Monotoniforhold ved hjælp af differentialregning

Vi skal nu se hvordan man kan bestemme monotoniforhold ved hjælp af differentialregning.

Vi lægger hårdt ud med en sætning:

Sætning 1

📌

Lad $$f$$ være en differentiabel funktion.

Hvis $$f'(x)\geq 0$$ for alle $$x$$ i et interval $$I$$, så er $$f$$ voksende i $$I$$

Hvis $$f'(x)\leq 0$$ for alle $$x$$ i et interval $$I$$, så er $$f$$ aftagende i $$I$$

Øvelse 1

📌

Sætning 1 fortæller lidt forenklet at

  • $$f(x)$$ er voksende når $$f'(x)\geq 0$$.
  • $$f(x)$$ er aftagende når $$f'(x)\leq 0$$.
  1. Hvad er det nu $$f'(x)$$ betyder?

    Det er tangentens hældning i $$(x,f(x))$$.

  2. Forklar hvorfor sætning 1 er rigtig. Du skal ikke lave et bevis, men når man ved hvad $$f'(x)$$ betyder, kan man overfladisk argumentere for sætning 1. Det er det du skal gøre.

    Hvis $$f'(x)$$ er positiv betyder det at hældningen på tangenten er positiv. Er tangentens hældning positiv kan man ikke forstille sig funktionen som være andet end voksende:

    Tangent

    Er $$f'(x)$$ har vi en vandret tangent og grafen vil være flad i det område, men en vandret funktion er pr. definition også voksende.

    Man kan tilsvarende argumenter for de 2 andre påstande i sætningen (aftagende, konstant).

Ved hjælp af sætning 1 kan vi nu bestemme monotoniforhold ved at lave en fortegnsundersøgelse af $$f'(x)$$ (læg mærke til: $$f'$$, ikke $$f$$). Dette er smart, da man så kan bestemme monotoniforhold uden at tegne.

Eksempel 1

📌

Vi vil undersøge monotoniforhold for funktionen $$f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-8x-10$$. Vi finder først $$f'(x)$$. Vi får $$$f'(x)=3\cdot\frac{1}{3}x^2+2x-8=x^2+2x-8.$$$

Nu laver vi en fortegnsundersøgelse af $$f'(x)=x^2+2x-8$$. Vi starter som vi plejer med at finde nulpunkter. Differentialkvotienten $$f'(x)$$ er et andengradspolynomium, så vi regner diskriminanten først:

$$$d=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36$$$

Vi Insætter nu i nulpunksformlerne og ser at: $$$x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$$$ og $$$x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{-2-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4.$$$

Vi vælger nu nogle $$x$$-værdier, som omgiver nulpunkterne (-5, 0 og 3) og laver et sildeben:

$$x$$ -5 -4 0 2 3
$$f'(x)$$ 7 0 -8 0 7

Af sildebenen kan vi se at:

$$f'(x)$$ er positiv for $$x\in]-\infty;-4[\cup]2;\infty[$$
$$f'(x)$$ er negativ for $$x\in]-4;2[$$.

Ved at benytte sætning 1 kan vi altså konkludere at

$$f$$ er voksende for $$x\in]-\infty;-4]$$ og for $$x\in[2;\infty[$$.
$$f$$ er aftagende for $$x\in[-4;2]$$.

Vi tegner nu grafen for at tjekke om det mon passer:

Tangent

Det passer jah.

Øvelse 2

📌

Bestem ved beregning monotoniforholdene for følgende funktioner:

  1. $$f(x)=x^3-6x^2-15x+29$$

    $$f$$ er voksende for $$x\in]-\infty;-1]$$ og for $$x\in[5;\infty[$$.
    $$f$$ er aftagende for for $$x\in[-1;5]$$.

  2. $$f(x)=-5x+2$$

    $$f$$ er aftagende.

  3. $$f(x)=-2x^2-4x-4$$

    $$f$$ er voksende for $$x\in]-\infty;-1]$$
    $$f$$ er aftagende for $$x\in[-1;\infty[$$.

  4. $$f(x)=x^4-4x^3$$ (svær)

    $$f$$ er aftagende for $$x\in]-\infty;3]$$
    $$f$$ er voksende for $$x\in]3;\infty[$$

Monotoniforhold for begrænsede funktioner

Til tider kan man komme ud for at der er begrænsninger på definitionsmængden og det skal man være opmærksom på når man laver monotoniintervallerne.

Eksempel 2

📌

Lad $$f(x)=x^2-7$$, hvor $$x\in]1;4]$$. Vi vil ved bergning bestemme monotoniforholdene.

Vi finder først $$f'$$: $$$f'(x)=2x$$$

Vi finder så nulpunkter for $$f'(x)$$: \begin{align}f'(x)&=0\\2x&=0\\x&=0.\end{align} Vi kan se at nulpunktet ligger udenfor intervallet hvor $$f$$ er defineret, så nulpunket er slet ikke interessant. Vi skal altså bare undersøge fortegnet for $$f'$$ i et vilkårligt punkt i definitionsmængden. Vi vælger 2: $$$f'(2)=2\cdot 2=4$$$ Vi kan altså konkludere at $$f$$ er voksende. Vi tegner for at tjekke:

Tangent

Det passer, $$f$$ er voksende overalt.

Øvelse 3

📌

Bestem ved beregning monotoniforholdene for følgende funktioner:

  1. $$f(x)=-2x^3+3x^2+12x+5$$, hvor $$x\in ]0;\infty[$$

    $$f$$ er voksende for $$x\in]0;2]$$
    $$f$$ er aftagende for $$x\in[2;\infty[$$.

  2. $$f(x)=\sqrt{x}$$, hvor $$x\in [1;2[$$.

    $$f$$ er voksende.

  3. $$f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x$$, hvor $$x\in]-\infty;3[$$

    $$f$$ er aftagende for $$x\in]-\infty;2]$$
    $$f$$ er voksende for $$x\in [2:3[$$