Wolfram Alpha

Wolfram Alpha er en super cool søgemaskine som kan regne. Man kan bruge på tilsvarende måde som vi bruger Geogebra. CAS-værktøjer kan godt drille lidt, og derfor er det nyttigt at kunne flere værktøjer. F.eks. så vi at Geogebra ikke kunne løse ligningen $$ln(x)=-x$$. Det kan Wolfram Alpha.

Øvelse 1

📌
Gå ind på http://www.wolframalpha.com og prøv at stille et spørgsmål.

Håber sgu du kunne finde ud af denne opgave.

Husk det er en engelsk søgemaskine så du skal skrive noget på engelsk - eller noget matematik. Ved nærmere eftertanke... skriv noget matematik. Det er jo det vi skal bruge den til!

Det er nemt at bruge Wolfram Alpha:

Eksempel 1

📌

Vi vil nu løse ligningen $$x^2=4$$ ved hjælp af Wolfram Alpha. Vi besøger http://www.wolframalpha.com og skriver ligningen ind:

Screenshot

Vi trykker "enter" og den tænker lidt... og så... tadaaaa:

Screenshot

Vi mangler så bare at finde ud af, hvad der er svaret på vores spørgsmål. Vi ser er der er noget som hedder "solutions" og det betyder jo "løsninger" så det må være svaret på vores spørgsmål:

Screenshot

Altså er løsningerne $$x=-2$$ og $$x=2$$.

Øvelse 2

📌

Ved hjælp af Wolfram Alpha skal du:

  1. Løse ligningen $$ln(x)\cdot x+x^2=5$$

    $$x=1{,}93$$

  2. Reducerer udtrykket $$(a+b)^5-a^5-b^5$$

    $$5a^4b+10 a^3 b^2+10 a^2 b^3+5 ab^4$$

  3. Bestemme nulpunkterne for $$x^4-3x^3+5x^2-x-3$$. Husk at et nulpunkt for et polynomium også kaldes en "rod".

    $$x=-0{,}58$$ og $$x=1{,}22$$

  4. Isolere $$v$$ i ligningen $$q=(15+w)^v-w$$

    $$v=\frac{log(q+w)}{log(w+15)}$$

Eksempel 2

📌

Nogle gange kan man komme ud for opgaver, hvor man skal arbejde lidt mere for at finde løsningen i Wolfram Alpha. Vi kigger på ligningen $$$\sqrt{P\cdot Q}=Q+R.$$$ Vi vil gerne løse ligningen mht. $$Q$$. Altså vi vil gerne isolere $$Q$$.

Det første problem er hvordan fok man skriver en kvadratrod ind i Wolfram Alpha? Det gør man ved at trykke "Ctrl+2" (på Mac vist, virkede i hvert fald ikke lige nu da jeg testede det på min windows). Alternativt kan man huske at $$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$ dvs. vi kan skrive ligningen som $$(P\cdot Q)^{0.5}=Q^2+R$$. Dette trick er så smart, da det ofte er et problem at finde ud af hvordan man laver en kvadratrod. Vi skriver:

"solve (P*Q)^0.5=Q+R for Q"

og ser at der er to muligheder for $$Q$$:

Screenshot

Øvelse 3

📌
  1. Hvad skal vi skrive for at løse ligningen $$(i+r)^4=i^2$$ mht. $$i$$?

    "solve (i+r)^4=i^2 for i"

  2. Hvad får vi, når vi løser ligningen $$(i+r)^4=i^2$$ mht. $$i$$?

    Der er 4 løsninger Screenshot

Det kan være svært at få skrevet udtrykket rigtigt ind, hvis det f.eks. der f.eks. indgår brøker, kvadratrødder osv. i udtrykket. Men frygt ej, der er et smart trick. Man kan bruge formeleditoren i Word til at skrive formlen ind og så kopiere den til Wolfram Alpha

Øvelse 4

📌
  1. Hvad skal vi skrive for at isolere $$W$$ i ligningen $$\sqrt{\frac{PQ}{WQ}}=P$$.

    "solve ((PQ)/(WQ))^0.5=P for W" eller hvis vi kopierer fra Word "√((PQ)/(WQ))=P"

  2. Hvad får vi, når vi isolerer $$W$$ i ligningen $$\sqrt{\frac{PQ}{WQ}}=P$$.

    $$W=\frac{1}{P}$$

Funktioner med Wolfram Alpha

Indtil videre har vi brugt Geogebra til opgaver med funktioner. Men Geogebra har problemer med funktioner som ikke er polynomier. Disse funktioner kan heldigvis klares med Wolfram Alpha.

Eksempel 3

📌

Vi vil gerne lave finde nulpunkter, fortegn, monotoniforhold og ekstrema for funktionen $$f(x)=x^{1{,}5}-x$$, $$x\geq 0$$.

Vi skriver den ind i Wolfram Alpha:

Screenshot

Vi kan se at den har nulpunkter i $$x=0$$ og $$x=1$$ og at den har et globalt minimum i $$x=\frac{4}{9}=0,{44}$$ med minimumsværdi $$-\frac{4}{27}=-0{,}15$$.

Ud fra det kan vi tænke os til fortegnsvariation og monotoniforhold:

Funktionen $$f$$ er negativ for $$x\in ]0;1]$$ og positiv for $$x\in ]1;\infty[$$

Funktionen $$f$$ er aftagende for $$x\in [0;0{,}44]$$ og voksende for $$x\in ]0{,}44;\infty[$$

Øvelse 5

📌

Lad $$f(x)=\ln(x)\cdot x -x$$, hvor $$x>0$$. Bestem ved hjælp af Wolfram Alpha

  1. Nulpunkter

    $$x=e$$ (vi husker $$e=2{,}72$$)

  2. Fortegn

    $$f(x)<0$$ for $$x\in ]0;e[ $$, $$f(x)>0$$ for $$x\in ]e;\infty[$$ og $$f(x)=0$$ for $$x=e$$

  3. Ekstrema

    $$f$$ har globalt minimum i $$x=1$$ med minimumsværdi $$-1$$.

  4. Monotoniforhold

    $$f$$ er aftagende for $$x\in ]0;1]$$ og $$f$$ er voksende for $$x\in [1;\infty[$$

Wolfram Alpha og komplekse tal

Måske har du lagt mærke til noget mærkeligt ved de funktioner Wolfram Alpha tegner:

Graf

Der er to grafer!!!! WTF !

Yderligere, når beder Wolfram Alpha om at løse ligningen: $$x^2=-1$$ giver den to løsninger:

Screenshot

Argh...uh... Hva sker der? Forklaringen på de dobbelte grafer og umulige løsninger er a Wolfram Alpha som udgangspunkt regner med komplekse tal (kan du se der står "Complex solutions" over løsningerne til ligningen?). Vi regner ikke med komplekse tal og derfor skal sådanne komplekse løsninger ignoreres.

Man kan godt få Wolfram Alpha til at tegne en normal graf. Man vælger bare "Real-valued plot":

Screenshot

og så får man en dejlig normal graf:

Graf

Øvelse 6

📌
Tegn grafen for $$f(x)=\ln(x)\cdot x -x$$ med Wolfram Alpha:

Graf