MATHHX B
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\mathred }[1]{\textcolor [rgb]{1, 0, 0}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathgreen }[1]{\textcolor [rgb]{0,0.5,0}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathblue }[1]{\textcolor [rgb]{0,0,1}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathorange }[1]{\textcolor [rgb]{1,0.5,0}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathmagenta }[1]{\textcolor [cmyk]{0, 1, 1, 0.33}{#1}}\)
\( \newcommand \ccancel [2][red]{\renewcommand \CancelColor {\color {#1}}\cancel {#2}} \)
\(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\)
\(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\)
\(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\)
\(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\)
\(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\)
\(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
1.1 Hovedregning
Det er vigtigt, at man kan regne i hovedet, da det er en forudsætning for at lære mere avanceret matematik. Det betyder ikke, at man skal kunne regne f.eks. ”svære” gangestykker i hovedet, men det er vigtigt, at man mestrer de
forskellige regneoperationer/regneregler.
Simpel regning
Man skal gange og dividere, inden man lægger til og trækker fra. Vi skriver altid division med en brøkstreg, så vil vi f.eks. skrive \(20\) divideret med \(5\), skriver vi \(\frac {20}{5}\).
Øvelse 1.1.1
Regn:
-
a) \(4+5\cdot 2\)
-
b) \(7-2+3\cdot 2-5\)
-
c) \(4-\frac {6}{3}+2\)
I udtryk med brøker regnes først tæller og nævner, så divideres, og så regnes resten.
1.1.2
-
a) \(3\cdot \frac {10-2}{6-4}+2=14\)
-
b) \(\frac {8}{8-4}+7=9\)
-
c) \(2+\frac {3\cdot 5+5}{4}-2\cdot 3=1\)
Visse simple divisionsstykker kan forvirre.
-
Eksempel 1.1.3
Dividere man noget med sig selv, giver det altid \(1\). Har man f.eks. \(3\) personer, der skal dele \(3\) bananer, får de \(1\) hver:
\[\frac {3}{3} = 1\]
Ved division med kommatal, skal du tænke på det som et spørgsmål om, hvor mange gange nævneren går op i tælleren. Skal man f.eks. dividere \(1\) med \(0{,}5\) giver det \(2\), da \(0{,}5\) går \(2\) gange op i \(1\) (måske
er det sådan, du tænker på alle divisionsstykker?):
\[\frac {1}{0{,}5}=2\]
Dividere man \(0\) med noget, får man \(0\). Hvis man f.eks. skal dele \(0\) bananer ud til \(5\) personer, får de ingen bananer:
\[\frac {0}{5} = 0\]
Man kan ikke dividere med nul. Skal man f.eks. dele \(5\) bananer ud til \(0\) personer, så kan man ikke komme af med bananerne:
\[\frac {5}{0}\ \text { kan ikke regnes}\]
Læg mærke til, at det er muligt at dividere nul med noget, men man kan ikke dividere noget med nul.
1.1.3
-
a) \(\frac {7}{7}=1\)
-
b) Kan ikke regnes. Man kan ikke dele med 0
-
c) \(\frac {27}{9}=3\)
-
d) \(\frac {0}{89}=0\)
-
e) \(\frac {3}{0{,}25}=12\)
-
f) \(\frac {0{,}3}{0{,}6}=0{,}5\)
Regning med negative tal
Når man ganger eller dividerer gælder følgende regel: Hvis begge tal er positive, eller begge tal er negative, bliver resultatet positivt. Ellers er resultatet negativt.
Læg mærke til at \(-6\) står i parentes i de to nederste regnestykker. Det er fordi, det er forbudt at skrive ”\(\cdot -\)”, altså det er forbudt at skrive et gangetegn og et minustegn lige efter hinanden.
Hvad så med \(-4-3\)? Giver det mon så også plus? Der er jo to minustegn? Svaret er: NEEEEEEEEEEEEEEEEJJJJ!!!! Vi regner:
\[-4-3=-7\]
Så det er kun ved gange eller division, at to ens giver plus.
Øvelse 1.1.4
Regn:
-
a) \(-3\cdot 2\)
-
b) \(7\cdot (-2)\)
-
c) \(-3\cdot (-5)\)
-
d) \(\frac {6}{-3}\)
-
e) \(-4\cdot 2\cdot (-2)\)
-
f) \(\frac {-4}{-2}\)
-
g) \(\frac {-4}{2}-3\)
-
h) \(-2\cdot \frac {-4}{-1}\)
-
i) \(\frac {-1\cdot (-6)}{3}\cdot (-2)\)
-
j) \(\frac {-5}{0}\)
1.1.4
-
a) \(-3\cdot 2=-6\)
-
b) \(7\cdot (-2)=-14\)
-
c) \(-3\cdot (-5)=15\)
-
d) \(\frac {6}{-3}=-2\)
-
e) \(-4\cdot 2\cdot (-2)=16\)
-
f) \(\frac {-4}{-2}=2\)
-
g) \(\frac {-4}{2}-3=-2-3=-5\)
-
h) \(-2\cdot \frac {-4}{-1}=-2\cdot 4=-8\)
-
i) \(\frac {-1\cdot (-6)}{3}\cdot (-2)=\frac {6}{3}\cdot (-2)=2\cdot (-2)=-4\)
-
j) \(\frac {-5}{0}\) kan ikke regnes. Hvorfor?
Potenser
Vi får brug for at regne med potenser. En potens er tal som f.eks. \(3^2\) (læses ”\(3\) i anden”) eller \(5^3\) (læses ”\(5\) i tredje”). Tallet \(3^2\) regnes ved at sige
\[3^2=3\cdot 3=9\]
og \(5^3\) regnes ved
\[5^3=5\cdot 5\cdot 5=125\quad \]
Man regner potenser, før man ganger, dividerer, lægger sammen og trækker fra.
Øvelse 1.1.5
Regn:
-
a) \(4^2\)
-
b) \(3^3\)
-
c) \(7^1\)
-
d) \(5-2\cdot 5^2\)
Rødder
Rødder er ”det omvendte af potenser”. I kender sikkert kvadratroden fra folkeskolen. Kvadratroden af et tal er det tal, som sat i anden giver det oprindelige tal. F.eks. er \(\sqrt {16}=4\) fordi \(4^2=16\). Godt nok er \((-4)^2\)
også \(16\), men kvadratroden er altid den positive mulighed.
Man kan ikke tage kvadratroden af negative tal, da noget i anden aldrig kan give et negativt tal.
Øvelse 1.1.6
Regn:
-
a) \(\sqrt {9}\)
-
b) \(\sqrt {4}\)
-
c) \(\sqrt {1}\)
-
d) \(\sqrt {-4}\)
-
e) \(\sqrt {0}\)
1.1.6
-
a) \(\sqrt {9}=3\)
-
b) \(\sqrt {4}=2\)
-
c) \(\sqrt {1}=1\)
-
d) Det kan man ikke.
-
e) \(\sqrt {0}=0\)
Der findes andre rødder end kvadratrødder. Det er nemmest at forklare med et eksempel.
-
Eksempel 1.1.6
Vi vil bestemme \(\sqrt [3]{8}\). Det betyder, at vi skal finde et tal, som giver \(8\) når man sætter det i tredje. Da \(2^3=8\) er \(\sqrt [3]{8}=2\).
Tallet \(\sqrt [3]{8}\) læses ”den tredje rod af otte”.
Øvelse 1.1.7
Bestem følgende rødder:
-
a) \(\sqrt [2]{25}\)
-
b) \(\sqrt [3]{0}\)
-
c) \(\sqrt [3]{27}\)
-
d) \(\sqrt [4]{16}\)
-
e) \(\sqrt [100]{1}\)
-
f) \(\sqrt [1]{13}\)
1.1.7
-
a) \(\sqrt [2]{25}=5\)
-
b) \(\sqrt [3]{0}=0\)
-
c) \(\sqrt [3]{27}=3\)
-
d) \(\sqrt [4]{16}=2\)
-
e) \(\sqrt [100]{1}=1\)
-
f) \(\sqrt [1]{13}=13\)
Parenteser
En parentes betyder, at man skal regne det, som står inde i parentesen først. Står der et tal foran (eller bagved) en parentes, betyder det ”gange”. Har vi f.eks. \(2(5+3)\), betyder det altså \(2\cdot (5+3)\).
Øvelse 1.1.9
Regn:
-
a) \(2(3-1)\)
-
b) \((5+2)3\)
1.1.9
-
a) \(2(3-1)=4\)
-
b) \((5+2)3=21\)
Regnearternes hierarki
Reglerne for rækkefølgen af de forskellige regneoperationer kaldes regnearternes hierarki:
-
Eksempel 1.1.8
Udtrykket \(2+\frac {2(3+1)^2}{6+2}-7 \) regnes på følgende måde:
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)
\begin{align*}
2+\frac {2(3+1)^2}{6+2}-7 & = 2+\frac {2\cdot 4^2}{6+2}-7 && \text {(parenteser regnet)} \\[10pt] & = 2+\frac {2\cdot 16}{6+2}-7 && \text {(potenser regnet)} \\[10pt]
& =2+\frac {32}{8}-7&& \text {(tæller og nævner regnet)} \\[10pt] & =2+4-7 && \text {(division regnet)} \\[10pt] & =-1 && \text {(plus og minus regnet)}
\\
\end{align*}
Måske regnede du \(-3^2\) forkert? Det er måske den mest almindelige fejl på dette niveau. Der står IKKE tallet \(-3\) sat i anden. Der står \(3^2\) med et minus foran. Vil man skrive tallet \(-3\) i anden, skriver man
\((-3)^2\). Vi tager en til øvelse med det:
Øvelse 1.1.11
Regn:
-
a) \(-2^2\)
-
b) \((-2)^2\)
Vi slutter af med et ekstraafsnit om brøker. Hvis du kæmper med matematikken, kan du springe ekstraafsnittene over, men hvis du ønsker topkarakter i matematik eller planlægger at tage Matematik-A, så anbefaler jeg at du
regner ekstraafsnittene.
Brøker (ekstra)
I dette ekstraafsnit skal vi se på almindelig brøkregning, som burde være kendt fra folkeskolen. Her er et eksempel på en brøk:
\[\frac {3}{4}\]
Det øverste tal kaldes tælleren, og det nederste kaldes nævneren. Mange glemmer, hvad der er hvad, så her er en huskeregel:
\[\frac {\text {Top}}{\text {Nederst}}=\frac {\text {Tæller}}{\text {Nævner}}\]
Man forlænger en brøk ved at gange med det samme tal i både tæller og nævner:
Man forkorter en brøk ved at dividere med det samme tal i tæller og nævner.
-
Eksempel 1.1.10
Vi vil forkorte brøken \(\frac {2}{10}\). Vi ser, at \(2\) går op i både tæller og nævner, så vi kan forkorte med \(2\). Først omskriver vi brøken, så fremgår klart, hvad vi kan forkorte med.
\[\frac {2}{10}=\frac {1\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac {1\cdot \ccancel {2}}{5 \cdot \ccancel {2}}=\frac {1}{5}\]
Øvelse 1.1.12
Nu er det din tur.
1.1.12
-
a) \(\frac {6}{21}\)
-
b) \(\frac {1}{3}\)
Skal man lægge to brøker sammen, kræver det, at de har samme nævner.
-
Eksempel 1.1.11
Vi vil regne \(\frac {1}{6}+\frac {2}{3}\). Vi ser, at hvis vi forlænger den sidste brøk med \(2\), får vi fællesnævneren \(6\):
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)
\begin{align*}
\frac {1}{6}+\frac {2}{3} &= \frac {1}{6}+\frac {2\cdot 2}{3\cdot 2}\\[10pt] & =\frac {1}{6}+\frac {4}{6}\\[10pt] & =\frac {1+4}{6}\\[10pt] & =\frac {5}{6}
\end{align*}
Man kan lægge et tal til en brøk ved at lave tallet om til en brøk:
-
Eksempel 1.1.12
Vi vil regne \(\frac {4}{7}+2\). Da \(1=\frac {7}{7}\), må \(2=\frac {14}{7}\), så:
\[\frac {4}{7}+2=\frac {4}{7}+\frac {14}{7}=\frac {18}{7}\]
Vi har kun set eksempler med plus, men man gør det på samme måde, når det er minus.
Øvelse 1.1.13
Regn:
-
a) \(\frac {1}{7}+\frac {4}{7}\)
-
b) \(\frac {3}{40}+\frac {2}{4}\)
-
c) \(\frac {5}{4}-\frac {3}{5}\)
1.1.13
-
a) \(\frac {1}{7}+\frac {4}{7}=\frac {5}{7}\)
-
b) \(\frac {3}{40}+\frac {2}{4}=\frac {23}{40}\)
-
c) \(\frac {5}{4}-\frac {3}{5}=\frac {13}{20}\)
Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.
Man ganger et tal på en brøk ved at gange tallet op i tælleren.
-
Eksempel 1.1.14
Gangestykket \(5\cdot \frac {3}{10}\) regnes ved:
\[5\cdot \frac {3}{10}=\frac {5\cdot 3}{10}=\frac {15}{10}=\frac {3}{2}\]
Læg mærke til, at vi har forkortet brøken i sidste skridt.
Er man god til matematik, vil man regne udtrykket lidt smartere. Fordi \(5\) går op i nævneren, vil \(5\)-tallet gå ud når vi forkorter, og derfor kan man ligeså godt ”forkorte det ud” med det samme:
\[5\cdot \frac {3}{10}=5\cdot \frac {3}{5\cdot 2}=\ccancel {5}\cdot \frac {3}{\ccancel {5}\cdot 2}=\frac {3}{2}\]
Det ser måske ikke smartere ud, når det er skrevet op på den måde, men der skal regnes mindre.
Man dividerer to brøker ved at ”gange med den omvendte”.
-
Eksempel 1.1.15
Vi vil regne:
\[\frac {\ \frac {3}{2}\ }{\frac {7}{6}}\]
Vi bruger reglen med at ”gange med den omvendte”. Dvs. at vi bytter rundt på tæller og nævner i den nederste brøk, hvorefter vi ganger de to brøker.
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)
\begin{align*}
\frac {\ \frac {3}{2}\ }{\frac {7}{6}} &= \frac {3}{2}\cdot \frac {6}{7}\\[10pt] &= \frac {3\cdot 6}{2\cdot 7}\\[10pt] & =\frac {18}{14}\\[10pt] & =\frac {9}{7}
\end{align*}
Reglen med at gange med den omvendte gælder også, når vi dividerer et tal med en brøk
-
Eksempel 1.1.16
Vi vil regne
\[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }\]
Vi gør det ved at gange med den omvendte:
\[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }=2\cdot \frac {3}{4}=\frac {2\cdot 3}{4}=\frac {6}{4}=\frac {3}{2}\]
Ligesom i eksempel 1.1.14 kan vi gøre det smartere:
\[\frac {2}{\ \frac {4}{3}\ }=2\cdot \frac {3}{4}=2\cdot \frac {3}{2\cdot 2}=\ccancel {2}\cdot \frac {3}{\ccancel {2}\cdot 2}=\frac {3}{2}\]
Man dividerer en brøk med et tal ved at gange tallet ind i nævneren.
-
Eksempel 1.1.17
Vi vil regne:
\[\frac {\ \frac {8}{5}\ }{2}\]
Her skal vi altså bare gange nævneren i den øvre brøk med \(2\):
\[\frac {\ \frac {8}{5}\ }{2}=\frac {8}{5\cdot 2}=\frac {4\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac {4\cdot \ccancel {2}}{5\cdot \ccancel {2}}=\frac {4}{5}\]
Øvelse 1.1.14
Regn:
-
a) \(\frac {4}{3}\cdot \frac {2}{5}\)
-
b) \(\frac {6}{5}\cdot 2\)
-
c) \(\frac {\ \frac {3}{5}\ }{3}\)
-
d) \(\frac {5}{\ \frac {2}{3}\ }\cdot 4\)
-
e) \(\frac {\ \frac {1}{3}\ }{\frac {5}{3}}\)
1.1.14
-
a) \(\frac {4}{3}\cdot \frac {2}{5}=\frac {8}{15}\)
-
b) \(\frac {6}{5}\cdot 2=\frac {12}{5}\)
-
c) \(\frac {\ \frac {3}{5}\ }{3}=\frac {1}{5}\)
-
d) \(\frac {5}{\ \frac {2}{3}\ }\cdot 4=30\)
-
e) \(\frac {\ \frac {1}{3}\ }{\frac {5}{3}}=\frac {1}{5}\)
I stedet for at huske alle brøkregnereglerne, kan man prøve at forstå dem, så man fremover kan tænke sig frem til dem.
-
Eksempel 1.1.18
Hvis man ganger et tal med en brøk, skal man gange ind i tælleren. Det kan man godt forklare. Lad os sige, at vi har en pizza som er delt i \(8\) stykker. Lad os sige, at du spiser \(2\) stykker.
Så har du spist \(\frac {2}{8}\) af pizzaen. Hvis din ven spiser det dobbelte af dig, så spiser hun \(4\) stykker. Dvs. \(\frac {4}{8}\) af pizzaen. Så
\[2\cdot \frac {2}{8}=\frac {2\cdot 2}{8}=\frac {4}{8}\]
Den næste øvelse er markeret som ”svær”. Det er tilladt at springe svære øvelser over, hvis man synes matematik er svært.
Øvelse 1.1.15 (svær)
I denne øvelse skal du overveje resten af brøkregnereglerne.