Udfordringer

I dette afsnit skal vi se på nogle opgaver der kræver lidt mere selvstændig tankegang. Synes man de er sjove vil jeg anbefale at man vælger en studieretning med Mat-A.

Eksempel 1

📌

Vi vil regne opgaven:

"Lad $$f(x)=ax+2$$ være en lineær funktion. Bestem $$a$$ så $$f$$ går igennem punktet $$(4;5)$$"

At $$f$$ går igennem punktet $$(4;5)$$ betyder at $$f(4)=5$$. Altså er $$a\cdot 4+2=5$$. Vi isolerer $$a$$ i ligningen og får $$a=\frac{5-2}{4}=\frac{3}{4}$$.

Altså får vi at $$a= \frac{3}{4}$$

Øvelse 1

📌

Lad $$f(x)=ax+1$$

Bestem $$a$$ så funktionen har nulpunkt i $$x=4$$

$$x=-0{,}25$$

Øvelse 2

📌

Vi har tidligere set en forskrift for indkomstskatten i Danmark:

$$$ f(x) = \begin{cases} 0{,}08x, & \text{for } 0\geq x\leq 48913 \\ 0{,}4267x-16956, & \text{for } 48913\leq x\leq 521304 \\ 0{,}5643x-88704, & \text{for } x\geq 521304 \\ \end{cases} $$$

Forskriften er konstrueret ud en forudsætning om at der skal betales i alt tre skatter:

Arbejsmarkedsbidrag
Udregnes ved at tage 8% af indkomsten

Kommuneskat, Kirkeskat og Sundhedsbidrag
Tag indkomsten og træk arbejdsmarkedsbidraget fra. Derefter fratrækkes et personfradrag på 45000 kr. Af det som er tilbage betales 37,68% i kommuneskat, kirkeskat og sundhedsbidrag.

Topskat
Tag indkomsten og træk arbejdsmarkedsbidraget fra. Derefter fratrækkes 479600 kr. som er grænsen for topskat. Af det som er tilbage betales 14,96% i topskat (topskatten er på 15%, men pga. noget skatteloft-halløjsa bliver det gennemsnitligt til 14,96%).

Ud fra forudsætninger skal du regne dig frem til forskriften for indkomstskatten.

Kan gøres på flere måder

Tallene er fra 2017 og taget fra nedenstående link, hvor man også kan se at virkeligheden er lidt mere kompliceret:

http://www.skm.dk/skattetal/beregning/skatteberegning/skatteberegning-hovedtraekkene-i-personbeskatningen-2017.

Øvelse 3

📌

Marginalskatten er bestem ved "Skatten på den sidst tjente krone".

Hvad var marginalskatten i Danmark i 2017?

56,4%

Øvelse 4

📌

En stykkevis lineær funktion er givet ved

$$$ f(x) = \begin{cases} 2x+b, & \text{for } x<1 \\ -3x+7, & \text{for } x\geq 1 \end{cases} $$$

Bestem $$b$$ så funktionen hænger sammen (altså at der ikke er noget spring i $$x=1$$)

b=2

Øvelse 5

📌

Man kan lave en nulpunktsformel for lineære funktioner. Den ser således ud:

Nulpunktsformel for lineære funktioner

📌

Lad $$f(x)=ax+b$$ være en lineær funktion.

  1. Hvis $$a=0$$ har $$f$$ ingen nulpunkter
  2. Hvis $$a=0$$ har $$f$$ netop et nulpunkt $$x_0$$ bestemt ved $$$x_0=-\frac{b}{a}$$$
Bevis formlen

Hmm nej... Jeg vil gerne se du kan uden at have set facit