MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

10.1 Grafisk bestemmelse af differentialkvotienter

Differentialregning handler om, hvor meget en funktion vokser eller aftager i et bestemt punkt på grafen. Lad os først se på en lineær funktion med forskriften \(f(x)=-2x+3\) og et punkt på grafen \(P\):

(-tikz- diagram)

Vi vil gerne finde væksten i \(P\). Det er nemt, da funktionen er lineær og væksten derfor er konstant overalt på grafen. Vi ved at væksten på en lineær funktion beskrives med hældningen, og derfor kan vi sige at væksten på denne funktion er \(-2\), da den har hældningen \(-2\).

Vi ser nu på en funktion, som ikke er lineær, nemlig funktionen \(f(x)=x^2\).

(-tikz- diagram)

Da funktionen ikke er lineær, har den ingen fast hældning og væksten afhænger af, hvor vi er på grafen. Vi ser at grafen starter med at falde meget og får så større og større vækst. Hvis vi zoomer in sker der dog noget spændende. Lad os zoome ind på \(P\):

(-tikz- diagram) (-tikz- diagram)

Vi ser at Funktionen er næsten lineær når vi er tæt på \(p\). Zoomer vi endnu mere ligner grafen for \(f\) fuldstændigt en lineær funktion:

(-tikz- diagram) (-tikz- diagram)

Så når vi er tæt på \(P\), så ligner grafen altså en lineær funktion og denne lineære funktion kaldes tangenten i punktet \(P\). Dens hældning er udtryk for grafens øjeblikkelige vækst i punktet \(P\) og kaldes differentialkvotienten i \(P\). Jeg skriver ”øjeblikkelige” fordi væksten jo ændrer sig i det øjeblik vi bevæger os væk fra \(P\). I praksis kan vi tegne tangenten ved at tegne en lineær funktion som ligger ”op ad” grafen som vist her:

(-tikz- diagram)

Lad os prøve at zoome for at tjekke om vores tangent har den ønskede egenskab:

(-tikz- diagram) (-tikz- diagram)

Vi kan se at når vi kommer tæt på punktet \(P\), så er det svært at se forskel på grafen og tangenten — det betyder at vi har tegnet tangenten rigtigt. Vi aflæser nu hældningen på tangenten:

(-tikz- diagram)

Differentialkvotienten afhænger af, hvilket punkt vi betragter. I det konkrete eksempel kiggede vi på punktet på grafen med en \(x\)-koordinat på \(1\):

(-tikz- diagram)

Havde vi valgt en anden \(x\)-værdi, havde vi fået en anden værdi for differentialkvotienten. Differentialkvotient er derfor en funktion af \(x\) og vi betegner den med \(f'\) (læses f mærke). Vi fandt ud af, at når \(x=1\) så var differentialkvotienten \(2\), så det må betyde at \(f'(1)=2\). Det kan vi skrive ind i et sildeben:

\[\begin {array}{| l | c |} \hline x & 1 \\ \hline f'(x) & 2 \\ \hline \end {array}\]

For at blive klogere på \(f'\) vil vi nu gerne vil vi gerne tegne grafen, så vi aflæser nogle flere hældninger. Vi tegner nu tangenten i punktet \(Q\) med \(x\)-koordinat \(0{,}5\) og aflæser hældningen:

(-tikz- diagram)

Vi ser at hældningen er \(1\), hvilket vi skriver ind i sildebenet:

\[\begin {array}{| l | c | c |} \hline x & 0{,}5 & 1 \\ \hline f'(x) & 1 & 2 \\ \hline \end {array}\]

På samme måde tegner vi flere tangenter og aflæser deres hældninger

\[\begin {array}{| l | c | c | c | c | c | c | c |} \hline x & -2 &-1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 2\\ \hline f'(x) & -4 & & & &1 & 2 & 4\\ \hline \end {array}\]

Øvelse 10.1.1

Her er en version af ovenstående graf, men lavet på en måde, så det er lidt nemmere at aflæse på den.

(-tikz- diagram)

  • a) Jeg indrømmer at det svært at gøre præcist, men du skal efter bedste evne ”tegne” tangenter og aflæse deres hældninger, så du kan de manglende felter i tabellen oven over. Læg en lineal over skærmen og vurder hvad hældningen på tangenten er.

Løsning 10.1.1

  • a)

    \[\begin {array}{| l | c | c | c | c | c | c | c |} \hline x & -2 &-1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 2\\ \hline f'(x) & -4 & -2 & -1 & 0 &1 & 2 & 4\\ \hline \end {array}\]

Vi vil gerne se om vi kan gætte forskriften for \(f\), så vi skriver punkterne fra sildebenet ind i et koordinatsystem og forbinder dem:

(-tikz- diagram)

Vi ser at punkterne fra sildebenet ligger på en linje. Så \(f'(x)\) er altså en lineær funktion. Linjen skærer \(y\)-aksen i \(0\) og har hældning \(2\). Altså har differentialkvotienten forskriften \(f'(x)=2x\).

Øvelse 10.1.2

  • a) Tegn i Geogebra grafen for \(f(x)=-x^2+2\).

  • b) Lav et sildeben for \(f'(x)\) ved at aflæse tangenthældninger. Læg f.eks. en lineal hen over skærmen for at vurdere hældningerne.

  • c) Bestem en forskrift for \(f'(x)\) ved at tegne punkterne fra sildebenet ind i et koordinatsystem.

Løsning 10.1.2

  • a) Graf

    (-tikz- diagram)

  • b)

    \[\begin {array}{| l | c | c | c | c | c | c | c |} \hline x & -2 &-1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 2\\ \hline f'(x) & 4 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 & -4\\ \hline \end {array}\]

  • c) \(f(x)=-2x\)

Øvelse 10.1.3

Bestem som i øvelse 10.1.2 forskriften for den afledte funktion (differentialkvotienten) for følgende funktioner.

  • a) \(f(x)=x^2-x+1\)

  • b) \(f(x)=3x\)

  • c) \(f(x)=-x\)

  • d) \(f(x)=0\)

Løsning 10.1.3

  • a) \(f'(x)=2x-1\)

  • b) \(f'(x)=3\)

  • c) \(f'(x)=-1\)

  • d) \(f'(x)=0\)

Øvelse 10.1.4

Tegn grafer i Geogebra og aflæs følgende værdier:

  • a) \(f(-1)\) og \(f'(-1)\) for funktionen \(f(x)=x^3\).

  • b) \(f(3)\) og \(f'(3)\) for funktion \(f(x)=2x+1\).

Løsning 10.1.4

  • a) \(f(-1)=-1\) og \(f'(-1)=3\).

  • b) \(f(3)=7\) og \(f'(3)=2\) for funktion \(f(x)=2x+1\).

Øvelse 10.1.5

Tegn grafen for \(f(x)=\frac {1}{3}x^3\) i Geogebra.

  • a) Lav et sildeben med for \(f'\).

  • b) Plot punkterne ind i et koordinatsystem.

  • c) Tegn grafen for \(f'\).

  • d) Kom med et bud på forskriften for \(f'\)

Løsning 10.1.5

  • a)

    \[\begin {array}{| l | c | c | c | c | c | c | c |} \hline x & -2 &-1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 2\\ \hline f'(x) & 4 & 1 & 0{,}25 & 0 & 0{,}25 & 1 & 4\\ \hline \end {array}\]

  • b)
    (-tikz- diagram)

  • c)
    (-tikz- diagram)

  • d) \(f'(x)=x^2\)

  • Eksempel 10.1.1
    Nedenunder ses grafen for en funktion \(f\) og dens afledte funktion i samme koordinatsystem:

    (-tikz- diagram)

    Vi vil gerne finde ud af hvilken en som er \(f\) og hvilken en som er \(f'\). Vi kan se at det er den røde som er \(f\), fordi hver gang vi aflæser tangenthældninger på den røde svarer det til funktionsværdier for den blå. Her har jeg f.eks. tegnet en tangent ud fra \(x=1\) (grøn farve). Vi ser at den har en hældning på ca. -2 og det passer jo med at den blå har en \(y\)-værdi på \(-2\) ud fra \(x=1\):

    (-tikz- diagram)

    Vi konkluderer at den røde kan være \(f\) og blå kan være \(f'\). Men vi er nødt til at udelukke at det kan være omvendt. Vi kan se, at den blå fra kun har tangenter med hældning \(-2\) (alle tangenterne ligger oven i funktion). Den grønne graf har mange andre funktionsværdier end \(-2\) så den kan ikke være \(f'\). Altså kan vi konkluderer:

    Den røde er \(f\) og den blå er \(f'\).

Øvelse 10.1.6

Betragt følgende grafer:

(-tikz- diagram)

  • a) Den ene graf er \(f\) og den anden er \(f'\). Hvad er hvad?

Løsning 10.1.6

  • a) Den røde er \(f\) og den blå er \(f'\)

Øvelse 10.1.7

Betragt følgende grafer:

(-tikz- diagram)

  • a) Den ene graf er \(f\) og den anden er \(f'\). Hvad er hvad?

Løsning 10.1.7

  • a) Den blå er \(f\) og den røde er \(f'\)

Øvelse 10.1.8

Betragt følgende grafer:

(-tikz- diagram)

  • a) Den ene graf er \(f\) og den anden er \(f'\). Hvad er hvad?

Løsning 10.1.8

  • a) Den røde er \(f\) og den blå er \(f'\)

Når man har en forskrift for \(f'\), kan man bestemme hældninger uden at tegne grafen.

  • Eksempel 10.1.2
    Vi vil bestemme hældningen på tangenten til funktionen \(f(x)=x^2\) i det punkt på grafen hvor \(x=10\). Vi indsætter i forskriften for \(f'(x)\) (som vi tidligere fandt til at være \(f'(x)=2x\))

    \[f'(10)=2\cdot 10 = 20\]

    Vi konkluderer at hældningen på tangenten i punktet med \(x\)-koordinat \(10\) er \(20\)

Vi kan formulere ovenstående eksempel lidt klarere, når vi husker at alle punkter på grafen for en funktion har formen \((x,f(x))\). Eksemplet bliver så til

  • Eksempel 10.1.3
    Vi vil bestemme hældningen på tangenten til funktionen \(f(x)=x^2\) i punktet \((10,f(10))\). Vi indsætter i forskriften for \(f'(x)\) (som vi fandt til at være \(f'(x)=2x\))

    \[f'(10)=2\cdot 10 = 20\]

    Vi konkluderer at hældningen på tangenten er \(20\) i punktet \((10,f(10))\)

Øvelse 10.1.9

Funktionen \(f(x)=x^3\) har differentialkvotienten \(f'(x)=3x^2\).

  • a) Beregn \(f(2)\) og \(f'(2)\).

  • b) Hvad er hældningen på tangenten i punktet \((2,8)\)?

Løsning 10.1.9

Funktionen \(f(x)=x^3\) har differentialkvotienten \(f'(x)=3x^2\).

  • a) \(f(2)=8\) og \(f'(2)=12\).

  • b) Hældningen på tangenten i punktet \((2,8)\) er \(12\).

Så hvad er en differentialkvotient?

Differentialkvotienten til en funktion \(f\), er den funktion \(f'\), som til ethvert \(x\), knytter hældning på tangenten til \(f\) i punktet \((x, f(x))\).