MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

4.3 Toppunkt og nulpunkter for andengradspolynomier

Vi bliver ved andengradspolynomier, dvs. funktioner på formen:

\[f(x)=ax^2+bx+c\quad , \quad \text {hvor } a \neq 0\]

I dette afsnit skal vi se, hvordan man beregner forskellige størrelser relateret til andengradspolynomier.

Diskriminant

Diskriminanten er en størrelse, som indgår i nogle formler, vi vil støde på senere.

  • Definition 4.3.1
    For et andengradspolynomium \(f(x)=ax^2+bx+c\) er diskriminanten \(d\) defineret ved:

    \[d=b^2-4ac.\]

  • Eksempel 4.3.1
    Vi vil finde diskriminanten for polynomiet \(f(x)=2x^2+3x-1\).

    Vi aflæser \(a=2\), \(b=3\) og \(c=-1\).

    Diskriminanten bliver så:

    \begin{align*} d & = b^2-4ac\\ & = 3^2-4\cdot 2\cdot (-1)\\ & =9+8\\ & =17 \end{align*} Altså \(d=17\).

Øvelse 4.3.1

Bestem diskriminanten for følgende polynomier:

  • a) \(f(x)=2x^2-4x+1\)

  • b) \(f(x)=x^2+2x-2\)

  • c) \(f(x)=-x^2\)

  • d) \(f(x)=x^2-4\)

Løsning 4.3.1

  • a) \(d=8\)

  • b) \(d=12\)

  • c) \(d=0\)

  • d) \(d=16\)

Toppunkt

Et andengradspolynomium har altid et globalt ekstremum og det kaldes Toppunktet:

(-tikz- diagram)

(-tikz- diagram)

Øvelse 4.3.2

Betragt grafen for et andengradspolynomium \(f\):

(-tikz- diagram)

  • a) Aflæs koordinaterne til toppunktet.

Løsning 4.3.2

  • a) \((3,1)\)

Vi kan beregne toppunktet.

  • Sætning 4.3.1 (Toppunktsformlen)
    Toppunktet for et andengradspolynomium \(f(x)=ax^2+bx+c\) med diskriminant \(d\), kan bestemmes ved:

    \[T=\left (\frac {-b}{2a},\frac {-d}{4a}\right ).\]

  • Eksempel 4.3.2
    Lad \(f(x)=-x^2+2x-1\). Vi vil gerne bestemme toppunktet. Vi kan se i sætning 4.3.1, at diskriminanten optræder i formlen for toppunktet, så vi bestemmer først diskriminanten.

    \begin{align*} d & =b^2-4ac\\ & =2^2-4\cdot (-1)\cdot (-1)\\ & =0 \end{align*} Toppunktet kan så bestemmes:

    \begin{align*} T & = \left (\frac {-b}{2a},\frac {-d}{4a}\right )\\ & = \left (\frac {-2}{2\cdot (-1)},\frac {0}{4\cdot (-1)}\right )\\ & = \left (\frac {-2}{-2},\frac {0}{-4}\right )\\ & =\left (1,0\right ) \end{align*} Altså er toppunktet \((1,0)\).

Øvelse 4.3.3

Beregn toppunktet for følgende funktioner

  • a) \(f(x)=2x^2-4x+1\)

  • b) \(f(x)=-x^2+2\)

  • c) \(f(x)=2x^2\)

Løsning 4.3.3

  • a) \((1,-1)\)

  • b) \((0,2)\)

  • c) \((0,0)\)

BEMÆRK: Det er kun for andengradspolynomier, vi kalder ekstremum for toppunkt. HUSK DET!

Nulpunkter for andengradspolynomier

Vi har tidligere lært om nulpunkter. Vi husker, at det er der, hvor funktionen skærer x-aksen.

Øvelse 4.3.4

Betragt grafen for et andengradspolynomium:

(-tikz- diagram)

  • a) Aflæs nulpunkterne

Løsning 4.3.4

  • a) Der er to nulpunkter. Et i \(x=-1\) og et i \(x=3\)

Vi husker, at man beregner nulpunkter ved at løse ligningen \(f(x)=0\). Denne ligning kan umiddelbart være lidt svær at løse, når \(f(x)\) er et andengradspolynomium, så i stedet har vi følgende sætning til beregne nulpunkterne:

  • Sætning 4.3.2 (Nulpunktsformler)
    For et andengradspolynomium \(f(x)=ax^2+bx+c\) med diskriminant \(d\) gælder:

    Hvis \(d<0\), så er der ingen nulpunkter.

    Hvis \(d=0\), så er der et nulpunkt og det er bestemt ved

    \[x=\frac {-b}{2a}\]

    Hvis \(d>0\), så er der to nulpunkter, \(x_1\) og \(x_2\), og de er bestemt ved

    \[x_1=\frac {-b-\sqrt {d}}{2a}\quad \textrm { og }\quad x_2=\frac {-b+\sqrt {d}}{2a}\]

Ud fra sætningen kan vi se, at diskriminanten fortæller os, hvor mange nulpunkter der er.

  • Eksempel 4.3.3
    Lad \(f(x)=-x^2-2\). Da er

    \begin{align*} d & = b^2-4ac \\ & = 0^2-4\cdot (-1) \cdot (-2)\\ & =-8. \end{align*}

    Derfor har \(f\) ifølge sætning 4.3.2 ingen nulpunkter.

  • Eksempel 4.3.4
    Lad \(f(x)=2x^2\). Da er

    \begin{align*} d & = b^2-4ac \\ & =0^2-4\cdot 2\cdot 0\\ & =0. \end{align*} Ifølge sætning 2 har \(f\) et nulpunkt:

    \[x=\frac {-b}{2a}=\frac {-0}{2\cdot 2}=\frac {-0}{4}=0.\]

    Vi konkluderer at \(f\) har \(x=0\) som sit eneste nulpunkt.

  • Eksempel 4.3.5
    Lad \(f(x)=x^2-4\). Da er

    \begin{align*} d & =b^2-4ac\\ &=0^2-4\cdot 1(-4)\\ & =0+16\\ & =16. \end{align*} Ifølge sætning 4.3.2 er der to nulpunkter og de bestemmes ved

    \[x_1=\frac {-b-\sqrt {d}}{2a}=\frac {-0-\sqrt {16}}{2\cdot 1}=\frac {-4}{2}=-2\]

    og

    \[x_2=\frac {-b+\sqrt {d}}{2a}=\frac {-0+\sqrt {16}}{2\cdot 1}=\frac {4}{2}=2.\]

    Altså \(f\) har nulpunkterne \(x_1=-2\) og \(x_2=2\).

Øvelse 4.3.5

Beregn nulpunkterne for

  • a) \(f(x)=-x^2\)

  • b) \(f(x)=x^2+2x+1\)

  • c) \(f(x)=x^2-9\)

  • d) \(f(x)=x^2+x-2\)

  • e) \(f(x)=-2x^2+6x\)

Løsning 4.3.5

  • a) \(x=0\)

  • b) \(x=-1\)

  • c) \(x_1=-3\) og \(x_2=3\)

  • d) \(x_1=-2\) og \(x_2=1\)

  • e) \(x_1=3\) og \(x_2=0\)

  • Eksempel 4.3.6
    Betragt grafen for et andengradspolynomium \(f\):

    (-tikz- diagram)

    Vi kan se, at grafen at grafen ikke skærer \(x\)-aksen, så \(f\) har ingen nulpunkter, og derfor må diskriminanten være mindre end nul.

Øvelse 4.3.6

Betragt graferne for de tre andengradspolynomier: \(f\), \(g\) og \(h\).

(-tikz- diagram)

(-tikz- diagram)

(-tikz- diagram)

  • a) Bestem fortegnet for diskriminanten for \(f\).

  • b) Bestem fortegnet for diskriminanten for \(g\).

  • c) Bestem fortegnet for diskriminanten for \(h\).

Løsning 4.3.6

  • a) \(d>0\)

  • b) \(d=0\)

  • c) \(d<0\)

Ekstra

Sætning 4.3.2 er lidt svær at huske. Men man kan faktisk nøjes med at huske en enkelt formel:

\[x=\frac {-b\pm \sqrt {d}}{2a}\]

Det er nemmest at forklare ved at vise nogle eksempler.

  • Eksempel 4.3.7
    Vi vil bestemme nulpunkter for \(f(x)=x^2+1\). Diskriminanten bliver \(d=-4\) (regn selv efter). Vi kigger på formlen:

    \[x=\frac {-b\pm \sqrt {d}}{2a}\]

    Vi ser at vi får et problem, hvis vi prøver at tage kvadratroden af \(d\), da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal. Det minder os om, at der ikke er nogle nulpunkter, når \(d\) er negativ.

  • Eksempel 4.3.8
    Vi vil bestemme nulpunkter for \(f(x)=x^2\). Diskriminanten bliver \(d=0\) (regn selv efter). Vi kigger på formlen:

    \[x=\frac {-b\pm \sqrt {d}}{2a}\]

    Da \(d=0\) bliver formlen til

    \[x=\frac {-b}{2a}\]

    hvilket svarer til formlen fra sætning 4.3.2, og vi kan regne videre som tidligere.

  • Eksempel 4.3.9
    Vi vil bestemme nulpunkter for \(f(x)=x^2-1\). Diskriminanten bliver \(d=4\) (regn selv efter). Vi indsætter i formlen:

    \[x = \frac {-b\pm \sqrt {d}}{2a} = \frac {-0\pm \sqrt {4}}{2\cdot 1}= \frac {0\pm 2}{2}= \begin {cases} 1 \\ -1 \end {cases}\]

    I det sidste skridt har vi regnet udtrykket \(\frac {0\pm 2}{2}\) to gange. En gang med plus og en gang med minus, hvilket giver \(1\) og \(-1\).

Øvelse 4.3.7

Lad \(f(x)=x^2+bx+5\)

  • a) Hvad skal \(b\) være, hvis førstekoordinaten til toppunktet skal være \(-3\)?

Løsning 4.3.7

  • a) \(b=6\)

Øvelse 4.3.8

Lad \(f(x)=ax^2+4x+2\)

  • a) Hvad skal \(a\) være, hvis \(f\) skal have netop \(1\) nulpunkt?

Løsning 4.3.8

  • a) \(a=2\)

Vi afslutter afsnittet med en ret svær øvelse. Kun for de klåge.

Øvelse 4.3.9 (Svær)

I sidste afsnit lærte vi, at koefficienten \(a\) kan aflæses som det stykke parablen vokser med, når \(x\) vokser med \(1\) med udgangspunkt i toppunktet. I denne øvelse skal du bevise, at det er rigtigt

Lad \(x_T\) betegne førstekoordinaten til toppunktet.

  • a) Bestem en formel for \(x_T\). Den kan ses direkte af toppunktsformlen.

  • b) Bestem \(f(x_T)\)

  • c) Bestem \(f(x_T+1)\)

  • d) Regn \(f(x_T+1)-f(x_T)\)

  • e) Argumenter nu for, at \(a\) kan aflæses som det stykke parablen vokser med, når \(x\) vokser med \(1\) med udgangspunkt i toppunktet.

Løsning 4.3.9

  • a) \(x_T=\frac {-b}{2a}\)

  • b) \(f(x_T)=\frac {-b^2+4ac}{4a}\)

  • c) \(f(x_T+1)=\frac {4a^2 - b^2 + 4ac}{4a}\)

  • d) \(f(x_T+1)-f(x_T)=a\)

  • e) At \(f(x_T+1)-f(x_T)=a\) betyder at grafen vokser med \(a\) når vi går \(1\) ud fra toppunktet.