Annuiteter generelt

Vi har nu set annuitetsopsparinger og annuitetslån. Begge begreber indholder ordet "annuitet" og nu er det på tide at se nærmere på,

Definition 1

📌

En annuitet består af $$n$$ lige store ydelser $$y$$ med lige store mellemrum (1 ydelse pr. termin), hvor der hver termin bliver tilskrevet en fast rente $$r$$.

Vi ser at både annuitetsopsparing og annuitetslån begge er eksempler på annuiteter... hvilket ikke er så underligt...jo.

Definition 2

📌

Ved fremtidsværdien $$A_n$$ af en annuitet forstås værdien af alle ydelserne skrevet frem til den termin hvor den sidste ydelse ligger:

Tidslinje

Ved nutidsværdien $$A_0$$ forstås værdien af alle ydelserne skrevet tilbage til den termin der ligger før den første ydelse:

Tidslinje

I situationer som involverer fremtidsværdien bruger vi formlerne:

Fremtidsværdien Ydelsen Antallet af ydelser
$$A_n=y\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}$$ $$y=\frac{A_n\cdot r}{(1+r)^n-1}$$ $$n=\frac{\ln\big(\frac{A_n\cdot r}{y}+1\big)}{\ln(1+r)}$$

I situationer som involverer nutidsværdien bruger vi formlerne:

Nutidsværdien Ydelsen Antallet af ydelser
$$A_0=y\cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$$ $$y=\frac{A_0\cdot r}{1-(1+r)^{-n}}$$ $$n=-\frac{\ln\big(1-\frac{A_0\cdot r}{y}\big)}{\ln(1+r)}$$

Grunden til det er vigtigt at forstå annuiteter generelt, er at der er andre situationer end de almindelige lån/opsparingssituationer, hvor man kan bruge formlerne for nutids og fremtidsværdier.

Eksempel 1

📌

En mand har en pensionsopsparing på en million kr. som han får udbetalt over 10 år (120 ydelser). Renten er på 6% p.a. Vi vil gerne finde ud af hvor stor ydelsen er. Vi starter med at finde rentefoden: $$$\frac{6\%}{12}=0{,}5\%=0{,}005.$$$ Men nu skal vi tænke os om... for er det fremtidsværdiformlerne eller nutidsværdiformlerne vi skal kigge på? Ved at sammenligne med tidslinjerne kan vi se, at det er nutidsværdien vi har. Han starter nemlig med at have en million, som han får udbetalt i de terminer der ligger efter. Vi skal altså bruge formlen for ydelsen ud fra nutidsværdien, rentefoden og antallet af ydelser: $$$y=\frac{A_0\cdot r}{1-(1+r)^{-n}}=\frac{1000000\cdot 0{,}005}{1-(1+0{,}005)^{-120}}=11102{,}05.$$$ Altså får manden udbetalt 11102{,}05 kr. hver måned.

Øvelse 1

📌

Gleager opretter en konto i en bank. Renten er på 3% p.a. og rentetilskrivningerne er månedlige.

  1. Gleager sætter nu 100 kr. ind på sin konto hver måned i 10 år (120 ydelser). Hvor mange penge har Gleager efter de 10 år?

    13974,14 kr.

  2. Gleager har nu ikke råd til at sætte flere penge ind. Så han lader pengene stå på kontoen i 5 år. Hvor mange penge har han så?

    16232,60 kr.

  3. Gleager er nu totalt på røven. Han vælger derfor at få udbetalt 100 kr. hver måned. Bestem hvor mange ydelser hans opsparing rækker til.

    208 ydelser.

  4. Hvor lang tid går der før Gleager ikke har flere penge?

    17 år og 4 måneder (hvor han kan få udbetalt 100 kr.).