Tangentens ligning

Indtil videre har vi været optaget af at finde tangentens hældning (differentialkvotienten). Nu skal vi se hvordan man bestemmer en ligning for tangenten.

Tangenten er en lineær funktion $$f(x)=ax+b$$, men vi skriver det som $$y=ax+b$$ når der er tale om en tangent.

Eksempel 1

📌

Lad $$f(x)=x^2$$. Vi vil gerne bestemme en ligning for tangenten igennem punktet $$(-1,1)$$:

Tangent

Vi kan aflæse at tangentens ligning er $$y=-2x-1$$, da tagenten skærer $$y$$-aksen i $$y=-1$$ og den har hældning på $$-2$$.

Men det er jo lidt snyd, fordi jeg allerede har tegnet tangenten ind. Ofte har man ikke en graf at aflæse den på. I stedet vil vi nu beregne tangentens ligning.

Vi starter med at finde hældningen. Vi kigger i tabellen for differentialkvotienter og ser at $$$f'(x)=2x^{2-1}=2x.$$$ Vi er intereseret i hældningen når $$x=-1$$, så vi udregner $$$f'(-1)=2\cdot (-1)=-2.$$$ Altså er hældningen $$a=-2$$.

Vi mangler at finde skæringen med y-aksen, $$b$$.

Vi har lige fundet ud af at $$a=-2$$ og vi ved at når $$x=-1$$ så er $$y=1$$ (den går jo igennem $$(-1,1)$$).

Så vi sætter ind i $$y=ax+b$$: $$$1=-2\cdot (-1)+b.$$$ Vi regner: $$$1=2+b$$$ hvilket betyder at $$b=-1$$. Altså er tangentens ligning $$$y=-2x-1$$$ hvilket passer med aflæsningen hurra!

Øvelse 1

📌

Nedenunder ses grafen for $$f(x)=x^2$$, og der er indtegnet en tangent i punktet $$(1,f(1))=(1,1)$$.

Tangent

  1. Bestem ved beregning en ligning $$y=ax+b$$ for tangenten.

    Se b)

  2. Tjek ved aflæsning at du har fået den rigtige ligning.

    Du har lige selv tjekke at du har regnet rigtigt!

Øvelse 2

📌

Bestem ved beregning en ligning for følgende tangenter.

  1. Tangenten igennem $$(2,4)$$ når $$f(x)=x^2$$.

    $$y=4x-4$$

  2. Tangenten igennem $$(1,0)$$ når $$f(x)=x^2-x$$.

    $$y=x-1$$

  3. Tangenten igennem $$(2,f(2))$$ når $$f(x)=\textrm{ln}(x)$$.

    $$y=\frac{1}{2}x-0,31$$

  4. Tangenten igennem $$(4,f(4))$$ når $$f(x)=\sqrt{x}$$.

    $$y=\frac{1}{4}x+1$$

I stedet for metoden i eksempel 1 kan man også bruge følgende sætning til at bestemme tangentens ligning.

Sætning 1

📌

Lad $$f$$ være en differentiabel funktion. Da er tangenten gennem punktet $$(x_0,f(x_0))$$ givet ved ligningen: $$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$$

Eksempel 2

📌

Vi kigger på funktionen $$f(x)=2x^3$$. Vi vil nu bruge sætning 1 til at bestemme tangenten gennem $$(2,f(2))$$.

I sætningen indgår $$f(x_0)$$ og $$f'(x_0)$$ og vi starter med at bestemme $$f(x_0)$$. Vi ser at $$x_0=2,$$ så: $$$f(x_0)=f(2)=2\cdot 2^3=16$$$

Vi slår $$f'$$ op til at være $$$f'(x)=2\cdot 3x^{3-1}=6x^2,$$$ så $$$f'(x_0)=f'(2)=6\cdot 2^2=24.$$$

Vi sætter ind i $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$.:

$$$y=24(x-2)+16,$$$ og vi ganger ud $$$y=24x-48+16=24x-32.$$$ Altså tangentens ligning er $$y=24x-32$$.

Øvelse 3

📌

Benyt sætning 1 til at bestemme ligningen for følgende tangenter:

  1. Tangenten gennem $$(3,f(3))$$ når $$f(x)=3x^2-12x+1$$.

    $$y=6x-26$$

  2. Tangenten gennem $$(-1,f(-1))$$ når $$f(x)=\frac{1}{x}$$.

    $$y=-x-2$$

  3. Tangenten gennem $$(4,f(4))$$ når $$f(x)=2x-1$$.

    $$y=2x-1$$

  4. Tangenten gennem $$(9,f(9))$$ når $$f(x)=6\cdot\sqrt{x}$$.

    $$y=x+9$$

Vi skal nu se på et eksempel hvor vi vil finde en tangent til en funktion gennem et ukendt punkt, men med en kendt hældning.

Eksempel 3

📌

Lad $$f(x)=-x^2$$. Vi vil finde den tangent som har hældningen 1, hvis der overhovedet findes sådan en!?!?

Vi ved ikke hvor tangenten er, men vi ved at tangentens hældning er givet ved $$f'$$, og da vi leder efter en tangent med hældning 1, kan vi altså finde tangenten ved at løse ligningen $$$f'(x_0)=1.$$$ Ved opslag får vi $$f'(x)=-2x$$ så $$$-2x_0=1$$$ og det må betyde at $$x_0=-\frac{1}{2}$$.

Nu hvor vi har $$x_0$$ kan vi finde tangentens ligning som vi har gjort i de tidligere øvelser. Vi ser at:

$$x_0=-\frac{1}{2}$$
$$f(x_0)=-(-\frac{1}{2})^2=-\frac{1}{4}$$ $$f'(x_0)=1$$ (det vidste vi fra starten, da hældningen skal være 1).

Fra sætning 1 får vi at ligningen for tangenten er givet ved: $$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$$ Vi indsætter vores værdier og får $$$y=1(x-(-\frac{1}{2}))+(-\frac{1}{4}).$$$ Vi reducerer og får tangentens ligning til: $$$y=x+\frac{1}{4}.$$$

Øvelse 4

📌
  1. Lad $$f(x)=x^2+2x$$. Bestem en ligning for den tangent som har en hældning på $$-4$$.

    $$y=-4x-9$$

  2. Lad $$f(x)=\sqrt{x}+1$$. Bestem en ligning for den tangent som er parallel med linjen $$y=\frac{1}{2}x+2$$ (VINK: hvad skal hældningen på tangenten være hvis den skal være parallel med linjen?).

    $$y=\frac{1}{2}x+1{,}5$$

  3. Lad $$f(x)=x^3$$. Bestem ligningen for de to tangenter som er parallelle med linjen $$y=12x-5$$.

    $$y=12x+16$$ og $$y=12x-16$$.

  4. Lad $$f(x)=5x$$. Undersøg ved beregning om der findes nogle tangenter med hældning -3.

    Det gør der ikke.