Indtil videre har vi illustreret funktioner med mængdeboller som f.eks.:
Diagram der viser funktionen \(f(x)=2x\)
Fremover vil vi ikke illustrere funktioner med mængdeboller. I stedet vil vi tegne deres grafer. Man tegner en graf ved først at lave et sildeben. Vi konstruerer sildebenet ved at vælge nogle \(x\)-værdier og derefter
udregne de tilhørende funktionsværdier. Det hele stilles op i en tabel.
Eksempel 2.2.1 Vi konstruerer et sildeben for funktionen \(f(x)=2x\). Vi vælger \(x\)-værdierne til at gå fra -4 til 4. Vores sildeben kommer så til at se således ud:
\[\begin {array} {| l | l | l | l | l | l | l | l | l | l |} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2& 3 & 4 \\ \hline f(x) & -8 & -6 & -4 &
-2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline \end {array}\]
Den nederste række er bestemt ved at regne:
\[f(-4)=2\cdot (-4)=-8\]
\[f(-3)=2\cdot (-3)=-6\]
\[\vdots \]
Øvelse 2.2.1
Nedenunder ses et sildeben for funktionen \(f(x)=2x^2-10\).
\[\begin {array} {| l | r | r | r | r | r | r | r |} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2& 3 \\ \hline f(x) & 8 & -2 & & -10 & & & 8 \\
\hline \end {array}\]
a) Regn de tomme felter.
Løsning 2.2.1
a)
\[\begin {array} {| l | r | r | r | r | r | r | r |} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2& 3 \\ \hline f(x) & 8 & -2 & -8 & -10 & -8 & -2
& 8 \\ \hline \end {array}\]
Har man et sildeben, kan man tegne en graf. Hver kolonne i sildebenet bliver til et punkt i et koordinatsystem. Man afsætter \(x\)-værdien ud af \(x\)-aksen og \(f(x)\)-værdien ud af \(y\)-aksen (vi husker at \(f(x)=y\)).
Punkterne man tegner kaldes støttepunkter.
Eksempel 2.2.2 I øvelse 2.2.1 lavede vi et sildeben for funktionen \(f(x)=2x\). Det så således ud:
\[\begin {array} {| l | l | l | l | l | l | l | l | l | l |} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2& 3 & 4 \\ \hline f(x) & -8 & -6 & -4 &
-2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline \end {array}\]
Vi tegner grafen for \(f\) ved at afsætte punkterne fra sildebenet i et koordinatsystem. Første punkt bliver \((-4,-8)\), fordi \(x=-4\) og \(y=f(-4)=-8\). Tegner vi alle punkterne fra sildebenet får vi:
Derefter forbinder vi punkterne med en kurve:
Vi kan se, at grafen er linje. Funktioner, der har linjer som grafer, kaldes lineære funktioner, og der findes nemmere metoder til at tegne dem. Mere om det i næste kapitel.
Øvelse 2.2.2
Betragt sildebenet for funktionen \(g\):
\[\begin {array} {| l | r | r | r | r | r | r | r |} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2& 3 & 4\\ \hline f(x) & -9 & 1 & 7 & 9 & 7 & 1 & -9 \\
\hline \end {array}\]
a) Tegn grafen for \(g\)
Løsning 2.2.2
a)
Læg mærke til at grafen i ovenstående øvelse er rund i toppen. Den er IKKE spids. Det er en almindelig fejl at tegne bløde kurver spidse.
Øvelse 2.2.3
Lad \(f(x)=x^3+3x^2\).
a) Tegn grafen for \(f\).
Løsning 2.2.3
a)
Har du husket at buerne skal være runde og ikke spidse?
Øvelse 2.2.4
Lad \(f(x)=-3\).
a) Tegn grafen for \(f\),
Løsning 2.2.4
a)
Øvelse 2.2.5
Lad \(f(x)=-x+4\).
a) Ligger punktet \((30,-25)\) på grafen for \(f\) ?
Løsning 2.2.5
a) Næh nej, det ligger ikke på grafen..
Øvelse 2.2.6 (Svær)
Lad \(r(x)=\frac {1}{x}\).
a) Tegn grafen for funktionen \(r\).
VINK: Du får brug for mange støttepunkter med \(x\)-værdier tæt på nul (f.eks. \(x=-0{,}5\), \(x=0{,}5\)).
Løsning 2.2.6
a)
Skæring mellem grafer
Har man to funktioner \(f\) og \(g\), finder man skæringspunkter ved at sætte \(f(x)=g(x)\) og løse ligningen.
Eksempel 2.2.3 Vi vil gerne finde skæringspunktet mellem \(f(x)=-2x+2\) og \(g(x)=2x\). Vi løser ligningen:
\(\seteqnumber{0}{2.}{0}\)
\begin{align*}
f(x) & =g(x)\\ -2x+2 &=2x\\ -4x & = -2\\ x &=\frac {-2}{-4}\\ x &=\frac {1}{2}
\end{align*}
Så \(x\)-koordinaten til skæringspunktet er \(\frac {1}{2}\). Vi finder \(y\)-koordinaten ved at sætte \(x\)-værdien ind i forskriften for \(f\) eller \(g\). Vi vælger \(g\) da den er simplest:
Altså skærer \(f\) og \(g\) hinanden i punktet \(\left (\frac {1}{2},1\right )\).
Øvelse 2.2.7
Beregn evt. skæringspunkter mellem funktionerne
a) \(f(x)=2x+1 \quad \textrm {og}\quad g(x)=-x+4\)
b) \(f(x)=2x \quad \textrm {og}\quad g(x)=2x+2\)
c) \(f(x)=\frac {1}{x} \quad \textrm {og}\quad g(x)=x\) (svær)
Løsning 2.2.7
a) \((1,3)\)
b) Der er ingen...
c) \((-1,-1)\) og \((1,1)\)
Begrænsede funktioner og deres grafer
Der kan optræde begrænsninger på funktioner. Betragt funktionen
\[f(x)=2x \quad , \quad -2\leq x < 1\]
Denne funktion er magen til funktionen \(f(x)=2x\), bortset \(x\) skal ligge i intervallet \([-2;1[\). Tegner vi grafen ser den således ud:
Her har vi begrænset grafen, så alle \(x\)-værdierne ligger i intervallet \([-2;1[\). Da \(x=-2\) ligger i intervallet er punktet \((-2,-4)\) en del af grafen, hvilket vi markerer med en ”udfyldte” bolle i \((-2,-4)\). Da \(x=1\)
ikke ligger i intervallet har vi markeret punktet \((1,2)\) med en ”hul” bolle. Intervallet \([-2;1[\) kaldes definitionsmængden for \(f\), og den skal du lære mere om i næste afsnit.
Øvelse 2.2.8
Lad
\[f(x)=\frac {8}{x} \quad , \quad 2 < x \leq 8\]
og
\[g(x)=3 \quad , \quad x>4\]
a) Tegn graferne for \(f\) og \(g\) i samme koordinatsystem
Løsning 2.2.8
a)
Funktioner har kun én \(y\)-værdi til hver \(x\)-værdi
Funktioner har kun én \(y\)-værdi til hver \(x\)-værdi, og dette har betydning for, hvordan grafer kan se ud.
Eksempel 2.2.4 Betragt cirklen:
Vi ser, at cirklen går igennem både \((2,1)\) og \((2,3)\). Så hvis cirklen var graf for en funktion skulle \(f(2)\) både være \(1\) og \(3\) på en gang. Måske kunne man aftale, at \(f(2)=1\) i hverdagen og \(f(2)=3\) i
weekenden og på den måde gøre alle glade? Nej i matematik kan noget ikke have to forskellige værdier på en gang, så derfor kan cirklen ikke være graf for en funktion.
