Beviser til funktionsundersøgelse

Toppunktsformlen

Kan I huske I de gode gamle dage på førsteår hvor vi lærte at man kan finde toppunktet for et andengradspolynomium ved formlen: $$$T=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-d}{4a}\right).$$$

Vi skal nu se et bevis for denne formel. Vi skal bruge differentialregning til beviset, hvilket også er årsagen til det først kommer nu og ikke under polynomier.

Første skridt

Vi vil vise:

Sætning 1

📌

Toppunktet for et andengradspolynomium $$f(x)=ax^2+bx+c$$ med diskriminant $$d$$, kan bestemmes ved følgende formel: $$$T=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-d}{4a}\right)$$$

Næste skridt

Bevis

Vi skal finde toppunktet T:

Toppunkt

Men det er jo det samme som at finde ekstremum! Det vil vi nu gøre på tilsvarende måde som vi plejer.

Næste skridt

Først finder vi $$f'(x)$$. Vi ved at $$f(x)=ax^2+bx+c$$, så: $$$f'(x)=2ax+b$$$

Næste skridt

Vi sætter $$f'(x)=0$$: $$$2ax+b=0.$$$

Næste skridt

Vi trækker $$b$$ fra på begge sider: $$$2ax=-b,$$$ og dividerer med $$2a$$: $$$x=\frac{-b}{2a}$$$

Vi har hermed fundet ekstremumsstedet som må være førstekoordinaten til toppunktet. Vi kan se den passer med formlen:

Næste skridt

Vi regner nu andenkoordinaten. Det gør vi også på sædvanligvis, dvs. vi indsætter førstekoordinaten i forskriften: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c.$$$

Næste skridt

Vi reducerer: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=a\frac{b^2}{4a^2}+b\frac{-b}{2a}+c.$$$

Næste skridt

Vi reducerer: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2}{4a}+\frac{-b^2}{2a}+c.$$$

Næste skridt

Vi forlænger det midterste led med $$2$$ (Vi ganger med $$2$$ i tæller og nævner) og vi forlænger det sidste led med $$4a$$: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2}{4a}+\frac{-2b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}.$$$

Næste skridt

Vi sætter på fælles brøkstreg: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}.$$$

Næste skridt

Vi reducerer: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{-b^2+4ac}{4a}.$$$

Sidste skridt

Vi genkender nu tælleren som $$-d$$ (vi har jo $$d=b^2-4ac$$, så derfor må $$-d=-b^2+4ac$$): $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{-d}{4a}.$$$

og det var jo lige det vi gerne ville nå frem til:

Toppunktsformel

Ekstrema (svært)

Vi vil bevise at hvis vi har et ekstremum i $$x_0$$ som ikke er et endepunkt så er $$f'(x_0)=0$$.

Første skridt

Vi starter med at opskrive sætningen

Sætning 2

📌

Lad $$f$$ være en differentialbel funktion som er defineret på intervallet $$]a,b[$$.

Hvis $$f$$ har et ekstremum i $$x_0\in ]a,b[$$, så er $$f'(x_0)=0$$.

Næste skridt

Bevis

Vi vil se på det tilfælde hvor vi ekstremum er et maksimum. Beviset er helt tilsvarende hvis der er tale om et minimum. Så antag at $$f$$ har et maksimum i $$x_0\in ]a,b[$$.

Graf

Næste skridt

At $$f$$ har et maksimum i $$x_0\in ]a,b[$$ betyder at der er et åbent interval $$I$$ omkring $$x_0$$ hvor $$f(x_0)$$ er større end eller lig med alle de andre funktionsværdier. Altså at $$f(x_0)\geq f(x)$$ for alle $$x\in I$$. Hvorfor?

Graf

Næste skridt

Fordi $$f$$ er differentialbel i $$x_0$$ ved vi at følgende grænseværdi eksisterer: $$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$$

Næste skridt

Vi vil nu argumentere for at $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\geq 0$$ når $$\Delta x$$ gå mod nul fra venstre.

For det første bemærker vi at $$\Delta x < 0 $$ når $$\Delta x$$ gå mod nul fra venstre (hvorfor?)

Derudover ser vi at fordi $$f(x_0)\geq f(x)$$ for alle $$x\in I$$, vil $$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\geq 0$$ når $$\Delta x$$ kommer tilstrækkelig tæt på nul (hvorfor?).

Så både tæller og nævner i brøken $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ er negative, hvilket gør brøken positiv.

Heraf kan vi konkludere at $$f'(x_0)\geq 0$$ da den er givet ved grænseværdien af en brøk som altid er positiv (sålænge vi kommer fra venstre).

Næste skridt

Tilsvarende ser vi at $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\leq 0$$ når $$\Delta x$$ gå mod nul fra højre (tjek det!).

Heraf kan vi konkludere at $$f'(x_0)\leq 0$$ da den er givet ved grænseværdien af en brøk som altid er negativ (sålænge vi kommer fra højre).

Sidste skridt

Vi har nu vist at $$f'(x_0)\geq 0$$ og $$f'(x_0)\leq 0$$, hvilket må betyde at $$f'(x_0)=0$$.

Øvelse 1

📌

I beviset ovenfor påstår vi at $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\leq 0$$ når $$\Delta x$$ gå mod nul fra højre

Gør rede for det er rigtigt.

...

Øvelse 2

📌
Bevis sætning 2 (den i beviset oven over) i det tilfælde at ekstremum er et minimum.

...

Øvelse 3

📌

I sætningen ovenover forudsætter vi at $$f$$ har et ekstremum i et åbent interval.

Hvorfor er det nødvendigt at kræve at intervallet er åbent?

...