Funktionsundersøgelse i Geogebra

Vi kan hurtigt og nemt lave funktionsundersøgelse i Geogebra:

Screenshot

Ved at klikke på "Ekstremum" og derefter klikke på grafen, finder man funktions ekstrema (surprise).

Knappen "Rødder" bruges til at bestemme funktionens nulpunkter.

Eksempel 1

📌

Vi vil benytte Geogebra til at lave en funktionsundersøgelse af funktionen $$f(x)=\ln(x^2+0.1)$$.

Vi indtaster funktionen i Geogebra:

Graf

Flot ser den ud. Den ligner lidt et bilmærke jeg ikke lige kan huske hvad er for et (ah Simon siger det er Mazda).

Ved at zoome lidt rundt på grafen kan vi se at $$\textrm{Dm}(f)=\mathbb{R}$$.

Vi vil nu finde nulpunkterne. Vi klikker "Rødder" og så på grafen:

Graf

Så får vi:

Graf

og vi kan se at nulpunkterne: $$x_1=-0{,}95$$ og $$x_2=0{,}95$$

Vi vil nu bestemme fortegn. Det er nemt når vi har nulpunkterne. Vi skal bare aflæse hvornår funktionen ligger over og under $$x$$-aksen.

$$f(x)>0$$ når $$x\in]-\infty;-0{,}95[\cup ]0{,}95;\infty[$$.
$$f(x)<0$$ når $$x\in]-0{,}95;0{,}95[$$.

Vi bestemmer nu ekstrema. Vi klikker "Ekstremum"

Graf

og vi får:

Graf

Altså $$f$$ har et globalt minimum i $$x=0$$ med minimumsværdi $$-2{,}3$$.

Yderligere kan vi se at $$f$$ er aftagende i intervallet $$]-\infty;0]$$ og voksende i intervallet $$[0;\infty[.$$

Vi kan se på grafen at definitionsmængden går fra minimumsværdien til uendeligt. Altså $$\textrm{Vm}(f)=[-2{,}3;\infty[$$

Øvelse 1

📌

Lad $$f(x)=x^5-x^4+x^2+5$$.

Bestem ekstrema for $$f$$ ved hjælp af Geogebra.

$$f$$ har lokalt maksimum i $$x=-0{,}55$$ med maksimumsværdi $$5{,}16$$.
$$f$$ har lokalt minimum i $$x=0$$ med minimumsværdi $$5$$.

Begrænsede funktioner

Vi skal nu lave funktionsundersøgelser af en begrænsede funktioner. Vi husker at man kan begrænse en funktion i Geogebra ved at bruge kommandoen

Graf

Eksempel 2

📌

Vi vil tegne grafen for funktionen $$f(x)=2^x-x^2+x$$, hvor $$x\in ]2;\infty[$$.

Vi skriver:

Graf

og vi får grafen:

Graf

Punktet har jeg indsat som et almindeligt punkt og (to-fingre)-klikket "Egenskaber..." og skiftet punktmarkering under "Stil".

Desværre kan Geogebra ikke finde ud af finde nulpunkter/ekstrema for begrænsede funktioner. Derfor er man nødt til at indtaste funktionen uden begrænsning, og så må man se bort fra de resultater som ligger udenfor der hvor funktionen er defineret.

Eksempel 3

📌

Vi vil nu bestemme ekstrema på funktionen fra eksempel 2. Altså ekstrema for funktionen funktionen $$f(x)=2^x-x^2+x$$, hvor $$x\in ]2;\infty[$$.

Vi skriver funktionen ind i Geogebra:

Graf

Klikker "Ekstremum" og så grafen:

Graf

og får:

Graf

Men da 1,44 ligger udenfor definitionsmænden har funktionen kun ét ekstremum og det er et globalt minimum i $$x=2{,}6$$ med minimumsværdi $$1{,}9$$.

Øvelse 2

📌

Lav ved hjælp a Geogebra en funktionsundersøgelse for funktionen $$f(x)=2e^x-5x^2$$, hvor $$x\in [-2;3[$$. Dvs. du skal bestemme:

  1. definitionsmængde

    $$\textrm{Dm}(f)=[-2;3[$$.

  2. værdimængde

    $$\textrm{Vm}(f)=[-19{,}73;2{,}26]$$.

  3. nulpunkter

    $$x_1=-0{,}49$$ og $$x_2=1{,}09$$.

  4. fortegn

    $$f(x)>0$$ når $$x\in]-0{,}49;1{,}09[$$.
    $$f(x)<0$$ når $$x\in[-2;-0{,}49[\cup]1{,}09;3[$$.
    $$f(x)=0$$ når $$x=-0{,}49$$ eller $$x=1{,}09$$.

  5. monotoniforhold

    $$f$$ er voksende i intervallerne $$[-2;0{,}26]$$ og $$[2{,}54;,3[$$
    $$f$$ er aftagende i intervallet $$[0{,}26;2{,}54]$$

  6. ekstrema

    $$f$$ har globalt minimum i $$x=-2$$ med minimumsværdi $$-19{,}73$$.
    $$f$$ har globalt maksimum i $$x=0{,}26$$ med maksimumsværdi $$2{,}26$$.
    $$f$$ har lokalt minimum i $$x=2{,}54$$ med minimumsværdi $$-6{,}9$$.