Differentialregning i Geogebra

Det er nemt at finde differentialkvotienter i Geogebra.

Eksempel 1

📌

Lad $$f(x)=x\cdot e^x$$. Vi finder $$f'(x)$$ ved hælp af Geogebra ved først at indtaste $$f(x)$$:

Geogebra screenshot

og derefter skriver vi "f'(x)" i inputfeltet:

Geogebra screenshot

og tadaaa!

Geogebra screenshot

Altså er $$f'(x)=e^x+xe^x$$.

Øvelse 1

📌

Lad $$f(x)=\frac{x}{\textrm{ln}(x)}$$

Bestem $$f'(x)$$ vha. Geogebra.

$$$f'(x)=\frac{\textrm{ln}(x)-1}{\textrm{ln}(x)^2}$$$

Det er (næsten) ligeså nemt at finde tangenter i Geogebra.

Eksempel 2

📌

Vi vil finde en ligning for tangenten til funktionen $$f(x)=\frac{x}{\textrm{ln}(x)}$$ fra øvelse 1 i punktet $$(2,f(2))$$. Vi intaster $$f$$ i Geogebra:

Geogebra screenshot

Vi begynder at skrive tangent og den komme selv med forslag:

Geogebra screenshot

og vi indtaster "2" som punkt (x-koordinaten) og "f" som funktion:

Geogebra screenshot

og vi kan se tangenten og en en ligning for tangenten:

Geogebra screenshot

Øvelse 2

📌

Lad $$f(x)=\sqrt{x^2+1}$$.

  1. Bestem $$f'(x)$$.

    $$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

  2. Bestem tangenten til $$f$$ gennem punktet $$(1,f(1))$$.

    $$y=0{,}71x+0{,}71$$

Eksempel 3

📌

Vi vil bestemme en ligning for den tangent for $$f(x)=x^2$$ som er parallel med $$y=2x+4$$.

Hvis tangenten skal være parallel med $$y=2x+4$$, skal den have en hældning på $$2$$. Altså skal $$f'(x)=2$$.

Vi åbner skriver funktionen ind og åbner et "CAS"-vindue:

Geogebra screenshot

Vi skriver "solve(f'(x)=2,x)" ind i CAS-vinduet. Kommandoen fortæller Geogebra at den skal finde $$x$$ i ligningen $$f'(x)=2$$:

Geogebra screenshot

Vi får

Geogebra screenshot

Altså har tangenten en hældning på $$2$$ når $$x=1$$.

Vi kan nu finde ligningen ved at skrive: "Tangent[1,f]". Tangentens ligning bliver: $$$y=2x-1.$$$

Øvelse 3

📌

Lad $$f(x)=x^2$$.

Bestem den tangent til $$f$$ som har en hældning på $$-3$$.

$$$y=-3x-2{,}25$$$

Det punkt hvor tangenten rører grafen kaldes røringspunktet:

Geogebra screenshot

Eksempel 4

📌

Vi vil finde røringspunktet for tangenten i eksempel 3.

I eksemplet fandt vi ud af at $$x$$-koordinaten til røringspunktet var 1. Vi finder så $$y$$-koordinaten ved at sige $$f(1)$$ (hvorfor?). Vi husker fra eksemplet at $$f(x)=x^2$$

$$$f(1)=1^2=1$$$

Altså er røringspunktet $$(1;1)$$.

Øvelse 4

📌

Lad $$f(x)=\sqrt{e^x}$$.

  1. Bestem en ligning for den tangent som er parallel med linjen $$y=2x-10$$.

    $$y=2x-1{,}55$$

  2. Bestem røringspunktet til den tangent som er parallel med linjen $$y=2x-10$$.

    $$(2{,}77;4)$$

Øvelse 5

📌

Lad $$f(x)=x^5-x^4$$. Funktionen $$f(x)$$ har to tangenter der er parallelle med $$y=3x-2$$.

Bestem en ligning for disse to tangenter.

$$y=3x+1{,}7$$.

$$y=3x-3{,}19$$.

Som altid er det helt ok at bruge Geogebra til skriftlige afleveringer/eksamen, så det vil jeg anbefale til den type opgaver (hvis de er "med hjælpemidler").