I definition 6.1.1 stod der at \(a>0\), \(a\neq 1\) og \(b>0\).
a) Hvad betyder det?
Løsning 6.1.2
a) \(a>0\) betyder at \(a\) skal være større end nul. At \(a\neq 1\) betyder at \(a\) ikke må være 1. At \(b>0\) betyder at \(b\) skal være
større end nul.
Øvelse 6.1.3
Bestem \(a\) og \(b\) i følgende eksponentielle funktioner.
a) \(f(x)=2\cdot 5^x\)
b) \(f(x)=3000\cdot 1{,}02^x\)
c) \(f(x)=1{,}4^x\)
Løsning 6.1.3
a) \(a=5\) og \(b=2\).
b) \(a=1{,}02\) og \(b=3000\).
c) \(a=1{,}4\) og \(b=1\)
Øvelse 6.1.4
Afgør hvilke af følgende funktioner der er eksponentielle funktioner:
a) \(f(x)=2\cdot 3^x\)
b) \(f(x)=2x^2+1\)
c) \(f(x)=4\cdot x^2\)
d) \(f(x)=1{,}3^x\)
e) \(f(x)=20\cdot 1^x\)
f) \(f(x)=-3\cdot 6^x\)
g) \(f(x)=5\cdot 1^x\)
Løsning 6.1.4
a) yes den er god nok
b) nope
c) næh
d) jes
e) duer ikke
f) no
g) nah
Øvelse 6.1.5
Lad \(f(x)=5000\cdot 1{,}6^x\).
a) Bestem grundtallet og begyndelsesværdien.
b) Bestem \(f(-1)\) og \(f(3)\). Bare brug en lommeregner/GeoGebra. Det er svært at gøre i hånden.
Løsning 6.1.5
a) Grundtallet \(a\) er 1,6 og begyndelsesværdien \(b\) er 5000.
b) \(f(-1)=3125\) og \(f(3)=20480\).
Øvelse 6.1.6
Antag at indbyggertallet i en bestemt by kan beskrives med funktionen \(f(x)=10312\cdot 1{,}05^x\), hvor \(x\) er antal år efter 2020.
a) Hvor mange indbyggere er der i byen 5 år efter 2020?
b) Hvor mange indbyggere er der i byen i år 2031?
Løsning 6.1.6
a) Der er 13161 indbyggere i byen efter 5 år.
b) Der er 17637 indbyggere i år 2031.
Den naturlige eksponentialfunktion
Leonhard Euler
Leonhard Euler var en cool matematiker, som levede i tidsrummet 1707-1783. Han regnes som at være en af historiens allerstørste matematikere. Det er vi dog ligeglade med lige nu, og vi skal bare bruge et tal som er opkaldt efter
ham, nemlig Eulers tal som bliver betegnet med \(e\) og er givet ved:
\[e=2.71828182845904523536\ldots .\]
Eulers tal er, ligesom \(\pi \), et tal med uendelig mange decimaler uden noget system. Ligesom vi husker \(\pi =3{,}14\) vil vi også huske \(e=2{,}72\). Eulers tal optræder mange steder i matematik og naturvidenskab, men
her er vi interesserede i det i forbindelse med eksponentielle funktioner.
Definition 6.1.2 Den naturlige eksponentialfunktion er givet ved forskriften \(f(x)=e^x\).
Eksempel 6.1.1 Vi kan beregne \(e^3\) i GeoGebra
Har vi et algebra vindue kan man bare skrive et almindeligt ”e”:
Skriver man et almindeligt ”e” i CAS tror GeoGebra at man mener ”en variable som hedder e” i stedet for Eulers tal. Derfor skal man finde Eulers tal på det virtuelle tastatur. Vi klikker først først i et CAS input og så dukker der
et lille tastatur op neders til venstre:
Her finder vi Eulers tal \(e\):
Vi kan nu regne \(e^3\) i CAS-vinduet:
Øvelse 6.1.7
Åben GeoGebra
a) Regn \(e^2\) i et Algebravindue.
b) Regn \(e^2\) i et CAS-vindue.
Løsning 6.1.7
a) \(e^2=7{,}39\)
b) \(e^2=7{,}39\)
Eksponentielle funktioners graf
Grafen for en eksponentiel funktion kan se ud på to måder alt efter værdien af \(a\):
Vi ser at \(b\) er der, hvor funktionen skærer \(y\)-aksen og at \(a\) afgøre om funktionen er voksende eller aftagende. Vi skal se nærmere på betydningen af \(a\) i afsnittet om eksponentiel vækst. Som graferne antyder gælder
følgende for enhver eksponentiel funktion \(f\):
Definitions og værdimængden afhænger således ikke af den konkrete forskrift.
Øvelse 6.1.8
Lad \(f(x)=2\cdot 4^x\).
a) Bestem grundtallet og begyndelsesværdien.
b) Bestem \(f(0)\) uden at regne – bare ved at betragte forskriften.
c) Beregn \(f(2)\)
d) Hvad kan man sige om grafen ud fra forskriften.
Løsning 6.1.8
a) Grundtallet er \(4\) og begyndelsesværdien er \(2\).
b) \(f(0)=2\)
c) \(f(2)=32\)
d) Grafen skære \(y\)-aksen i \(2\) og funktionen er voksende.
Øvelse 6.1.9
Betragt graferne for den eksponentielle funktion \(f(x)=ba^x\)
a) Bestem \(b\).
b) Hvad kan man sige om som værdien af \(a\)?
c) Bestem ved aflæsning \(f(4)\).
d) Løs ved aflæsning \(f(x)=4\).
Løsning 6.1.9
a) \(b=5\)
b) \(a<1\)
c) \(f(4)\approx 2\)
d) \(x=1\)
Bestemmelse af forskriften når vi kender to punkter på grafen
Ligesom ved lineære funktioner kan vi finde forskriften når vi kender to punkter på grafen. Vi har følgende sætning:
Sætning 6.1.1 Hvis grafen for en eksponentiel funktion \(f(x)=ba^x\) går igennem punkterne \((x_0,y_0)\) og \((x_1,y_1)\) så
kan \(a\) og \(b\) bestemmes med følgende formler:
\[a=\sqrt [x_1-x_0]{\frac {y_1}{y_0}}\quad \textrm { og }\quad b=\frac {y_0}{a^{x_0}}\]
Det er en forudsætning for at kunne anvende sætningen, at man kan uddrage rødder. Altså at man kan beregne f.eks. \(\sqrt [3]{8}\). Metoden til at udregne den slags udtryk afhænger af hvilket computerprogram/lommeregner
man bruger. Men er er et smart trick. Man kan anvende reglen
\[\sqrt [n]{a}=a^\frac {1}{n}.\]
Det virker på alle computere/lommeregnere.
Eksempel 6.1.2 Vi vil udregne \(\sqrt [3]{8}\). Vi taster derfor følgende ind på lommeregneren/Excel:
\[\verb |8^(1/3)|\]
Det giver så 2.
Øvelse 6.1.10
Udregn følgende rødder:
a) \(\sqrt [3]{27}\) (kan du regne den i hovedet?)
b) \(\sqrt [4]{16}\) (kan du regne den i hovedet?)
c) \(\sqrt [5]{10}\) (kræver hjælp fra computer/lommeregner)
Løsning 6.1.10
a) \(\sqrt [3]{27}=3\)
b) \(\sqrt [4]{16}=2\)
c) \(\sqrt [5]{10}=1{,}58\)
Eksempel 6.1.3 Vi vil bestemme forskriften for den eksponentielle funktion gennem punkterne \((1,2)\) og \((5,7)\). Vi finder først \(a\):
