Beviser til funktionsundersøgelse

Kan I huske I de gode gamle dage på førsteår hvor vi lærte at man kan finde toppunktet for et andengradspolynomium ved formlen: $$$T=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-d}{4a}\right).$$$

Vi skal nu se et bevis for denne formel. Vi skal bruge differentialregning til beviset, hvilket også er årsagen til det først kommer nu og ikke under polynomier.

Første skridt

Vi vil vise:

Sætning 1

📌

Toppunktet for et andengradspolynomium $$f(x)=ax^2+bx+c$$ med diskriminant $$d$$, kan bestemmes ved følgende formel: $$$T=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-d}{4a}\right)$$$

Næste skridt

Bevis

Vi skal finde toppunktet T:

Toppunkt

Men det er jo det samme som at finde ekstremum! Det vil vi nu gøre på tilsvarende måde som vi plejer.

Næste skridt

Først finder vi $$f'(x)$$. Vi ved at $$f(x)=ax^2+bx+c$$, så: $$$f'(x)=2ax+b$$$

Næste skridt

Vi sætter $$f'(x)=0$$: $$$2ax+b=0.$$$

Næste skridt

Vi trækker $$b$$ fra på begge sider: $$$2ax=-b,$$$ og dividerer med $$2a$$: $$$x=\frac{-b}{2a}$$$

Vi har hermed fundet ekstremumsstedet som må være førstekoordinaten til toppunktet. Vi kan se den passer med formlen:

Næste skridt

Vi regner nu andenkoordinaten. Det gør vi også på sædvanligvis, dvs. vi indsætter førstekoordinaten i forskriften: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c.$$$

Næste skridt

Vi reducerer: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=a\frac{b^2}{4a^2}+b\frac{-b}{2a}+c.$$$

Næste skridt

Vi reducerer: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2}{4a}+\frac{-b^2}{2a}+c.$$$

Næste skridt

Vi forlænger det midterste led med $$2$$ (Vi ganger med $$2$$ i tæller og nævner) og vi forlænger det sidste led med $$4a$$: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2}{4a}+\frac{-2b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}.$$$

Næste skridt

Vi sætter på fælles brøkstreg: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}.$$$

Næste skridt

Vi reducerer: $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{-b^2+4ac}{4a}.$$$

Sidste skridt

Vi genkender nu tælleren som $$-d$$ (vi har jo $$d=b^2-4ac$$, så derfor må $$-d=-b^2+4ac$$): $$$f\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{-d}{4a}.$$$

og det var jo lige det vi gerne ville nå frem til:

Toppunktsformel