MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

10.6 Differentialkvotienter ved beregning

I praksis finder vi differentialkvotienter ved tabelopslag. Det er hurtigt og nemt. Men hvor kommer formlerne i tabellen fra? Dem kan man bevise ud fra den formelle definitionen af differentialkvotienten, vi så i sidste afsnit. Desværre er det lidt bøvlet, så vi vil derfor starte med at lidt opvarmning.

Opvarmning
Kvadratsætninger

Vi får brug for kvadratsætningerne:

  • Sætning 10.6.1 (Kvadratsætninger)
    For to størrelser \(a\) og \(b\) gælder:

    • 1. \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\)

    • 2. \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\)

    • 3. \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

  • Eksempel 10.6.1
    Ved at bruge 3. kvadratsætning kan vi nemt regne \((x+2)(x-2)\):

    \[(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4.\]

Øvelse 10.6.1

Brug kvadratsætningerne til at regne:

  • a) \((x-y)^2\)

  • b) \((2x+y)^2\)

  • c) \((x+\Delta x)^2\)

  • d) \((x-\Delta x)(x+\Delta x)\)

Løsning 10.6.1

  • a) \(x^2-2xy+y^2\)

  • b) \(4x^2+4xy+y^2\)

  • c) \(x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2\)

  • d) \(x^2-(\Delta x)^2\)

Funktionsværdier

Vi ved godt hvordan man regner en funktionsværdi. Hvis f.eks. \(f(x)=2x+5\) så kan vi regne funktionsværdien \(f(3)\) ved at regne \(f(3)=2\cdot 3+5=11\), right? Vi får i det følgende brug for at regne nogle lidt mere komplicerede funktionsværdier, så det må vi hellere øve os på også.

  • Eksempel 10.6.2
    Vi vil regne funktionsværdien \(f(x+2)\) for funktionen med forskriften \(f(x)=x^2\):

    \begin{align*} f(x+2) & = (x+2)^2 && ( \text {indsat } x+2 \text { i forskriften }) \\ & = x^2+2^2+2\cdot x\cdot 2 && \text {(1. kvadratsætning)}\\ & = x^2+4x+4 \end{align*}

Øvelse 10.6.2

  • a) Lad \(f(x)=5x+1\). Bestem \(f(2)\).

  • b) Lad \(f(x)=2x-3\). Bestem \(f(s+t)\).

  • c) Lad \(f(x)=-x+1\). Bestem \(f(a+2)\).

  • d) Lad \(f(x)=2x^2\). Bestem \(f(x-1)\).

  • e) Lad \(f(x)=x^2\). Bestem \(f(\Delta x)\).

  • f) Lad \(f(x)=2x^2+x\). Bestem \(f(x+\Delta x)\).

  • g) Lad \(f(x)=5\). Bestem \(f(2\Delta x)\)

Løsning 10.6.2

  • a) \(f(2)=11\).

  • b) \(f(s+t)=2s+2t-3\)

  • c) \(f(a+2)=-a-1\)

  • d) \(f(x-1)=2x^2-4x+2\)

  • e) \(f(\Delta x)=(\Delta x)^2\)

  • f) \(f(x+\Delta x)=2x^2+4x\Delta x+2(\Delta x)^2+x+\Delta x\)

  • g) \(f(2\Delta x)=5\)

Forkortning af brøker

Vi husker fra folkeskolen at man forkorter en brøk ved at dividere med det samme tal i tæller og nævner. F.eks. kan vi forkorte brøken \(\frac {4}{6}\) med \(2\) og få \(\frac {2}{3}\). Skal man forkorte en brøk med bogstaver skal man huske at man skal dividere i hvert led (led er adskilt af plus og minus).

  • Eksempel 10.6.3
    Vi kan forkorte brøken \(\frac {ax+ay}{2a}\) med \(a\):

    \[\frac {ax+ay}{2a}=\frac {x+y}{2}.\]

  • Eksempel 10.6.4
    Vi kan forkorte brøken \(\frac {x\Delta x+\Delta x-(\Delta x)^2}{\Delta x}\) med \(\Delta x\). Det er nemt at se, hvis vi omskriver den lidt først:

    \begin{align*} \frac {x\Delta x+\Delta x-(\Delta x)^2}{\Delta x} & = \frac {x\cdot \Delta x+1\cdot \Delta x-\Delta x\cdot \Delta x}{\Delta x}\\ & = \frac {x\cdot \cancel {\Delta x}+1\cdot \cancel {\Delta x}-\cancel {\Delta x}\cdot \Delta x}{\cancel {\Delta x}}\\ & =x+1-\Delta x \end{align*}

Øvelse 10.6.3

  • a) \(\frac {9}{3}\)

  • b) \(\frac {ab}{ac}\)

  • c) \(\frac {ax+bx}{cx}\)

  • d) \(\frac {ax+bx}{x}\)

  • e) \(\frac {x\Delta x+\Delta x}{x^2\Delta x}\)

  • f) \(\frac {\Delta x}{(\Delta x)^2}\)

  • g) \(\frac {(\Delta x)^2}{\Delta x}\)

Løsning 10.6.3

  • a) \(\frac {9}{3}=3\)

  • b) \(\frac {ab}{ac}=\frac {b}{c}\)

  • c) \(\frac {ax+bx}{cx}=\frac {a+b}{c}\)

  • d) \(\frac {ax+bx}{x}=a+b\)

  • e) \(\frac {x\Delta x+\Delta x}{x^2\Delta x}=\frac {x+1}{x^2}\)

  • f) \(\frac {\Delta x}{(\Delta x)^2}=\frac {1}{\Delta x}\)

  • g) \(\frac {(\Delta x)^2}{\Delta x}=\Delta x\)

Grænseværdier

Grænseværdier er alle elevers skræk. Hvad betyder dette mystiske "\(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\)"? Men som vi skal se i de følgende eksempler, er det nemt at bestemme grænseværdier i praksis.

  • Eksempel 10.6.5
    Vi vil bestemme \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(5+\Delta x).\)

    Det betyder ”Det som \(5+\Delta x\) kommer tæt på, når \(\Delta x\) kommer tæt på \(0\)”.

    Vi prøver med nogle forskellige "små"værdier for \(\Delta x\):

    \(\begin {array}{|c|c|} \hline \rowcolor {lightgray} \Delta x & 5+\Delta x \\ \hline 0{,}1 & 5+0{,}1=5{,}1\\ \hline 0{,}01 & 5+0{,}01=5{,}01\\ \hline 0{,}000001 & 5+0{,}0000001=5{,}0000001 \\ \hline \end {array}\)

    Det er tydeligt at \(5+\Delta x\) nærmer sig 5 når \(\Delta x\) nærmer sig \(0\). Altså er

    \[\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(5+\Delta x)=5\]

I praksis vil man ikke lave en tabel som i eksemplet. Det er klart at \(5+\Delta x\) vil nærme sig \(5\) når \(\Delta x\) kommer tæt på nul. Det kan vi se direkte på udtrykket.

Øvelse 10.6.4

Bestem grænseværdierne:

  • a) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(1+\Delta x)\)

  • b) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(2\cdot \Delta x-1)\)

  • c) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac {\Delta x}{5}\)

  • d) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac {1}{\Delta x}\)

  • e) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(2x+x\cdot \Delta x)\)

Løsning 10.6.4

  • a) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(1+\Delta x)=1\)

  • b) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(2\cdot \Delta x-1)=-1\)

  • c) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac {\Delta x}{5}=0\)

  • d) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac {1}{\Delta x}: \textrm { eksisterer ikke (bliver uendeligt stort)}\)

  • e) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(2x+x\cdot \Delta x)=2x\)

  • Eksempel 10.6.6
    Vi vil bestemme \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac {x+\Delta x}{x+\Delta x}.\)

    Det er hurtigt klaret, fordi vi kan se der står det samme i tæller og nævner og derfor er brøken konstant lig med 1 uanset hvad \(\Delta x\) er. Men vi lader da en tabel for en ordens skyld:

    \(\begin {array}{|c|c|} \hline \rowcolor {lightgray} \Delta x & \frac {x+\Delta x}{x+\Delta x} \\ \hline 0{,}1 & \frac {x+0{,}1}{x+0{,}1}=1 \\ \hline 0{,}01 & \frac {x+0{,}01}{x+0{,}01}=1\\ \hline 0{,}000001 & \frac {x+0{,}0000001}{x+0{,}0000001}=1 \\ \hline \end {array}\)

    Vi kan se at \(\frac {x+\Delta x}{x+\Delta x}\) altid giver \(1\), uanset hvad \(\Delta x\) er. Så grænseværdien må også være \(1\). Altså

    \[\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac {x+\Delta x}{x+\Delta x}=1\]

  • Eksempel 10.6.7
    Vi vil bestemme \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(2x+7).\)

    Vi ser at \(2x+7\) slet ikke indeholder \(\Delta x\), og derfor ændrer udtrykket sig ikke, når \(\Delta x\) går mod \(0\). Så

    \[\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(2x+7)=2x+7.\]

Ud fra de eksempler vi har set, kunne det godt se ud til, at man bare kan sætte \(0\) ind i stedet for \(\Delta x\), når man regner grænseværdierne. Men det er ikke det som grænseværdi betyder og man kan risikere komme frygtelig galt afsted, hvis man prøver.

  • Eksempel 10.6.8
    Vi vil regne grænseværdien \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\left ( \frac {x\cdot \Delta x}{\Delta x}+2\Delta x\right )\).

    Vi ser at vi ikke kan sætte \(0\) ind, da der så vil stå \(0\) i nævneren i brøken og man kan ikke dele med \(0\). Men vi kan forkorte brøken med \(\Delta x\), så det gør vi:

    \begin{align*} \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\left ( \frac {x \cdot \cancel {\Delta x}}{\cancel {\Delta x}}+2\Delta x\right ) = \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\left ( x+2\Delta x\right ) = x \end{align*} Altså konkluderer vi at:

    \[\lim _{\Delta x\rightarrow 0} \left (\frac {x\cdot \Delta x}{\Delta x}+2\Delta x\right ) = x\]

Øvelse 10.6.5

  • a) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(a).\)

  • b) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(\frac {2\Delta x}{2\Delta x}).\)

  • c) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(\frac {2\Delta x}{\Delta x}).\)

  • d) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(\frac {(\Delta x)^2}{2\Delta x}).\)

  • e) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\left ( \frac {2x\cdot \Delta x +\Delta x}{\Delta x} +x \right ).\)

Løsning 10.6.5

  • a) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(a)=a.\)

  • b) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(\frac {2\Delta x}{2\Delta x})=1.\)

  • c) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(\frac {2\Delta x}{\Delta x})=2.\)

  • d) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(\frac {(\Delta x)^2}{2\Delta x})=0.\)

  • e) \(\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\left ( \frac {2x\cdot \Delta x +\Delta x}{\Delta x} +x \right ) = 3x+1.\)

Beregning af differentialkvotienter

Nu er vi klar til at se hvordan man kan regne differentialkvotienter uden at bruge tabel eller computer.

Vi husker definitionen af differentialkvotienten:

Lad \(f\) være en funktion og \(x_0\in \Dm (f)\). Hvis grænseværdien

\[\lim _{\Delta x \to 0}\frac {f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\]

eksisterer, så siges funktionen at være differentialbel i \(x_0\), og differentialkvotienten \(f'(x_0)\) er givet ved

\[f'(x_0)=\lim _{\Delta x \to 0}\frac {f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.\]

Funktionen siges at være differentialbel, såfremt den er differentiabel for alle \(x_0\in \Dm (f)\).

For at finde differentialkvotienten for en funktion \(f\) skal vi altså regne :

\[f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.\]

Hvis det viser grænseværdien ikke findes, ja så er funktionen ikke differentialbel. Hvis grænseværdien findes, så er funktionen differentiabel og vi har fundet dens differentialkvotient. Bemærk at jeg nu skriver \(x\) i stedet for \(x_0\). For mere info om det, se ekstraafsnit til sidst, men det har ikke rigtig nogen praktisk betydning for os.

Vi regner differentialkvotienter i to skridt. Først regner vi på differenskvotienten (sekantens hældning):

\[\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},\]

hvorefter vi finder \(f'\) ved at tage vi grænseværdien af den beregnede differenskvotient.

  • Eksempel 10.6.9
    Vi regner først differenskvotienten:

    \begin{align*} \frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} & = \frac {(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} && (\text {Da } f(x)=x^2)\\ & = \frac {x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} && (\text {1. Kvadratsætning})\\ & = \frac {2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} && (x^2 \text { gået ud})\\ & = 2x+\Delta x && (\text {forkortet med } \Delta x ) \end{align*}

    Nu mangler vi så bare at bestemme grænseværdien for differenskvotienten:

    \[\lim _{\Delta x\rightarrow 0} (2x+\Delta x).\]

    Vi forstiller os at \(\Delta x\) bliver uendelig småt, hvad er der så tilbage? Det må være \(2x\). Altså er

    \[f'(x)=2x.\]

Øvelse 10.6.6

Beregn som i eksempel 10.6.9 differentialkvotienten for følgende funktioner

  • a) \(f(x)=-x^2\)

  • b) \(f(x)=x^2+1\)

  • c) \(f(x)=2x^2\)

  • d) \(f(x)=2x+1\)

  • e) \(f(x)=0\)

  • f) \(f(x)=3x^2-x\)

Løsning 10.6.6

  • a) \(f'(x)=-2x\)

  • b) \(f'(x)=2x\)

  • c) \(f'(x)=4x\)

  • d) \(f'(x)=2\)

  • e) \(f'(x)=0\)

  • f) \(f'(x)=6x-1\)

Øvelse 10.6.7

Beregn som i eksempel 10.6.9 differentialkvotienten for følgende funktioner

  • a) \(f(x)=k\), hvor \(k\) er en konstant.

  • b) \(f(x)=ax+b\), hvor \(a\) og \(b\) er to konstanter (som vi kender i en lineær funktion selvfølgelig)

Løsning 10.6.7

  • a) \(f'(x)=0\)

  • b) \(f'(x)=a\)

Ekstra

Da det kom til at regne de konkrete differentialkvotienter, begyndte vi pludselig at skrive \(x\) i stedet for \(x_0\). Skriver man \(x_0\) betyder det et eller andet fast tal, mens \(x\) er en variable og kan være alle tal Da vi nu er interesseret i \(f'(x)\) for et hvilket som helst \(x\) (i \(\Dm (f)\)), dropper vi betegnelsen \(x_0\) og skriver bare \(x\).