Omvendte funktioner

Vi har tidligere regnet øvelser hvor vi fandt $$x$$ ud fra $$f(x)$$. Vi har bl.a. regnet en øvelse hvor $$f(x)=5\cdot 1{,}1^x$$ og vi skulle løse ligningen $$f(x)=6$$. Den eneste måde vi kunne regne den på var ved at tegne i Geogebra. Vi ønsker nu at finde en metode til at løse sådanne ligninger ved beregning. Til det har vi brug for de såkalte logaritmer og før vi kan forstå dem, er vi nødt til at forstå omvendte funktioner.

Definition 1

📌

Hvis $$f(x)$$ er en funktion, er den omvendte funktion en funktion som gør det omvendte af $$f(x)$$.

Vi betegner den omvendte funktion med $$f^{-1}(x)$$.

Ovenstående definition er ikke særlig præcis... Det beklager jeg, men jeg er bange for den præcise definition er for kompliceret til mathhx.

Eksempel 1

📌

Lad $$f(x)=x+1$$. Det omvendte af at lægge 1 til er at trække 1 fra. Derfor er den omvendte funktion $$f^{-1}(x)=x-1$$.

Øvelse 1

📌

Bestem de omvendte funktioner til følgende funktioner:

  1. $$f(x)=x+2$$

    $$f^{-1}(x)=x-2$$

  2. $$f(x)=x-3$$

    $$f^{-1}(x)=x+3$$

  3. $$f(x)=3x$$

    $$f^{-1}(x)=\frac{x}{3}$$

  4. $$f(x)=\frac{x}{2}$$

    $$f^{-1}(x)=2x$$

  5. $$f(x)=4x-2$$ (... den er svær og kan springes over)

    $$f^{-1}(x)=\frac{1}{4}x+0{,}5$$

Det er ikke alle funktioner som har omvendte funktioner. Lad os tage $$f(x)=x^2$$ som eksempel. Hvad er det modsatte af at sætte i anden? Det er jo selvfølgelig at tage kvadratroden right? Tjooo jaahh, men der er faktisk også en anden mulighed nemlig minus kvadratroden...

Så hvis vi f.eks. ved at $$x^2=4$$ kan vi ikke vide om $$x=2$$ eller $$x=-2$$, da både $$2^2=4$$ og $$(-2)^2=4$$.

Tegner vi grafen kan vi se problemet: Hvis vi står med en $$y$$-værdi og gerne vil regne baglæns er der to muligheder for $$x$$:

Graf

Så hvis $$f(x)=x^2$$ skulle have en omvendt funktion skulle $$f^{-1}(4)$$ både give $$2$$ og $$-2$$ på en gang. Da en funktionsværdi ikke kan være to forskellige ting på en gang findes der ikke nogen omvendt funktion til $$f(x)=x^2$$. Kigger vi i stedet på funkionen $$f(x)=2x-3$$ er der ikke nogle problemer. Uanset hvilken $$y$$-værdi vi tager fat i er der kun en mulighed for $$x$$:

Graf

Definition 2

📌

En funktion som har en omvendt funktion kaldes invertibel.

Ifølge ovenstående betragtninger er en invertibel funktion altså en funktion som kun har en $$x$$-værdi til hver $$y$$-værdi.

Øvelse 2

📌

Ved at tegne i Geogebra skal du afgøre, hvilke af følgende funktioner som er invertible.

  1. $$f(x)=x^3$$

    Invertibel

  2. $$f(x)=x^3-4x^2$$

    Ikke invertibel

  3. $$f(x)=x+10$$

    Invertibel

  4. $$f(x)=x^4$$

    Ikke invertibel

  5. $$f(x)=x^2$$, $$x\in [0;\infty [$$

    Invertibel

Øvelse 3

📌
Gør rede for at eksponentielle funktioner er invertible.

Eksponentielle funktioner stiger eller falder med en fast procent. De er altså enten voksende elller aftagende i hele deres definitionsmængde. Derfor kan vi ikke have to forskellige $$x$$ værdier til samme $$y$$-værdi.

Øvelse 4 (svær)

📌

Når man danner den omvendte funktion bliver definitionsmængde til værdimænge og værdimængde til definitionsmængde.

Forklar hvorfor.

Det er fordi at $$x$$-værdierne bliver til $$y$$-værdier og $$y$$-værdierne bliver til $$x$$-værdier, når man danner den omvendte funktion.

Øvelse 5 (svær)

📌

Grafen for den omvendte funktion $$f^{-1}(x)$$ fås ved at spejle grafen for $$f(x)$$ i en bestemt linje. Angiv en forskrift for denne linje. Brug Geogebra.

Forklar hvorfor.

$$y=x$$

Øvelse 6 (svær)

📌

En funktion $$f(x)$$ har Dm$$(f)=]0;\infty[$$ og Vm$$(f)=]-\infty;\infty[$$.

Bestem definitions og værdimængden for den omvendte funktion $$f^{-1}(x)$$.

Dm$$(f^{-1})=]-\infty;\infty[$$ og Vm$$(f^{-1})=]0;\infty]$$