Konfidensintervaller for basissandsynligheden i en binomialfordeling

Ligesom vi bestemte konfidensintervaller for midddelværdien i en normalfordeling kan vi også bestemme konfidensintervaller for basissandsynligheden $$p$$ i en binomialfordeling.

Vi husker at en binomialfordeling er noget der opstår, når vi gentager et forsøg med to muligheder flere gange. Hvis blå blok laver en meningsmåling, hvor de spørger 100 mennesker om de vil stemme blåt eller rødt til næste valg er det en binomialfordeling $$b(100,p)$$, hvor p er sandsynligheden for at en tilfældig person vil stemme blåt. Antag nu, at en sådan meningsmåling viste at 51 personer stemte blåt. Ud fra resultatet kan vi estimere at $$\frac{51}{100}=51\%$$ vil stemme blåt. Estimatet betegner vi med $$\hat{p}$$. Vi har altså at $$\hat{p}=0,51$$, men betyder det så at vi kan være sikre på blå blok vinder valget? Det kan de finde ud af ved at lave et konfidensinterval.

Vi laver konfidensintervaller for binomialfordelinger helt på tilsvarende måde som for normalfordelinger. Vi vælger bare "Z interval for andel" i Geogebra:

Screenshot

Vi vil gerne finde et 95%-konfidensinterval så vi intaster værdierne:

Screenshot

Og vi kan så aflæse konfidensintervallet:

Screenshot

Vi får altså et 95%-procentkonfidensinterval på [0,412;0,608], hvilket betyder, at vi kan være 95% sikre på at blå bloks vælgertilslutning er mellem 41,2% og 60,8%. Så den meningsmåling kan de ikke bruge til så meget.

Øvelse 1

📌

En elev ville undersøge ungdomsarbejdsløsheden i Danmark og gik ned på Kultorvet og spurgte 200 unge om de var i arbejde. Der var 32 ud af de 200 som var ikke var i arbejde.

  1. Angiv et estimat af ungdomsarbejdsløsheden.

    $$\hat{p}=0{,}16$$

  2. Bestem et 90%-konfidensinterval for ungdomsarbejdsløsheden og forklar, hvad det betyder.

    Konfidensintervallet er [0,12;0,20], hvilket betyder at vi med 90%-sikkerhed kan sige at undomgsarbejdsløsheden ligger mellem 12% og 20%

Øvelse 2

📌

Vi vender tilbage til blå blok og deres meningsmålinger. For at blive klogere på om de vinder valget spørger de nu 1000 menesker. Resultatet er at 527 ville stemme blåt.

  1. Angiv et estimat af sansynligheden for at en tilfældig person vil stemme blåt

    $$\hat{p}=0{,}527$$

  2. Kan blå blok nu være sikre på at vinde valget?

    De kan være 90% sikre på at vinde det, men ikke 95%.

Øvelse 3

📌

Ved at spørge rundt i klassen skal du udtale dig kvalificeret om hvor mange der fortrækker Burger King frem for McDonalds.

Begrænsninger

Skal man være helt korrekt (og det skal man jo) er det vigtigt at bemærke at der er nogle begrænsninger i forhold til metoden i Geogebra. Metoden virker kun såfremt stikprøvenstørrelsen er 30 og $$p$$ ikke er meget lille eller meget stor.