a-1$$.

Funktionen skærer $$y$$-aksen i $$b$$

Næste skridt

Bevis

Vi starter med at vise at $$b$$ er skæringspunktet på $$y$$-aksen. Skæringspunktet med $$y$$-aksen har førstekoordinaten $$0$$, så vi kan finde $$y$$-værdien ved at sætte $$0$$ ind i forskriften: $$$f(0)=b\cdot a^0 = b\cdot 1=b.$$$ Her har vi benyttet potensregnereglen $$a^0=1$$.

Så den er god nok! Funktionen skærer $$y$$-aksen i $$y=b$$.

Næste skridt

Vi skal nu vise at når $$x$$ vokser med 1, vokser $$y$$ med $$r\cdot 100\%$$. Så vi vælger en vilkårlig $$x$$-værdi $$x_0$$. Lader vi $$x$$ vokse med 1 kommer vi derfor ud til $$x_0+1$$.

Vi regner den procentvise stigning (som decimaltal) fra $$f(x_0)$$ til $$f(x_0+1)$$: $$$\frac{f(x_0+1)-f(x_0)}{f(x_0)}$$$

Næste skridt

Vi deler brøken op:

$$$=\frac{f(x_0+1)}{f(x_0)}-\frac{f(x_0)}{f(x_0)}=\frac{f(x_0+1)}{f(x_0)}-1$$$

Næste skridt

Vi indsætter forskriften:

$$$=\frac{ba^{x_0+1}}{ba^{x_0}}-1$$$

Næste skridt

Vi forkorter med $$b$$:

$$$=\frac{a^{x_0+1}}{a^{x_0}}-1$$$

Sidste skridt

Vi bruger regnereglen $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$:

$$$=a^{x_0+1-x_0}-1=a^1-1=a-1$$$

og vi kan se at den procentvise vækst som decimaltal er $$a-1$$.

Altså må den procentvise vækst være $$$(a-1)\cdot 100\%.$$$

Formel for fordoblingskonstanten

Simpelt bevis

Første skridt

Vi starter med at opskrive sætningen

Sætning 3

📌

For en en eksponentiel funktion $$f(x)=ba^x$$ er fordoblingskonstanten givet ved: $$$T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}.$$$

Næste skridt

Bevis

Fordoblingskonstanten $$T_2$$ er længen af det stykke på $$x$$-aksen vi skal gå ud for at fordoble funktionen. Hvis vi starter i $$x=0$$ og går ud til $$T_2$$ ud af $$x$$-aksen skal funktionsværdien i $$x=T_2$$ altså være dobbelt så stor som i $$x=0$$.

Vi ved at en eksponentiel funktion skærer $$y$$-aksen i $$b$$ så derfor må funktionsværdien i $$x=T_2$$ være $$2b$$:

Graf

Næste skridt

Ifølge tegningen har vi altså: $$$f(T_2)=2b$$$

Næste skridt

Vi indsætter forskriften: $$$ba^{T_2}=2b.$$$

Næste skridt

Vi deler med $$b$$ på begge sider: $$$a^{T_2}=2.$$$

Næste skridt

Vi tager den naturlige logaritme på begge sider: $$$\ln(a^{T_2})=\ln(2).$$$

Næste skridt

Vi bruger reglen $$\ln(a^x)=x\ln(a)$$: $$$T_2\ln(a)=\ln(2).$$$

Sidste skridt

Vi dividerer med $$\ln(a)$$ på begge sider: $$$T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(a)},$$$ og vi har hermed bevist sætning 3.

Bedre bevis, men sværere og kan springes over

I beviset oven over er det en forudsætning at der overhovedet findes en fordoblingskonstant. I beviset starter vi i $$x=0$$, men hvem siger vi ville få samme resultat hvis vi startede i en anden x-værdi?

Hvis vi på forhånd ved at der findes en fordoblingskonstant så må det være ligemeget hvor vi starter, da det jo ligger i begrebet fordoblingskonstant at det er det samme stykke vi går ud, uanset hvor vi starter.

Vi skal nu set et bevis som ikke forudsætter at fordoblingskonstanten findes.

Første skridt

Vi starter med at opskrive sætningen

Sætning 4

📌

En eksponentiel funktion $$f(x)=ba^x$$ har en fordoblingskonstant $$T_2$$ og den er givet ved: $$$T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}.$$$

Næste skridt

Bevis

Fordoblingskonstanten $$T_2$$ skal være længen af det stykke på $$x$$-aksen vi skal gå ud for at fordoble funktionen.

Så vi starter i en vi vilkårlig x-værdi $$x=x_0$$ og går ud ad x-aksen indtil vi har den dobbelte funktionsværdi. Det stykke vi går ud kalder vi $$T_2$$ og pr. konstruktion har vi at $$f(x_0+T_2)=2f(x)$$:

Graf

Næste skridt

Ifølge tegningen har vi: $$$f(x_0+T_2)=2f(x_0)$$$

Næste skridt

Vi indsætter forskriften: $$$ba^{x_0+T_2}=2ba^{x_0}.$$$

Næste skridt

Vi deler med $$b$$ på begge sider: $$$a^{x_0+T_2}=2a^{x_0}.$$$

Næste skridt

Vi deler med $$a^{x_0}$$ på begge sider: $$$\frac{a^{x_0+T_2}}{a^{x_0}}=\frac{2a^{x_0}}{a^{x_0}}.$$$

Næste skridt

Vi bruger potensregnereglen $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$ på venstre side og reducerer på højre: $$$a^{T_2}=2.$$$

Næste skridt

Vi tager den naturlige logaritme på begge sider: $$$\ln(a^{T_2})=\ln(2).$$$

Næste skridt

Vi bruger reglen $$\ln(a^x)=x\ln(a)$$: $$$(T_2)\ln(a)=\ln(2).$$$

Sidste skridt

Vi dividerer med $$\ln(a)$$ på begge sider: $$$T_2=\frac{\ln(2)}{\ln(a)}.$$$ Dette tal er en konstant og vi har hermed bevist sætning 4.

Øvelse 1

📌
  1. Opstil en tilsvarende sætning til sætning 3, men bare for halveringskonstanten.

    Sætning

    For en en eksponentiel funktion $$f(x)=ba^x$$ er halveringsskonstanten givet ved: $$$T_\frac{1}{2}=\frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(a)}.$$$

  2. Bevis denne sætning.

    Beviset er helt tilsvarende. Den eneste forskel er at, man i stedet for 2 skriver ½ (og at funktionen er aftagende når man tegner).

Logaritmeregneregler

Besvis for regnereglen $$\ln(a^x)=x\ln(a)$$

Første skridt

Vi skriver sætningen op.

Sætning 5

📌

For funktionerne $$\ln(x)$$ gælder: $$$\ln(a^x)=x\ln(a)$$$

Næste skridt

Da $$\ln(x)$$ er den omvendte funktion til $$e^x$$ gælder at $$e^{\ln(a)}=a$$. Så derfor må $$$\ln(a^x)=\ln((e^{\ln(a)})^x)$$$

Næste skridt

Vi benytter reglen $${(a^n)}^m=a^{n\cdot m}$$ på højresiden $$$\ln(a^x)=\ln(e^{\ln(a)\cdot x})$$$

Næste skridt

Igen benytter vi at $$\ln(x)$$ er den omvendte funktion til $$e^x$$ og får højresiden til at være $$$\ln(a^x)=\ln(a)\cdot x$$$

Sidste skridt

... og det er jo det sammme som at $$$\ln(a^x)=x\ln(a)$$$