MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

11.6 Funktionsundersøgelse i GeoGebra

Det er nemt at lave funktionsundersøgelse i GeoGebra. Måske er det lidt for nemt. Vi starter med at se på hvordan man nemmest finder resultater i GeoGebra.

  • Eksempel 11.6.1
    Vi vil lave en funktionsundersøgelse for funktionen

    \[f(x)=\ln \left (x^2+0{,}1\right )\]

    Vi indtaster funktionen i GeoGebra:

    (image)

    Vi klikker på forskriften så de tre prikker kommer frem til højre for forskriften:

    (image)

    Vi klikker på de tre prikker:

    (image)

    og vælger Særlige punkter:

    (image)

    Vi får nu følgende:

    (image)

    I algebravinduet ser vi:

    Rødder: Det er funktionens nulpunkter. Vi ser at \(f\) har nulpunkterne:

    \[x_1=-0{,}95 \quad \text { og } \quad x_2=0{,}95\]

    Ekstremum: Ekstremum er ekstremum. GeoGebra siger ikke noget om, hvilket slags ekstremum der er tale om, så her må vi kigge på grafen. Vi kan se at der er tale om et minimum, og da fa \(f\) ikke er begrænset og ikke har andre ekstrema ,må der være tale om et globalt minimum. Altså \(f\) har et globalt minimum i \(x=0\) med minimumsværdi \(-2{,}3\).

    Skæring: Viser funktionens skæring med \(y\)-aksen. Den skal vi ikke bruge i denne sammenhæng.

Øvelse 11.6.1

Lad \(f(x)=x^5-x^4+x^2+5\). Bestem ved hjælp af Geogebra.

  • a) Nulpunkter for \(f\)

  • b) Ekstrema for \(f\)

Løsning 11.6.1

  • a) Funktion \(f\) har nulpunkt i \(x=-1{,}31\)

  • b) Ekstrema:
    \(f\) har lokalt maksimum i \(x=-0{,}55\) med maksimumsværdi \(5{,}16\).
    \(f\) har lokalt minimum i \(x=0\) med minimumsværdi \(5\).

Fortegn, monotoniforhold og værdimængden bestemmes ud fra grafen ved at tage udgangspunkt i nulpunkter og ekstrema.

  • Eksempel 11.6.2
    Vi fortsætter eksempel 11.6.1 med at bestemme fortegn, monotoniforhold og værdimænge.

    Fortegn: Vi ved allerede at \(f\) har nulpunkterne: \(x_1=-0{,}95\) og \(x_2=0{,}95\). Så ud fra grafen ses det at:

    \(f(x)>0\) når \(x\in ]-\infty ;-0{,}95[\cup ]0{,}95;\infty [\)
    \(f(x)<0\) når \(x\in ]-0{,}95;0{,}95[\)

    Monotoniforhold Vi ved at \(f\) har globalt minimum i \(x=0\) og da \(f\) ikke har andre ekstrema må der gælde at:

    \(f\) er aftagende på intervallet \(]-\infty ;0]\) og voksende på intervallet \([0;\infty [.\)

    Værdimængde Da funktionen har en globalt minimumsværdi på \(-2{,}3\) ser du til (ud fra grafen) at værdimængden er \(\Vm (f)=[-2{,}3;\infty [\). Vi kan dog ikke være sikker på at værdimængden virkelig går til uendelig alene ud fra grafen. Grafen kunne flade ud. Så skal man afgøre om værdimængden virkelig går til uendelig kræver det at man kigger nærmere på selve forskriften. Det vil vi ikke gøre, men jeg kan afsløre at det er den rigtige værdimængde vi har fundet.

Øvelse 11.6.2

For funktionen fra øvelse 11.6.1 (dvs. \(f(x)=x^5-x^4+x^2+5\)) skal du ved hjælp af GeoGebra bestemme:

  • a) Fortegn.

  • b) Monotoniforhold.

  • c) Værdimængde.

Løsning 11.6.2

  • a) Fortegn:
    \(f\) er negativ for \(x\in ]-\infty ;-1{,}31[\)
    \(f\) er positiv for \(x\in ]-1{,}31; \infty [\)
    \(f\) er nul for \(x=-1{,}31\)

  • b) Monotoniforhold:
    \(f\) er voksende for \(x\in ]-\infty ; -0{,}55]\)
    \(f\) er aftagende for \(x\in [-0{,}55;0]\)
    \(f\) er voksende for \(x\in [0; \infty [\)

  • c) \(\Vm {f} = \mathbb {R}\)

Begrænsede funktioner

Vi vil nu lave en funktionsundersøgelse for en begrænset funktion.

  • Eksempel 11.6.3
    Vi vil tegne grafen for funktionen \(f(x)=2^x-x^2+x\), hvor \(x>2\).

    Vi skriver:

    (image)

    og vi får grafen:

    (image)

    Vi tilføjer nu et punkt. Vi kan se at grafen ender i punktet \((2,2)\), så vi skriver det ind:

    (image)

    Vi højreklikker nu på punktet og vælger Instillinger. Under "Stil", kan vi ændre punktet til at være et åbent punkt:

    (image)

    Grafen ender med at se sådan her ud:

    (image)

Desværre kan GeoGebra ikke lave funktionsundersøgelse for begrænsede funktioner. Derfor er man nødt til at indtaste funktionen uden begrænsning, og så må man se bort fra de resultater som ligger udenfor der hvor funktionen er defineret.

  • Eksempel 11.6.4
    Vi vil bestemme ekstrema for funktionen fra ovenstående eksempel (eksempel 11.6.3). Vi taster funktionen ind uden begrænsninger og vælger Særlige punkter:

    (image)

    GeoGebra siger at \(f\) har ekstrema i \(x=1{,}44\) og \(x=2{,}6\) Men vi husker nu, at vi ignorerede begrænsningerne, da vi tastede funktionen ind. Funktionen er kun defineret for \(x>2\), og da \(1{,}44\) dermed ligger udenfor definitionsmængden, har funktionen kun ét ekstremum, og det er et globalt minimum i \(x=2{,}6\) med minimumsværdi \(1{,}9\).

Øvelse 11.6.3

Lav ved hjælp a Geogebra en funktionsundersøgelse for funktionen \(f(x)=2e^x-5x^2\), hvor \(x\in [-2;3[\). Dvs. du skal bestemme:

  • a) Definitionsmængde

  • b) Værdimængde

  • c) Nulpunkter

  • d) Fortegn

  • e) Monotoniforhold

  • f) Ekstrema

Løsning 11.6.3

  • a) \(\textrm {Dm}(f)=[-2;3[\)

  • b) \(\textrm {Vm}(f)=[-19{,}73;2{,}26]\)

  • c) \(x_1=-0{,}49\) og \(x_2=1{,}09\)

  • d) Fortegn:
    \(f(x)>0\) når \(x\in ]-0{,}49;1{,}09[\)
    \(f(x)<0\) når \(x\in [-2;-0{,}49[\cup ]1{,}09;3[\)
    \(f(x)=0\) når \(x=-0{,}49\) eller \(x=1{,}09\)

  • e) Monotoniforhold:
    \(f\) er voksende i intervallerne \([-2;0{,}26]\) og \([2{,}54;,3[\)
    \(f\) er aftagende i intervallet \([0{,}26;2{,}54]\)

  • f) Ekstrema:
    \(f\) har globalt minimum i \(x=-2\) med minimumsværdi \(-19{,}73\)
    \(f\) har globalt maksimum i \(x=0{,}26\) med maksimumsværdi \(2{,}26\)
    \(f\) har lokalt minimum i \(x=2{,}54\) med minimumsværdi \(-6{,}9\)

Øvelse 11.6.4

Når man tegner funktioner som er begrænses skal man huske at få begrænsningerne med og markere endepunkterne rigtigt.

  • a) Tegn funktionen fra ovenstående øvelse i GeoGebra

Løsning 11.6.4

  • a)
    (image)

Krumningsforhold og vendetangenter i GeoGebra (A)

Har man et polynomium kan man bestemme krumningsforholdene ved hjælp af kommandoen

\[\verb |VendePunkt(polynomium)|.\]

  • Eksempel 11.6.5
    Vi vil bestemme krumningsforhold og vendetangenter for funktionen \(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\) og skriver VendePunkt(f)

    (image)

    Vi ser at \(f\) har et vendepunkt i \((1,2)\)). Vi skriver nu f''(0) og f''(2) for at undersøge fortegnet for \(f''\) på bege sider af vendepunktet.

    (image)

    Vi ser at \(f''\) skifter fra negativ til positiv i \(x=1\). Det må betyde at:

    \(f\) er konkav på \(]-\infty ; 1]\)
    \(f\) er konveks på \([1;\infty [\)

Kommandoen VendePunkt(polynomium) virker (som antydet) kun for polynomier. Skal man bestemme krumningsforhold for mere generelle funktioner, må man i stedet bruge CAS til at løse ligningen \(f''(x)=0\).

  • Eksempel 11.6.6
    Vi vil bestemme krumningsforhold for funktionen \(f(x)=e^x-x\). Vi skriver funktionen ind som normalt hvorefter vi åbner et CAS-vindue og skriver Beregn(f''(x)=0):

    (image)

    Vi ser at \(f\) har muligt vendepunkt i \(x=ln(2)\). Vi kan derefter følge ovenstående eksempel for at finde krumningsforholdene.

Øvelse 11.6.5

Lad \(f(x)=2^x-x^2\).

  • a) Bestem krumningsforhold for \(f\)

  • b) Bestem vendetangenter for \(f\)

Løsning 11.6.5

  • a) \(f\) er konkav for \(x\in ]-\infty ; 2{,}06]\).
    \(f\) er konveks for \(x\in [2{,}06;\infty [\).

  • b) Der er en vendetangent: \(y=1{,}23x+2{,}46\)

Ekstra

Vi har set at man kan lave funktionsundersøgelse med meget lidt matematisk forståelse ved hjælp af GeoGebra. Vil man vise lidt mere forståelse for hvad man laver, anbefaler jeg at man undlader at bruge Særlige punkter og VendePunkt(polynomium). I stedet kan man bruge CAS og kommandoen Beregn(Ligning i x). Den kan bruges til at løse ligningerne:

\(f(x)=0\) (for nulpunkter)

\(f'(x)=0\) (for monotoniforhold og ekstrema)

\(f''(x)=0\) (for krumningsforhold og vendepunkter)

På den måde bliver man fri for det tunge (og nogle gange nærmest umulige) arbejde med at regne i hånden, samtidig med at man får vist matematisk forståelse.