Grafen for en potensfunktion

I de næste par øvelser får du brug for at skrive den generelle forskrift for en potensfunktion ind i Geogebra. Her skal vi huske på, at der i definitionen af en potensfunktion står at $$x>0$$. Derfor har vi brug for at begrænse grafen så den kun er defineret for positive x'er. Det gør man i Geogebra ved at skrive:

b*x^a,0<x<∞

og sige "ja" til at oprette skydere. Du kan få uendelighedstegnet ved at skrive "Alt+5", hvis du har en Mac. På PC skal man finde uendelighedstegnet ude til højre fra inputbjælken. Heraf kan vi konkludere at Mac er bedre end PC.

Øvelse 1

📌

Skriv den generelle forskrift for en potensfunktion ind i Geogebra.

  1. Hvad sker der med grafen når $$a$$ går fra at være positiv til negativ?

    Grafen går fra at være voksenden til at være aftagende.

  2. Hvordan ser grafen ud når $$a=0$$ ?

    Grafen er konstant (hverken voksende eller aftagende)

  3. Konstanten $$b$$ kan aflæses som y-koordinaten til en bestemt x-værdi. Hvilken?

    $$x=1$$.

Øvelse 2

📌
Ved hjælp af Geogebra skal du finde ud af, hvordan definitionsmængden og værdimængden generelt ser ud for potensfunktioner.

Sålænge $$a\neq 0$$ så er båd definitionsmængden og værdimængden $$]0;\infty[$$. Er $$a=0$$ består værdimængden af kun et tal nemlig $$b$$.

Sætning 1

📌

Antag at grafen for en potensfunktion $$f(x)=b\cdot x^a$$ går igennem punkterne $$(x_1,y_1)$$ og $$(x_2,y_2)$$. Da kan $$a$$ og $$b$$ bestemmes ved formlerne: $$$a=\frac{\ln\big(\frac{y_2}{y_1}\big)}{\ln\big(\frac{x_2}{x_1}\big)}\quad \textrm{ og }\quad b=\frac{y_1}{x_1^a}$$$

Øvelse 3

📌
  1. Bestem forskriften for den potensfunktion som går igennem punkterne $$(2,12)$$ og $$(3,27)$$.

    $$f(x)=3x^2$$

  2. Bestem forskriften for den potensfunktion som går igennem punkterne $$(3,4)$$ og $$(10,52)$$.

    $$f(x)=0{,}39x^{2{,}13}$$

Øvelse 4 (svær)

📌

Vi har tidligere bevist en sætning, som kan bruges til at finde $$a$$ og $$b$$ i en eksponentiel funktion ud fra to punkter på grafen.

Kig på beviset og se om du på tilsvarende måde kan lave dit eget bevis for de tilsvarende formler (sætning 1 i dette afsnit) for en potensfunktion.

Øv - intet facit. Vis det til din lærer og han/hun bliver imponeret. Det gør jeg i hvert fald.

VINK: Du får brug for følgende regler $$\frac{a^n}{b^n}=\big(\frac{a}{b}\big)^n$$ og $$\ln(a^x)=x\cdot \ln(a)$$.