MATHHX B
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\TextOrMath }[2]{#2}\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\mathred }[1]{\textcolor [rgb]{1, 0, 0}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathgreen }[1]{\textcolor [rgb]{0,0.5,0}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathblue }[1]{\textcolor [rgb]{0,0,1}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathorange }[1]{\textcolor [rgb]{1,0.5,0}{#1}}\)
\(\newcommand {\mathmagenta }[1]{\textcolor [cmyk]{0, 1, 1, 0.33}{#1}}\)
\( \newcommand \ccancel [2][red]{\renewcommand \CancelColor {\color {#1}}\cancel {#2}} \)
\(\newcommand {\Dom }{\operatorname {Dom}}\)
\(\newcommand {\Ran }{\operatorname {Ran}}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\SD }{\operatorname {SD}}\)
\(\newcommand {\ExV }{\operatorname {E}}\)
\(\newcommand {\opointtext }{\textcolor {blue}{\circ }}\)
\(\newcommand {\cpointtext }{\textcolor {blue}{\bullet }}\)
\(\newcommand {\vectwo }[2]{\begin {pmatrix} #1 \\ #2 \end {pmatrix}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase {\TextOrMath { }{\ }\protect \mbox {to (numerical range)}\TextOrMath { }{\ }}\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
2.2 Grafer
En graf er en visuel fremstilling af en funktion i et koordinatsystem. I dette afsnit skal du lære, hvordan man tegner grafer med papir og blyant, så find noget ternet papir frem.
Koordinatsystemer og punkter
Et koordinatsystem ser således ud:
Den blå linje kaldes \(x\)-aksen og den røde kaldes \(y\)-aksen. Normalt farver man ikke akserne.
I koordinatsystemet kan man tegne punkter. Et punkt er et talpar som f.eks.
\[P(3,2)\]
Det første tal (\(3\)) kaldes \(x\)-koordinaten og det andet tal (\(2\)) kaldes \(y\)-koordinaten. Har man svært ved at huske, hvad der kommer først, kan man huske at \(x\) kommer før \(y\) i alfabetet. Vi kan tegne punktet
\(P\) ind et koordinatsystem ud fra \(3\) på \(x\)-aksen og \(2\) på \(y\)-aksen som vist her:
Øvelse 2.2.1
Betragt koordinatsystemet med punkterne \(O\), \(P\), \(Q\) og \(R\).
-
a) Opskriv punktet \(P\)
-
b) Opskriv punktet \(R\)
-
c) Hvad er \(y\)-koordinaten til \(Q\)?
-
d) Hvilke punkt(er) ligger på \(x\)-aksen?
-
e) Hvilke punkt(er) ligger på \(y\)-aksen?
2.2.1
-
a) \(P(5,-2)\)
-
b) \(R(0,4)\)
-
c) \(1\)
-
d) \(O\)
-
e) \(O\) og \(R\)
Om lidt skal du tegne koordinatsystemer. Det vil tage ulidelig lang tid at skrive alle tallene på akserne, så du kan nøjes med at skrive et enkelt tal på hver akse som vist her:
Øvelse 2.2.2
Tegn et koordinatsystem på et stykket ternet papir.
2.2.2
-
a)
Når man angiver punkter, behøver man ikke at navngive dem med \(P\), \(Q\), osv. Altså man kan angive et punkt som \((3,2)\) i stedet for \(P(3,2)\). Hvis ikke man har brug for at refere til punktet senere hen, vil man typisk
ikke give det et navn.
Tegning af grafer
Man tegner en graf ved først at lave en tabel. Vi opstiller tabellen ved at vælge nogle \(x\)-værdier og beregne de tilhørende funktionsværdier. En sådan tabel kaldes også et sildeben.
-
Eksempel 2.2.1
Vi konstruerer et sildeben for funktionen \(f(x)=2x\). Vi vælger \(x\)-værdierne til at gå fra \(-4\) til \(4\). Vores sildeben kommer så til at se således ud:
\(\begin {array} {| l | l | l | l | l | l | l | l | l | l |} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2& 3 \\ \hline f(x) & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 & 4
& 6 \\ \hline \end {array}\)
Den nederste række er bestemt ved at regne:
\[f(-3)=2\cdot (-3)=-6\]
\[f(-2)=2\cdot (-2)=-4\]
\[\vdots \]
Øvelse 2.2.3
Nedenunder ses et sildeben for funktionen \(f(x)=2x^2-10\).
\(\begin {array} {| l | r | r | r | r | r | r | r |} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2& 3 \\ \hline f(x) & 8 & -2 & & -10 & & & 8 \\
\hline \end {array}\)
Har man et sildeben, kan man tegne en graf. Hver kolonne i sildebenet bliver til et punkt i et koordinatsystem. Her bliver \(x\)-værdien punktets \(x\)-koordinat og \(f(x)\) bliver punktets \(y\)-koordinat. Punkterne, man tegner,
kaldes støttepunkter.
-
Eksempel 2.2.2
I eksempel 2.2.1 lavede vi et sildeben for funktionen \(f(x)=2x\). Det så således ud:
\(\begin {array} {| l | l | l | l | l | l | l | l | l | l |} \hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2& 3 \\ \hline f(x) & -6 & -4 & -2 & 0 & 2 & 4
& 6 \\ \hline \end {array}\)
Vi tegner grafen for \(f\) ved at afsætte punkterne fra sildebenet i et koordinatsystem. Første punkt bliver \((-3,-6)\), fordi \(x=-3\) og \(f(-3)=-6\). Tegner vi alle punkterne fra sildebenet får vi:
Derefter forbinder vi punkterne med en kurve:
Vi kan se, at grafen er en linje. Funktioner, hvis grafer er linjer, kaldes lineære funktioner. Der findes enklere metoder til at tegne dem, hvilket vi vender tilbage til i næste kapitel.
Der er ingen faste regler for hvilke tal man skal vælge som \(x\)-værdier, når man laver sildebenet, men det gælder om at have nok værdier til, at man ikke er i tvivl om grafens forløb.
Øvelse 2.2.4
Betragt sildebenet for funktionen \(g\):
\(\begin {array} {| l | r | r | r | r | r | r | r |} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2& 3 & 4\\ \hline f(x) & -9 & 1 & 7 & 9 & 7 & 1 & -9 \\
\hline \end {array}\)
Øvelse 2.2.5
Lad \(f(x)=x^3+3x^2\) og det tilhørende sildeben:
\(\begin {array} {| l | r | r | r | r | r | r | r |} \hline x &-2{,}2 &-2 & -1 & & 1 & 2 & 2{,2} \\ \hline f(x) & -4 & & 2 & 0 & & 2 &
4\\ \hline \end {array}\)
2.2.5
-
a) \(\begin {array} {| l | r | r | r | r | r | r| r|} \hline x &-2{,}2 &-2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 2{,2}
\\ \hline f(x) & -4& -2 & 2 & 0 & -2 & 2 & 4\\ \hline \end {array}\)
-
b)
Har du husket at buerne skal være runde og ikke spidse?
Øvelse 2.2.6
Lad \(f(x)=-3\).
2.2.6
-
a)
Øvelse 2.2.7
Lad \(f(x)=-x+4\).
Øvelse 2.2.8 (svær)
Lad \(r(x)=\frac {1}{x}\).
VINK: Du får brug for mange støttepunkter med \(x\)-værdier tæt på nul (f.eks. \(x=-0{,}5\) og \(x=0{,}5\)).
2.2.8
-
a)
Skæring mellem grafer
Har man to funktioner, \(f\) og \(g\), finder man skæringspunkter ved at sætte \(f(x)=g(x)\) og løse ligningen.
-
Eksempel 2.2.3
Vi vil gerne finde skæringspunktet mellem \(f(x)=-2x+2\) og \(g(x)=2x\). Vi sætter \(f(x)=g(x)\) og løser ligningen:
\(\seteqnumber{0}{2.}{0}\)
\begin{align*}
f(x) & =g(x)\\ -2x+2 &=2x\\-4x & = -2\\[2pt] x &=\frac {-2}{-4}\\[2pt] x &= 0{,}5
\end{align*}
Så \(x\)-koordinaten til skæringspunktet er \(0{,}5\). Vi finder \(y\)-koordinaten ved at sætte \(x\)-værdien ind i forskriften for \(f\) eller \(g\). Vi vælger \(g\), da den er simplest:
\[g(0{,}5))=2\cdot 0{,}5=1\]
Altså skærer \(f\) og \(g\) hinanden i punktet \((0{,}5;1)\).
Læg mærke til, at vi har brugt et semikolon til at adskille koordinaterne i punktet \((0{,}5;1)\). Det gør vi altid, når en af koordinaterne er et kommatal.
Øvelse 2.2.9
Beregn eventuelle skæringspunkter mellem funktionerne:
-
a) \(f(x)=2x+1 \quad \textrm {og}\quad g(x)=-x+4\)
-
b) \(f(x)=2x \quad \textrm {og}\quad g(x)=2x+2\)
-
c) \(f(x)=\frac {1}{x} \quad \textrm {og}\quad g(x)=x\) (svær)
Begrænsede funktioner og deres grafer
Der kan optræde begrænsninger på funktioner. Betragt funktionen
\[f(x)=2x \quad , \quad -2\leq x < 1\]
Denne funktion er magen til funktionen \(f(x)=2x\), bortset fra \(x\) skal begrænses til intervallet \([-2;1[\). Tegner vi grafen ser den således ud:
Her har vi begrænset grafen, så alle \(x\)-værdierne ligger i intervallet \([-2;1[\). Da \(x=-2\) ligger i \([-2;1[\) er punktet \((-2,-4)\) en del af grafen, hvilket vi markerer med \(\cpointtext \). Da \(x=1\) ikke ligger i
\([-2;1[\), ligger punktet \((1,2)\) ikke på grafen, hvilket vi markerer med \(\opointtext \). Intervallet \([-2;1[\) kaldes definitionsmængden for \(f\), og den skal du lære mere om i næste afsnit.
Et punkt markeret med \(\cpointtext \) kaldes et lukket endepunkt, mens et punkt markeret med \(\opointtext \) kaldes et åbent endepunkt.
Øvelse 2.2.10
Lad
\[ f(x)=\frac {8}{x} \quad , \quad 2 < x \leq 8 \]
og
\[ g(x)=3 \quad , \quad x>4 \]
2.2.10
-
a)
Ikke alle kurver er grafer
Funktioner har kun én \(y\)-værdi til hver \(x\)-værdi, og dette begrænser, hvordan grafer kan se ud.
-
Eksempel 2.2.4
Betragt cirklen:
Vi ser, at cirklen går igennem både \((2,1)\) og \((2,3)\). Så hvis cirklen var graf for en funktion skulle \(f(2)\) både være \(1\) og \(3\) på en gang. Måske kunne man aftale, at \(f(2)=1\) i hverdagen, og \(f(2)=3\) i
weekenden som et kompromis? Nej, i matematik kan noget ikke have to forskellige værdier på en gang, så derfor kan cirklen ikke være graf for en funktion.
Øvelse 2.2.11
Betragt kurverne:
-
a) Kan den brune kurve være graf for en funktion?
-
b) Kan den grønne kurve være graf for en funktion?
-
c) Kan den røde kurve være graf for en funktion?
-
d) Kan den blå kurve være graf for en funktion?
2.2.11
-
a) nej
-
b) ja
-
c) ja
-
d) nej