Differentialkvotienten - teknisk

Vi har nu fået en forståelse for hvad en differentialkvotient er. Gennem kapitlet har vi taget udgangspunkt i definitionen:

Definition 1 (problematisk)

📌

Differentialkvotienten for en funktion $$f(x)$$ er den funktion der til ethvert $$x$$ knytter hældningen på tangenten i punktet $$(x,f(x))$$. Differentialkvotienten betegner vi med $$f'(x)$$ (læses "f mærke af x").

Der er to grunde til det er en problematisk definition:

  1. Den bygger på en løs definition af, hvad en tangent er. Vi har defineret tangenten som en linje der ligger "op ad" grafen. Er det en entydig definition?

  2. Definitionen giver os ikke mulighed for at beregne differentialkvotienter. Vi har indtil videre benyttet tabeller og regler til at finde differentialkvotienterne, men hvor kommer reglerne fra?

Nej nej, vi har brug for en bedre definition. Den er lidt teknisk, men den vil blive forklaret i det efterfølgende.

Definition 2 (bedre men stadig lidt problematisk)

📌

Lad $$f(x)$$ være en funktion. Differentialkvotienten $$f'(x)$$ er givet ved:

$$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$$

Vi vil nu forklare, hvad definitionen betyder og hvor den kommer fra. Det vi gøre I en Geogebra-applet.

Der er dog visse problemer med definition 2. Sagen er at vi ikke kan være sikker på at grænseværdien $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ giver mening. I den føglende applet ses eksempler på funktioner, hvor grænseværdien ikke kan bestemmes:

Når grænseværdien ikke findes, siges funktionen at være "ikke differentiabel". Vi er nu klar til at præsentere den endelige definition:

Definition 3

📌

Lad $$f(x)$$ være en funktion. Hvis grænseværdien $$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$$ eksisterer for alle $$x\in\textrm{Dm}(f)$$ siges $$f(x)$$ at være differentialbel. Differentialkvotienten $$f'(x)$$ er da givet ved:

$$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$$

yes det er tough shit, men det er den præcise definition sorry.