Udfordringer

I dette afsnit skal vi se på nogle opgaver der kræver lidt mere selvstændig tankegang. Synes man de er sjove vil jeg anbefale at man vælger en studieretning med Mat-A.

Eksempel 1

📌

Vi vil regne opgaven:

"Lad $$f(x)=ax+2$$ være en lineær funktion. Bestem $$a$$ så $$f$$ går igennem punktet $$(4;5)$$"

At $$f$$ går igennem punktet $$(4;5)$$ betyder at $$f(4)=5$$. Altså er $$a\cdot 4+2=5$$. Vi isolerer $$a$$ i ligningen og får $$a=\frac{5-2}{4}=\frac{3}{4}$$.

Altså får vi at $$a= \frac{3}{4}$$

Øvelse 1

📌

Lad $$f(x)=ax+1$$

Bestem $$a$$ så funktionen har nulpunkt i $$x=4$$

$$a=-0{,}25$$

Øvelse 2

📌

Vi har tidligere set en forskrift for indkomstskatten i Danmark:

$$$ f(x) = \begin{cases} 0{,}08x, & \text{for } 0\leq x\leq 48913 \\ 0{,}4267x-16956, & \text{for } 48913\leq x\leq 521304 \\ 0{,}5643x-88704, & \text{for } x\geq 521304 \\ \end{cases} $$$

Forskriften er konstrueret ud en forudsætning om at der skal betales i alt tre skatter:

Arbejsmarkedsbidrag
Udregnes ved at tage 8% af indkomsten

Kommuneskat, Kirkeskat og Sundhedsbidrag
Tag indkomsten og træk arbejdsmarkedsbidraget fra. Derefter fratrækkes et personfradrag på 45000 kr. Af det som er tilbage betales 37,68% i kommuneskat, kirkeskat og sundhedsbidrag.

Topskat
Tag indkomsten og træk arbejdsmarkedsbidraget fra. Derefter fratrækkes 479600 kr. som er grænsen for topskat. Af det som er tilbage betales 14,96% i topskat (topskatten er på 15%, men pga. noget skatteloft-halløjsa bliver det gennemsnitligt til 14,96%).

Ud fra forudsætninger skal du regne dig frem til forskriften for $$f(x)$$.

Kan gøres på flere måder

Tallene er fra 2017 og taget fra nedenstående link, hvor man også kan se at virkeligheden er lidt mere kompliceret:

http://www.skm.dk/skattetal/beregning/skatteberegning/skatteberegning-hovedtraekkene-i-personbeskatningen-2017.

Øvelse 3

📌

Marginalskatten er bestem ved "Skatten på den sidst tjente krone".

Hvad var marginalskatten i Danmark i 2017?

56,4%

Øvelse 4

📌

En stykkevis lineær funktion er givet ved

$$$ f(x) = \begin{cases} 2x+b, & \text{for } x<1 \\ -3x+7, & \text{for } x\geq 1 \end{cases} $$$

Bestem $$b$$ så funktionen hænger sammen (altså at der ikke er noget spring i $$x=1$$)

b=2

Øvelse 5

📌

Man kan lave en nulpunktsformel for lineære funktioner. Den ser således ud:

Nulpunktsformel for lineære funktioner

📌

Lad $$f(x)=ax+b$$ være en lineær funktion.

  1. Hvis $$a=0$$ har $$f$$ ingen nulpunkter
  2. Hvis $$a=0$$ har $$f$$ netop et nulpunkt $$x_0$$ bestemt ved $$$x_0=-\frac{b}{a}$$$
Bevis formlen

Hmm nej... Jeg vil gerne se du kan uden at have set facit