MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

1.1 Hovedregning

Større regnestykker vil vi altid regne på computer eller lommeregner. Men det er nødvendigt, at kunne lidt hovedregning også, da dele af undervisningen foregår uden hjælpemidler. Desuden er hovedregning en forudsætning for bogstavregning, som fylder meget på HHX.

Plus, minus, gange og dividere

Man skal gange og dividere inden man lægger til og trækker fra. På HHX skriver vi altid division med en brøkstreg. Så vil vi skrive \(20\) divideret med \(5\), skriver vi \(\frac {20}{5}\).

  • Eksempel 1.1.1
    \(2-3\cdot 5=2-15= -13\)

Øvelse 1.1.1

Regn uden brug af lommeregner/computer:

  • a) \(4+5\cdot 2\)

  • b) \(7-2+3\cdot 2-5\)

  • c) \(4-\frac {6}{3}+2\)

Løsning 1.1.1

  • a) \(4+5\cdot 2=4+10=14\)

  • b) \(7-2+3\cdot 2-5=7-2+6-5=6\)

  • c) \(4-\frac {6}{3}+2=4-2+2=4\)

I udtryk med brøker regnes først tæller og nævner, så divideres, og så regnes resten.

  • Eksempel 1.1.2
    \(\frac {10-2}{4-2}\cdot 2=\frac {8}{2}\cdot 2=4\cdot 2= 8\)

Øvelse 1.1.2

Regn uden brug af computer/lommeregner:

  • a) \(3\cdot \frac {10-2}{6-4}+2\)

  • b) \(\frac {8}{8-4}+7\)

  • c) \(2+\frac {3\cdot 5+5}{4}-2\cdot 3\)

Løsning 1.1.2

  • a) \(3\cdot \frac {10-2}{6-4}+2=3\cdot \frac {8}{2}+2=3\cdot 4+2=12+2=14\)

  • b) \(\frac {8}{8-4}+7=\frac {8}{4}+7=2+7=9\)

  • c) \(2+\frac {3\cdot 5+5}{4}-2\cdot 3=2+\frac {20}{4}-2\cdot 3=2+5-6=1\)

Jeg har erfaring med at visse simple divisionsstykker kan være udfordrerne for eleverne.

  • Eksempel 1.1.3
    \(\frac {3}{3} = 1\)

    \(\frac {1}{0{,}5}=2\) (hvis du er forvirret, så tænk over hvor mange gange \(0{,}5\) går op i \(1\))

    \(\frac {0}{5} = 0\)

    \(\frac {5}{0}\) kan ikke regnes. Man kan ikke dele med 0.

Læg mærke til at man godt kan dividere nul med noget, men man kan ikke dividere noget med nul.

Øvelse 1.1.3

Beregn uden brug af lommeregner/computer:

  • a) \(\frac {7}{7}\)

  • b) \(\frac {6}{0}\)

  • c) \(\frac {27}{9}\)

  • d) \(\frac {0}{89}\)

  • e) \(\frac {3}{0{,}25}\)

Løsning 1.1.3

  • a) \(\frac {7}{7}=1\)

  • b) Kan ikke regnes. Man kan ikke dele med 0

  • c) \(\frac {27}{9}=3\)

  • d) \(\frac {0}{89}=0\)

  • e) \(\frac {3}{0{,}25}=12\)

Fortegn (plus og minus)

Ganger eller dividerer man to ens fortegn får man plus. To forskellige giver minus.

  • Eksempel 1.1.4
    \(2\cdot 6=12\)

    \(-2\cdot 6=-12\)

    \(2 \cdot (-6)=-12\)

    \(-2\cdot (-6)=12\)

Læg mærke til at \(-6\) står i parentes i de to nederste regnestykker. Det er fordi, det er forbudt at skrive ”\(\cdot -\)", altså det er forbudt at skrive et gangetegn og et minustegn lige efter hinanden.

Hvad så med \(-4-3\)? Giver det mon så også plus? Der er jo to minustegn?… svaret er NEEEEEEEEEEEEEEEEJJJJ. Vi regner \(-4-3=-7\). Så det er kun ved gange eller division at to ens giver plus.

Øvelse 1.1.4

Beregn uden brug af computer/lommeregner:

  • a) \(-3\cdot 2\)

  • b) \(7\cdot (-2)\)

  • c) \(-3\cdot (-5)\)

  • d) \(\frac {6}{-3}\)

  • e) \(-4\cdot 2\cdot (-2)\)

  • f) \(\frac {-4}{-2}\)

  • g) \(\frac {-4}{2}-3\)

  • h) \(-2\cdot \frac {-4}{-1}\)

  • i) \(\frac {-1\cdot (-6)}{3}\cdot (-2)\)

  • j) \(\frac {-5}{0}\)

Løsning 1.1.4

  • a) \(-3\cdot 2=-6\)

  • b) \(7\cdot (-2)=-14\)

  • c) \(-3\cdot (-5)=15\)

  • d) \(\frac {6}{-3}=-2\)

  • e) \(-4\cdot 2\cdot (-2)=16\)

  • f) \(\frac {-4}{-2}=2\)

  • g) \(\frac {-4}{2}-3=-2-3=-5\)

  • h) \(-2\cdot \frac {-4}{-1}=-2\cdot 4=-8\)

  • i) \(\frac {-1\cdot (-6)}{3}\cdot (-2)=\frac {6}{3}\cdot (-2)=2\cdot (-2)=-4\)

  • j) \(\frac {-5}{0}\) kan ikke regnes. Hvorfor?

Potenser

Vi får brug for at regne med potenser. En potens er tal som f.eks. \(3^2\) (\(3\) i anden) eller \(5^3\) (\(5\) i tredje) og vi husker, at \(3^2\) regnes ved at sige \(3^2=3\cdot 3=9\) og \(5^3=5\cdot 5\cdot 5=125\). Man regner potenser før man ganger, dividerer, lægger sammen og trækker fra.

  • Eksempel 1.1.5
    \(2^4+6^1=16+6=22\)

Øvelse 1.1.5

Beregn uden brug af lommeregner/computer:

  • a) \(4^2\)

  • b) \(2^3\)

  • c) \(3^1\)

  • d) \(2\cdot 5^2+5\)

Løsning 1.1.5

  • a) \(4^2=16\)

  • b) \(2^3=8\)

  • c) \(3^1=3\)

  • d) \(2\cdot 5^2+5=2\cdot 25+5=55\)

Rødder

Rødder er ”det omvendte af potenser”. I kender sikkert kvadratroden fra folkeskolen. Man bruger kvadratroden, hvis man har et tal, der er sat i anden, og gerne vil finde det oprindelige tal. F.eks. er \(\sqrt {16}=4\) fordi \(4^2=16\). Godt nok er \((-4)^2\) også \(16\), men kvadratroden er altid det positive tal.

Man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal, da noget i anden altid giver et positivt tal. Hvis du ikke forstår den forklaring så spørg.

Øvelse 1.1.6

Regn uden at bruge lommeregner:

  • a) \(\sqrt {9}\)

  • b) \(\sqrt {4}\)

  • c) \(\sqrt {1}\)

  • d) \(\sqrt {-4}\)

  • e) \(\sqrt {0}\)

Løsning 1.1.6

  • a) \(\sqrt {9}=3\)

  • b) \(\sqrt {4}=2\)

  • c) \(\sqrt {1}=1\)

  • d) Det kan man ikke.

  • e) \(\sqrt {0}=0\)

Der findes andre rødder end kvadratrødder. Har man et tal der er sat i tredje, og vil man gerne finde det oprindelige tal, kan man tage den tredje rod. F.eks. får vi den tredje rod af 8 til at være 2, fordi \(2\cdot 2\cdot 2=8\), og vi skriver \(\sqrt [3]{8}=2\). Da kvadratroden er ”den anden rod”, kan vi skrive f.eks. \(\sqrt {9}\) som \(\sqrt [2]{9}\).

Øvelse 1.1.7

Bestem følgende rødder:

  • a) \(\sqrt [2]{25}\)

  • b) \(\sqrt [3]{0}\)

  • c) \(\sqrt [3]{27}\)

  • d) \(\sqrt [4]{16}\)

  • e) \(\sqrt [100]{1}\)

Løsning 1.1.7

  • a) \(\sqrt [2]{25}=5\)

  • b) \(\sqrt [3]{0}=0\)

  • c) \(\sqrt [3]{27}=3\)

  • d) \(\sqrt [4]{16}=2\)

  • e) \(\sqrt [100]{1}=1\)

Det er generelt svært at regne rødder i hovedet. Det er f.eks. svært at regne \(\sqrt {5}\) uden en lommeregner.

Øvelse 1.1.8

  • a) Hvordan siger man \(\sqrt [5]{7}\)?

Løsning 1.1.8

  • a) "Den femte rod af 7". HUSK DET! Der er mange som siger det forkert.

Regningsarternes hierarki

Vi har allerede set, at man skal gange og dividere, før man lægger til og trækker fra. Men hvad med potenser og rødder? Man skal udføre de forskellige operationer i følgende rækkefølge:

  • 1. Parenteser samt tæller og nævner i brøker.

  • 2. Potenser og rødder.

  • 3. Gange og dividere.

  • 4. Plus og minus.

  • Eksempel 1.1.6
    \(2\cdot 3^2-5\cdot 2=2\cdot 9-5\cdot 2=18-10=8\)

Øvelse 1.1.9

Regn uden brug af lommeregner:

  • a) \(3^2\)

  • b) \(-3^2\)

  • c) \((-3)^2\)

  • d) \(2\cdot (5-3)^3-\sqrt {4}\)

  • e) \(\frac {(4-5)^2}{2}-1\)

Løsning 1.1.9

  • a) \(3^2=9\)

  • b) \(-3^2=-9\)

  • c) \((-3)^2=9\)

  • d) \(2\cdot (5-3)^3-\sqrt {4}=14\)

  • e) \(\frac {(4-5)^2}{2}-1=-\frac {1}{2}\)

Måske regnede du \(-3^2\) forkert? Det er måske den mest almindelige fejl på hhx. Der står IKKE tallet \(-3\) sat i anden. Der står \(3^2\) med et minus foran. Vil man skrive tallet \(-3\) i anden skriver man \((-3)^2\). Vi tager en til øvelse med det:

Øvelse 1.1.10

Regn

  • a) \(-2^2\)

  • b) \((-2)^2\)

Løsning 1.1.10

  • a) \(-2^2=-2\cdot 2= -4\)

  • b) \((-2)^2=-2\cdot (-2)=4\)

Næste underafsnit er markeret med et (A). Det betyder at man skal regne det, hvis man overvejer at tage A-niveau matematik.

Numerisk værdi (A)

At tage den numeriske værdi betyder, at ”fjerne minusset hvis der er et”. Man skriver den numeriske værdi med to lodrette streger ”\(|\ |\)”.

  • Eksempel 1.1.7
    Vi vil tage den numeriske værdi af \(5\). Der er ikke noget minus, så den numeriske værdi af \(5\) er \(5\). Vi skriver

    \[|5|=5\]

    Vi prøver nu at tage den numeriske værdi af \(-5\). Der er et minus, så det fjerner vi og får dermed \(5\). Altså:

    \[|-5|=5\]

Øvelse 1.1.11

Regn

  • a) \(|-3|\)

  • b) \(|2|\)

  • c) \(|7(2-3)|\)

Løsning 1.1.11

  • a) \(|-3|=3\)

  • b) \(|2|=2\)

  • c) \(|7(2-3)|=7\)

Man kan tænke på den numeriske værdi af et tal, som afstanden fra tallet til nul. Den numeriske værdi af \(-5\) er \(5\) fordi at \(-5\) har en afstand på \(5\) indtil nul, hvis man tegnede \(-5\) og \(0\) på en tallinje.

Vi slutter af med et ekstraafsnit om brøker. Hvis matematik ikke er ens yndlingsfag, kan man godt overleve Mat-B uden at være supergod til brøkregning, men vil man have en solid forståelse (eller vil man have Mat-A), så anbefaler jeg, at man regner afsnittet samt det tilsvarende ekstraafsnit under bogstavregning.

Ekstraafsnit om brøker

I dette afsnit skal vi se på almindelig brøkregning, som burde være kendt fra folkeskolen. Her er et eksempel på en brøk.

\[\frac {3}{4}\]

Det øverste tal kaldes tælleren og det nederste kaldes nævneren. Mange glemmer, hvad der er hvad, så her er en huskeregel:

\[\frac {\text {Top}}{\text {Nederst}}=\frac {\text {Tæller}}{\text {Nævner}}\]

Forlænge og forkorte brøker

Man forlænger en brøk ved at gange med det samme tal i både tæller og nævner:

  • Eksempel 1.1.8
    Vi vil forlænge brøken \(\frac {3}{4}\) med \(5\).

    \[\frac {3}{4}=\frac {3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac {15}{20}\]

Man forkorter en brøk ved at dividere med det samme tal i tæller og nævner.

  • Eksempel 1.1.9
    Vi vil forkorte brøken \(\frac {2}{10}\). Vi ser at \(2\) går op i både tæller og nævner, så vi kan forkorte med \(2\). Først omskriver vi brøken, så fremgår klart, hvad vi kan forkorte med.

    \[\frac {2}{10}=\frac {1\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac {1\cdot \cancel {2}}{5 \cdot \cancel {2}}=\frac {1}{5}\]

Øvelse 1.1.12

Nu er det din tur.

  • a) Forlæng \(\frac {2}{7}\) med \(3\)

  • b) Forkort \(\frac {8}{24}\), så den ikke kan forkortes mere.

Løsning 1.1.12

  • a) \(\frac {6}{21}\)

  • b) \(\frac {1}{3}\)

Plus og minus

Skal man lægge to brøker sammen kræver det, at de har samme nævner.

  • Eksempel 1.1.10
    Vi vil regne \(\frac {1}{6}+\frac {2}{3}\). Vi ser, at hvis vi forlænger den sidste brøk med \(2\), får vi fællesnævneren \(6\):

    \begin{align*} \frac {1}{6}+\frac {2}{3} &= \frac {1}{6}+\frac {2\cdot 2}{3\cdot 2}\\ & =\frac {1}{6}+\frac {4}{6}\\ & =\frac {1+4}{6}\\ & =\frac {5}{6} \end{align*}

Kan man ikke lige se en fællesnævner, kan man forlænge den første brøk med nævneren fra den anden og forlænge den anden brøk med nævneren fra den første. Det kan dog give en unødvendig høj fællesnævner.

Man kan lægge et tal til en brøk ved at lave tallet om til en brøk:

  • Eksempel 1.1.11
    Vi vil regne \(\frac {4}{7}+2\). Da \(1=\frac {7}{7}\), må \(2=\frac {14}{7}\), så

    \[\frac {4}{7}+2=\frac {4}{7}+\frac {14}{7}=\frac {18}{7}\]

Vi har kun set eksempler med plus, men man gør det på samme måde når det er minus.

Øvelse 1.1.13

Regn

  • a) \(\frac {1}{7}+\frac {4}{7}\)

  • b) \(\frac {3}{40}+\frac {2}{4}\)

  • c) \(\frac {5}{4}-\frac {3}{5}\)

Løsning 1.1.13

  • a) \(\frac {1}{7}+\frac {4}{7}=\frac {5}{7}\)

  • b) \(\frac {3}{40}+\frac {2}{4}=\frac {23}{40}\)

  • c) \(\frac {5}{4}-\frac {3}{5}=\frac {13}{20}\)

Gange og dividere

Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.

  • Eksempel 1.1.12
    Vi vil regne \(\frac {1}{4}\cdot \frac {5}{3}\).

    \[\frac {1}{4}\cdot \frac {5}{3}=\frac {1\cdot 5}{4\cdot 3}=\frac {5}{12}\]

Man ganger et tal på en brøk ved at gange tallet op i tælleren.

  • Eksempel 1.1.13
    Vi vil regne \(5\cdot \frac {3}{10}\).

    \[5\cdot \frac {3}{10}=\frac {5\cdot 3}{10}=\frac {15}{10}=\frac {3}{2}\]

    Læg mærke til, at vi har forkortet brøken i sidste skridt. Man bør altid aflevere facit som en uforkortelig brøk.

    Er man god til matematik, vil man regne stykket lidt smartere. Fordi \(5\) går op i nævneren vil \(5\)-tallet gå ud når vi forkorter, og derfor kan man ligeså godt ”forkorte det ud” med det samme:

    \[5\cdot \frac {3}{10}=5\cdot \frac {3}{5\cdot 2}=\cancel {5}\cdot \frac {3}{\cancel {5}\cdot 2}=\frac {3}{2}\]

Man dividerer to brøker ved at ”gange med den omvendte”.

  • Eksempel 1.1.14
    Vi vil regne:

    \[\frac {\ \frac {3}{2}\ }{\frac {7}{6}}\]

    Vi bruger reglen med at ”gange med den omvendte”. Dvs. at vi bytter rundt på tæller og nævner i den nederste brøk, hvorefter vi ganger de to brøker.

    \begin{align*} \frac {\ \frac {3}{2}\ }{\frac {7}{6}} &= \frac {3}{2}\cdot \frac {6}{7}\\ &= \frac {3\cdot 6}{2\cdot 7}\\ & =\frac {18}{14}\\ & =\frac {9}{7} \end{align*}

Reglen med at gange med den omvendte gælder også, når vi dividere et tal med en brøk

  • Eksempel 1.1.15
    Vi vil regne

    \[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }\]

    Vi gør det ved at gange med den omvendte:

    \[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }=2\cdot \frac {3}{4}=\frac {2\cdot 3}{4}=\frac {6}{4}=\frac {3}{2}\]

    Ligesom i 1.1.13 kan vi gøre det smartere:

    \[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }=2\cdot \frac {3}{4}=2\cdot \frac {3}{2\cdot 2}=\cancel {2}\cdot \frac {3}{\cancel {2}\cdot 2}=\frac {3}{2}\]

    Det ser måske ikke smartere ud, når det står på den måde, men der skal regnes mindre.

Man dividerer en brøk med et tal ved at gange tallet ind i nævneren.

  • Eksempel 1.1.16
    Vi vil regne:

    \[\frac {\ \frac {8}{5}\ }{2}\]

    Her skal vi altså bare gange nævneren i den øvre brøk med \(2\).

    \[\frac {\ \frac {8}{5}\ }{2}=\frac {8}{5\cdot 2}=\frac {4\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac {4\cdot \cancel {2}}{5\cdot \cancel {2}}=\frac {4}{5}\]

Øvelse 1.1.14

Regn

  • a) \(\frac {4}{3}\cdot \frac {2}{5}\)

  • b) \(\frac {6}{5}\cdot 2\)

  • c) \(\frac {\ \frac {3}{5}\ }{3}\)

  • d) \(\frac {5}{\ \frac {2}{3}\ }\cdot 4\)

  • e) \(\frac {\ \frac {1}{3}\ }{\frac {5}{3}}\)

Løsning 1.1.14

  • a) \(\frac {4}{3}\cdot \frac {2}{5}=\frac {8}{15}\)

  • b) \(\frac {6}{5}\cdot 2=\frac {12}{5}\)

  • c) \(\frac {\ \frac {3}{5}\ }{3}=\frac {1}{5}\)

  • d) \(\frac {5}{\ \frac {2}{3}\ }\cdot 4=30\)

  • e) \(\frac {\ \frac {1}{3}\ }{\frac {5}{3}}=\frac {1}{5}\)

I stedet for at gå og huske alle brøkregnereglerne, kan man prøve at forstå dem, så man næste gang kan tænke sig frem til dem.

  • Eksempel 1.1.17
    Hvis man ganger et tal med en brøk skal man gange ind i tælleren. Det kan man godt forklare. Lad os sige, at vi har en pizza som er delt i \(8\) stykker. Lad os sige, at du spiser \(2\) stykker. Så har du spist \(\frac {2}{8}\) af pizzaen. Hvis din ven spiser det dobbelte af dig, så spiser hun \(4\) stykker. Dvs. \(\frac {4}{8}\) af pizzaen. Så

    \[2\cdot \frac {2}{8}=\frac {2\cdot 2}{8}=\frac {4}{8}\]

Den næste øvelse er markeret som ”Svær”. Det er tilladt at springe svære øvelser over.

Øvelse 1.1.15 (Svær)

I denne øvelse skal du overveje resten af brøkregnereglerne.

  • a) Læs ovenstående eksempel og se om du kan argumentere tilsvarende for de andre regneregler. Du behøver ikke at skrive dine argumenter ned. Det er fint, hvis du bare har det i hovedet.

Løsning 1.1.15

  • a) Spørg mig, hvis du er i tvivl.