MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

14.1 Introduktion til binomialfordelinger

En binomialfordeling er en sandsynlighedsfordeling for en bestemt slags stokastisk variabel. Så vi starter lige med en repetitionsøvelse for at huske, hvad en stokastisk variabel er.

Øvelse 14.1.1

Vi betegner som udgangspunkt vores stokastiske variable med \(X\).

  • a) Nævn et eksempel på en stokastisk variabel.

  • b) Nævn et til eksempel

  • c) Nævn et til eksempel

Løsning 14.1.1

  • a) Ved kast med en terning er antallet af øjne en stokastisk variabel. Hvis vi f.eks. slå en 5’er så er \(X=5\)

  • b) Ved kast med to terninger er summen af antal øjne en stokastisk variable. Hvis den ene terning er en 4’er og den anden er en 6’er, så bliver \(X=4+6=10\).

  • c) Ved kast med en mønt kan vi definere \(X=0\), hvis udfaldet er ”plat” og \(X=1\), hvis udfaldet er ”krone”.

Vi kigger nu på et stokastisk eksperiment hvor vi kaster en terning 5 gange. Vi er kun interesserede i at slå 6’ere (måske er det en slags pakkeleg vi leger) så derfor betragter en 6’er som en succes alt andet som fiasko. Gennemføre vi eksperimentet kunne resultatet se således ud:

.
Forsøg nr. 1 2 3 4 5
Succes (s) eller fiasko (f) f f s s f

Vi kan se i tabellen at vi startede med to fiaskoer (dvs. ikke 6’ere), hvorefter vi fik to succeser (dvs. 6’ere) og så en fiasko. Vi knytter nu en stokastisk variabel \(X\) til eksperimentet. Variablen \(X\) defineres som antallet af succeser i de 5 forsøg. Dvs. i tabellen ovenover er \(X=2\) fordi vi har fået to succeser i de 5 forsøg. Variablen \(X\) siges at være binomialfordelt med antalsparameter \(n=5\) (fordi der er 5 forsøg) og sandsynlighedsparameter \(p=\frac {1}{6}\) fordi der er \(\frac {1}{6}\) sandsynlighed for succes i et enkelt forsøg.

Øvelse 14.1.2

Antag at vi gennemføre det stokastiske eksperiment beskrevet oven over og får følgende tabel.

.
Forsøg nr. 1 2 3 4 5
Succes (s) eller fiasko (f) f s f f f
  • a) Hvor mange 6’ere har vi fået?

  • b) Hvilken værdi har den binomialfordelte stokastiske variabel \(X\)?

Løsning 14.1.2

  • a) 1

  • b) 1 (fordi vi har fået 1 6’er)

Øvelse 14.1.3

Vi kaster en mønt 10 gange. Lad \(X\) være den binomialfordelte stokastiske variabel, der angiver antallet af ”krone” i de 10 forsøg.

  • a) Hvad er ”succes” i dette eksperiment. Hvad er ”fiasko”?

  • b) Hvad er antalsparameteren \(n\)?

  • c) Hvad er sandsynlighedsparameteren \(p\)

  • d) Hvilke værdier kan \(X\) antage.

Løsning 14.1.3

  • a) ”krone’ er succes og ”plat” er fiasko

  • b) \(n=10\)

  • c) \(p=\frac {1}{2}\)

  • d) \(X\) kan være \(0,1,2,3,\ldots ,10\)

Øvelse 14.1.4

  • a) En mand køber 6 skrabejulekalendere. På en enkelt skrabejulekalender er der \(\frac {1}{3}\) chance for gevinst. Situationen kan beskrives ved hjælp af en binomialfordeling. Hvordan?

Løsning 14.1.4

  • a) Lader vi \(X\) være antallet af kalendere med gevinst får vi en binomialfordelt stokastisk variabel med \(n=6\) og \(p=\frac {1}{3}\)

Nu hvor vi har forstået hvad en binomialfordelt stokastisk variabel er, kan vi opskrive en mere formel definition.

  • Definition 14.1.1
    En binomialfordelt stokastisk variabel \(X\) er en stokastisk variabel, som angiver antallet af succeser i \(n\) uafhængige forsøg, hvor hvert forsøg har en successandsynlighed på \(p\).

    Tallet \(n\) kaldes antalsparameteren og \(p\) kaldes sandsynlighedsparameteren.

Vi vil fremover benytte skrivemåden \(X\sim b(n,p)\), hvilket betyder at \(X\) er en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameter \(n\) og sandsynlighedsparameter \(p\)

Øvelse 14.1.5

  • a) Hvad er en binomial fordelt stokastisk variabel?

  • b) Hvad betyder \(X\sim b(7,\frac {1}{3})\)?

Løsning 14.1.5

  • a) Det er en stokastisk variabel som angiver antallet af succeser i \(n\) uafhængige forsøg med samme successandsynlighed \(p\).

  • b) Det betyder at \(X\) er binomialfordelt med antalsparameter \(n=7\) og sandsynlighedsparameter \(p=\frac {1}{3}\)

  • Eksempel 14.1.1
    En virksomhed som producerer en vare som de pakker i æsker med 12 i hver. Da det er mennesker der fremstiller varerne er der fejl på nogle af dem. Ligesom at der er fejl på mathhx. Sandsynligheden for at der en defekt på en vare er \(0{,}2\%\).

    Vi er interesserede i, hvor mange varer, der er defekter på i en pakke. Da der er \(0{,}2\%\) sandsynlighed for at få en defekt vare og der er 12 vare i alt har vi en binomialfordeling med \(p=0{,}002\) (da \(0{,}2\%=0,002\)) og \(n=12\). Altså hvis vi kalder antallet af defekte varer for \(X\) har vi \(X\sim b(12;0{,}002)\)

Sandsynligheder for en binomialfordeling

Man beregner sandsynlighederne i en binomialfordeling ved at bruge en sætning:

  • Sætning 14.1.1
    For en binomialfordeling \(X\sim b(n,p)\) gælder:

    \[P(X=r)=K(n,r)\cdot p^r \cdot (1-p)^{n-r}\]

  • Eksempel 14.1.2
    Vi bestemmer nu \(P(X=3)\) for en binomialfordelt stokastisk variabel \(X\sim b(5;0{,}4)\). Vi sætter ind i formlen fra ovenstående sætning.

    \[P(X=3)=K(5,3)\cdot 0{,}4^3 \cdot (1-0{,}4)^{5-3}\]

    Vi bestemmer \(K(5,3)\) i Excel ved at skrive ”=KOMBIN(5;3)” og det giver 10. Vi regner videre

    \[P(X=3)=10\cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^{2}=0{,}23\]

    Altså er \(P(X=3)=0{,}23\)

Øvelse 14.1.6

Lad\(X\sim b(10;0{,}4)\).

  • a) Bestem \(P(X=6)\).

Løsning 14.1.6

  • a) \(P(X=6)=0{,}11\)

Øvelse 14.1.7

Beregn:

  • a) \(P(X=2)\) når \(X\sim b(5;0{,}5)\)

  • b) Sandsynligheden for at få en æske med netop en defekte vare (se eksempel 14.1.1)

  • c) Sandsynligheden for at få en æske med ingen defekte vare (se eksempel 14.1.1)

  • d) Sandsynligheden for at der er gevinst på to af skrabejulekalenderne fra øvelse 14.1.4

Løsning 14.1.7

  • a) \(P(X=2)=0{,}31\)

  • b) Sandsynligheden for en æske med 1 defekt vare er \(2{,}35\%\)

  • c) Sandsynligheden for en æske uden defekte varer er \(97{,}6\%\)

  • d) Sandsynligheden er \(33\%\)

  • Eksempel 14.1.3
    Vi vil nu beregne sandsynligheden for at der er højst er 1 defekt varer i hver æske (se øvelse 14.1.4). Altså \(P(X\leq 1)\).

    Hvis \(X\leq 1\) må det betyde at \(X=0\) eller \(X=1\) og da det er disjunkte hændelser kan vi finde sandsynligheden ved at sige

    \[P(X\leq 1)=P(X=0) + P(X=1).\]

    Vi fandt \(P(X=0)\) og \(P(X=1)\) i øvelse 14.1.7 så vi får:

    \begin{align} P(X\leq 1) & = P(X=0) + P(X=1)\\ &=0{,}976262+0{,}023447\\ &=0{,}9997\\ &=99{,}97\% \end{align} Vi kan altså være meget sikre på at der højst er en defekt pr. æske.

Øvelse 14.1.8

Vi kaster en terning.

  • a) Bestem sandsynligheden for at få højst to 6’ere i 10 forsøg.

Løsning 14.1.8

  • a) \(P(X\leq 2)=78\%\)

  • Eksempel 14.1.4
    Vi kunne også være interesserede i at finde sandsynligheden for at der er mindst en defekt varer (se eksempel 14.1.1). Det kunne vi gøre ved at sige

    \[P(X=1)+P(X=2)+\cdots +P(X=12),\]

    men det ville jo være besværligt at skulle regne så mange sandsynligheder. Det er derfor nemmere at kigge på den komplementære hændelse, som må være at der er ikke nogle defekte varer. Den sandsynlighed regnede vi ud i øvelse 14.1.7, hvor vi fik den til at være: 0,976262. Vi kan derfor regne:

    \begin{align} P(\textrm {mindst en defekt vare}) & = 1-P(\textrm {ingen defekte vare})\\ & = 1-0{,}976262\\ & = 0{,}023738\\ & = 2{,}4\% \end{align}

Øvelse 14.1.9

  • a) Vi kaster en terning. Bestem sandsynligheden for at få mindst en 6’er i 10 forsøg.

  • b) Vi kaster en mønt. Bestem sandsynligheden for at få højst 4 gange plat i 5 forsøg.

  • c) Bestem sandsynligheden for at få mindst 2 julekalendere med gevinst (se øvelse 14.1.4)

Løsning 14.1.9

  • a) \(P(X\geq 1)=84\%\)

  • b) \(P(X\leq 4)= 96{,}9\%\)

  • c) \(P(X\geq 2)= 65\%\)

Middelværdi, varians og standardafvigelse

Vi husker at middelværdien for en stokastisk variable svarer til gennemsnittet af den stokastiske variabels værdier, hvis man gennemførte forsøget mange gange. Vi husker også at standardafvigelsen er en mål for hvor langt fra middelværdien de enkelte værdier vil ligge – vi tænker på det som et gennemsnit af afstandene til middelværdien, selv om det ikke er helt korrekt.

Øvelse 14.1.10

Lad \(X\sim b(10;0{,}5)\)

  • a) Kom med et gæt på middelværdien for \(X\). Altså ingen beregninger her. Gæt ud fra din forståelse af middelværdi.

  • b) Kom med et gæt på standardafvigelsen (svær).

Løsning 14.1.10

  • a) Det er klart at \(E(X)=5\).

  • b) Vi har\(SD(X)=1{,}6\), men det er svært at gætte præcist. Et gæt på mellem \(1\) og \(3\) er et godt gæt.

  • Sætning 14.1.2
    Lad \(X\sim b(n,p)\). Da er:

    Middelværdien givet ved:

    \[E(X)=n\cdot p\]

    Variansen givet ved

    \[\Var (X)=n\cdot p\cdot (1-p)\]

    Standardafvigelsen givet ved

    \[SD(X)=\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}\]

  • Eksempel 14.1.5
    Vi vil nu udregne middelværdi og standardafvigelse for binomialfordeligen \(X\sim b(10;0{,}5)\) fra øvelse 14.1.10. Vi har

    \[E(X)=n\cdot p=10\cdot 0{,}5=5\]

    og

    \begin{align} \sigma & =\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}\\ & =\sqrt {10\cdot 0{,}5\cdot (1-0{,}5)}\\ &=\sqrt {2{,}5}=1{,}58 \end{align} Vi konkluderer at middelværdien er \(5\) og standardafvigelsen er \(1{,}58\)

Øvelse 14.1.11

Lad \(X\sim b(8;0{,}4)\).

  • a) Bestem \(n\) og \(p\).

  • b) Beregn \(P(X=1)\).

  • c) Bestem middelværdi, varians og standardafvigelse for \(X\).

Løsning 14.1.11

  • a) \(n=8\) og \(p=0{,}4\)

  • b) \(P(X=1)=0{,}09\)

  • c) \(E(X)=3{,}2\), \(\Var (X)=1{,}92\) og \(SD(X)=1{,}39\).

Øvelse 14.1.12

Forstil dig du skal slå en terning 12 gange.

  • a) Hvor mange 6’ere vil du gætte på du får?

Løsning 14.1.12

  • a) Det bedste gæt er middelværdien og den er på \(2\).