Stykkevis lineære funktioner

En stykkevis lineær funktion er en funktion hvis graf er sammensat af linjestykker.

Eksempel 1

📌

Her ses grafen for en stykkevis lineær funktion $$f$$

Graf

Linjestykkerne behøver ikke at hænge sammen.

Eksempel 2

📌

Her ses grafen for en stykkevis lineær funktion $$g$$

Graf

... og der kan være mere end to stykker

Eksempel 3

📌

Her ses grafen for en stykkevis lineær funktion $$h$$

Graf

Forskriften for en stykkevis lineær funktion

Vi skal nu se hvordan forskriften for en stykkevis lineær funktion ser ud.

Eksempel 4

📌

Forskriften for grafen i eksempel 1 ser således ud.

$$$ f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x-1, & \text{for } x<2 \\ 2x-6, & \text{for } x\geq 2 \end{cases} $$$

Det betyder at det er udtrykket $$\frac{1}{2}x-1$$ som bestemmer funktionsværdierne når $$x<2$$, og udtrykket $$2x-6$$ der bestemmer funktionsværdierne når $$x\geq 2$$.

Vil vi nu regne f.eks. $$f(1)$$ skal vi bruge udtrykket $$\frac{1}{2}x-1$$ da $$1<2$$. Så $$$f(1)=-\frac{1}{2}\cdot 1-1=-1{,}5$$$

Øvelse 1

📌

Betragt funktionen

$$$ f(x) = \begin{cases} 2x-1, & \text{for } x<3 \\ -x+5, & \text{for } x\geq 3 \end{cases} $$$

  1. Bestem $$f(0)$$

    $$f(0)=-1$$

  2. Bestem $$f(3)$$

    $$f(3)=2$$

Eksempel 5

📌

Vi vil nu bestemme forskriften for grafen i eksempel 3.

Vi starter med den grønne del. Vi kan se at den går igennem punkterne $$(-4;-1)$$ og $$(-2;2)$$. Derfor har den hældningen $$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-(-1)}{-2-(-4)}=\frac{3}{2}=1{,}5$$$ Vi beregner $$b$$: $$$b=y_1-ax_1=-1-1{,}5\cdot (-4)=5$$$ Så den grønne del er bestemt ved udtrykket $$1{,}5x+5$$. Da den stopper i $$x=-2$$, får vi at første del af gaffelforskriften ser således ud: $$$1{,}5x+5, \quad \textrm{for } x<-2$$$

På tilsvarende måde finder vi udtrykkene for den grønne og den blå og får forskriften

$$$ h(x) = \begin{cases} 1{,}5x+5, & \text{for } x<-2 \\ -x, & \text{for } -2\leq x\leq 1 \\ 2, & \text{for } 1<x<2 \\ \end{cases} $$$

Øvelse 2

📌

I eksempel 5 argumenterede vi kun for første del (den grønne) af forskriften.

Argumenter for udtrykkene for den røde og den blå del af grafen.

...

Øvelse 3

📌
Bestem forskriften for funktionen i eksempel 2

$$$ g(x) = \begin{cases} 2x+3, & \text{for } x<-2 \\ -x, & \text{for } x\geq -2 \end{cases} $$$

Praktiske eksempler

Eksempel 6

📌

Indkomstskatten i Danmark kan i forenklet form beskrives ved følgende funktion $$$ f(x) = \begin{cases} 0{,}08x, & \text{for } 0\leq x\leq 48913 \\ 0{,}4267x-16956, & \text{for } 48913\leq x\leq 521304 \\ 0{,}5643x-88704, & \text{for } x\geq 521304 \\ \end{cases} $$$

Her er $$x$$ lønnnen og $$f(x)$$ er skattebeløbet.

Øvelse 4

📌
  1. Tegn grafen for skattefunktionen i eksempel 6.

    Graf BEMÆRK: Der er ikke særlig stor forskel på hældningen når vi går over til topskat (den blå del). Altså kan vi konkludere at de rige ikke har noget at pive over.... Men det kommer selvfølgelig an på hvor nærig man er (håber ikke der er nogen som klager over denne kommentar).

  2. Bestem skattebeløbet ved en indtægt på 200000 kr.

    68384 kr.

  3. En stakkels mand betalte 196000 kr. i skat. Betalte han mon topskat?

    Næh

  4. En dame betalte 3200 kr. i skat. Hvad var hendes indkomst hun?

    40000 kr.

Øvelse 5

📌

En matematiklærer køber viskelædere til sine børn:

Graf

  1. Bestem en forskrift for den lineære funktion som beskriver prisen for $$x$$ antal viskelædere.

    $$$ f(x) = \begin{cases} 10{,}56x, & \text{for } 0\leq x<5 \\ 8{,}53x, & \text{for } 5\leq x< 10 \\ 7{,}31x, & \text{for } x\geq 10 \\ \end{cases} $$$

  2. Matematiklæreren dummer sig og køber 9. Hvorfor er det dumt?

    Det er billigere at købe 10

Øvelse 6

📌

Hos CBB kan man få et mobil abo med 6 GB EU data for 149 kr./md. Bruger man mere end 6 GB kan man købe ekstra GB til 49 kr. pr. GB.

  1. Bestem forskriften for den funktion $$p(x)$$ som beskriver prisen for en måned, hvor der bruges $$x$$ GB data i EU.

    $$$ p(x) = \begin{cases} 149, & \text{for } x\leq 6 \text{GB} \\ 49x-145, & \text{for } x>6 \textrm{GB} \end{cases} $$$

  2. Peter bruger for 296 kr i EU. Hvor mang GB har han brugt?

    9 GB