MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

8.8 Beviser til finansiel regning

Beviser til kapitalfremskrivning

Beviserne her er så nemme, at jeg har lavet dem som øvelser. I kan dog se de fulde beviser i facit, hvis I ikke kan finde ud af dem.

Øvelse 8.8.1

Formlen for renten i en kapitalfremskrivning ser således ud:

\[r=\sqrt [n]{\frac {K_n}{K_0}}-1\]

  • a) Bevis formlen ved at isolere \(r\) i fremskrivningsformlen.

Løsning 8.8.1

  • a) Ifølge fremskrivningsformlen er

    \[K_n=K_0(1+r)^n.\]

    Vi dividerer nu med \(K_0\) på begge sider:

    \[\frac {K_n}{K_0}=(1+r)^n.\]

    Vi tager derefter den n’te rod på begge sider:

    \[\sqrt [n]{\frac {K_n}{K_0}}=(1+r).\]

    Vi trækker så \(1\) fra på begge sider:

    \[\sqrt [n]{\frac {K_n}{K_0}}-1=r,\]

    og bytter rundt på højre og venstre side: :

    \[r=\sqrt [n]{\frac {K_n}{K_0}}-1.\]

Øvelse 8.8.2

Formlen \(K_0=K_n(1+r)^{-n}\) kaldes også ”tilbageskrivningsformlen”.

  • a) Bevis tilbageskrivningsformlen med udgangspunkt i fremskrivningsformlen.

VINK: Gang fremskrivningsformlen med \((1+r)^{-n}\) på begge sider og brug en passende potensregneregel.

Løsning 8.8.2

  • a) Ifølge fremskrivningsformlen er

    \[K_n=K_0(1+r)^n.\]

    Vi isolerer nu \(K_0\) ved at gange med \((1+r)^{-n}\) på begge sider:

    \[K_n (1+r)^{-n} =K_0(1+r)^n (1+r)^{-n}\]

    Vi bruger nu potensregnereglen \(a^p \cdot a^q = a^{p+q}\) på højresiden

    \[K_n (1+r)^{-n} =K_0(1+r)^{n+{-n}}\]

    Vi reducerer

    \[K_n (1+r)^{-n} =K_0(1+r)^0\]

    og bruger reglen \(a^0=1\) på højresiden

    \[K_n (1+r)^{-n} =K_0\]

    Til sidst bytter vi rundt på højre og venstre side:

    \[K_0=K_n(1+r)^{-n}\]

Øvelse 8.8.3

Formlen for antallet af terminer i en kapitalfremskrivning ser således ud:

\[n=\frac {\ln (\frac {K_n}{K_0})}{\ln (1+r)}.\]

  • a) Bevis formlen.

Løsning 8.8.3

  • a) følge fremskrivningsformlen er

    \[K_n=K_0(1+r)^n.\]

    Vi dividerer nu med \(K_0\) på begge sider:

    \[\frac {K_n}{K_0}=(1+r)^n.\]

    Vi skal finde \(n\) og åh nej det er jo rigtig dumt for \(n\) står i eksponenten. Heldigvis har vi lært om logaritmer, og dem kan vi jo bruge til at fiske \(n\) ned. Så vi tager den naturlige logaritme på begge sider:

    \[\ln (\frac {K_n}{K_0})=\ln ((1+r)^n).\]

    Vi benytter reglen \(\ln (a^x)=x\ln (a)\) og får:

    \[\ln (\frac {K_n}{K_0})=n\ln (1+r).\]

    Vi dividerer så med \(\ln (1+r)\) på begge sider:

    \[\frac {\ln (\frac {K_n}{K_0})}{\ln (1+r)}=n,\]

    og bytter rundt på højre og venstre side:

    \[n=\frac {\ln (\frac {K_n}{K_0})}{\ln (1+r)}.\]

Beviser til annuitetsregning
Fremtidsværdien af en annuitet (B-niveau-version)

Her på mathhx er der to beviser for fremskrivningsformlen. Det første og mest simple bevis er tænkt til B-niveau, mens det andet bevis er tænkt til A-niveau. Man kan dog lave begge beviser på begge niveauer.

  • Sætning 8.2.1
    Fremtidsværdien \(A_n\) af en annuitet bestående af \(n\) ydelser \(y\) ved en rente på \(r\), er givet ved:

    \[A_n=y\cdot \frac {(1+r)^n-1}{r}\]

  • Bevis 
    Fremtidsværdien \(A_n\) betyder summen af alle ydelserne skrevet frem til det tidspunkt, hvor den sidste ydelse ligger. Dvs:

    \[A_n=y+y(1+r)+y(1+r)^2+\cdots + y(1+r)^{n-1}\]

    Vi sætter \(a=1+r\):

    \[A_n=y+ya+ya^2+\cdots +ya^{n-1}\]

    Vi sætter \(y\) ud foran parentesen:

    \[A_n=y(1+a+a^2+\cdots +a^{n-1})\]

    Vi ganger med \(a-1\), hvorefter vi dividerer med \(a-1\) (så vi har ikke ændret værdien af udtrykket).

    \[A_n=\frac {y(1+a+a^2+\cdots +a^{n-1})(a-1)}{a-1}\]

    Vi sætter \(y\) ned foran brøken og ganger parenteserne ud i brøkes tæller:

    \[A_n=y\frac {a+a^2+\cdots +a^n-1-a-a^2-\cdots -a^{n-1}}{a-1}\]

    Vi reducerer:

    \[A_n=y\frac {a^n-1}{a-1}\]

    Vi husker at \(a=1+r\):

    \begin{align*} A_n & =y\frac {(1+r)^n-1}{1+r-1}\\ & =y\frac {(1+r)^n-1}{r} \end{align*}

Fremtidsværdien af en annuitet (A-niveau-version)

Vi skal nu se et lidt sværere bevis. Normalt vil man fortrække at lave et simpelt bevis frem for et svært. Hvorfor gøre noget sværere end det behøver at være? Det spørgsmål vil jeg svare på efter jeg har lavet det ”svære bevis”, som består af to dele. Først starter vi med en definition:

  • Definition 8.8.1
    En geometrisk række er et udtryk på formen

    \[a+ar+ar^2+ar^3\cdots \]

    hvor \(a\) og \(r\) er reelle tal.

Så en geometrisk række er altså en uendelig sum af tal. I vores tilfælde er vi dog kun interesseret en del af denne sum. Mere specifik har vi brug for summen af de \(n\) første led:

  • Sætning 8.8.1
    Summen \(s_n=a+ar+ar^2+\cdots + ar^{n-1}\) af de \(n\) første led i en geometrisk række kan beregnes ved:

    \[s_n=a\frac {1-r^n}{1-r}\]

  • Bevis 
    Vi starter med summen

    \[s_n=a+ar+ar^2+\cdots + ar^{n-1}\]

    Nu ganger vi med \(r\) på begge sider

    \[r\cdot s_n= r(a+ar+ar^2+\cdots + ar^{n-1})\]

    og ganger parentesen ud:

    \[r\cdot s_n= ar+ar^2+ar^3+\cdots + ar^n\]

    Vi har nu et udtryk for \(s_n\) og et udtryk for \(r\cdot s_n\). Vi trækker \(r\cdot s_n\) fra \(s_n\)

    \[s_n - r\cdot s_n= a+ar+ar^2+\cdots + ar^{n-1} - (ar+ar^2+ar^3+\cdots +ar^n)\]

    Vi hæver nu parentesen:

    \[s_n - r\cdot s_n= a+ar+ar^2+\cdots + ar^{n-1} - ar-ar^2-ar^3-\cdots - ar^n\]

    Vi ser at de fleste led går ud på højresiden. Tilbage har vi:

    \[s_n - r\cdot s_n= a - ar^n\]

    Vi faktoriserer nu med \(s_n\) på venstresiden og med \(a\) på højresiden:

    \[s_n(1-r)= a(1-r^n)\]

    og dividerer med \(1-r\) på begge sider:

    \[s_n=a\frac {1-r^n}{1-r}\]

Vi kan nu bevise formlen for fremtidsværdien:

  • Sætning 8.2.1
    Fremtidsværdien \(A_n\) af en annuitet bestående af \(n\) ydelser \(y\) ved en rente på \(r\), er givet ved:

    \[A_n=y\cdot \frac {(1+r)^n-1}{r}\]

  • Bevis 
    Fremtidsværdien \(A_n\) betyder summen af alle ydelserne skrevet frem til det tidspunkt, hvor det sidste ydelse ligger. Dvs:

    \[A_n=y+y(1+r)+y(1+r)^2+\cdots + y(1+r)^{n-1}\]

    Vi ser at \(A_n\) er en geometrisk række. I følge sætning 8.8.1 kan \(A_n\) derfor skrives som

    \[A_n=y\frac {1-(1+r)^n}{1-(1+r)}\]

    Vi reducerer

    \[A_n=y\frac {1-(1+r)^n}{-r}\]

    Vi forlænger nu brøken med \(-1\).

    \begin{align*} A_n & = y\frac {-1(1-(1+r)^n)}{-1(-r)} \\ & = y\frac {-1+(1+r)^n}{r} \\ & = y\frac {(1+r)^n-1}{r} \end{align*}

Så hvorfor dette bevis? Fordi vi står med et stærkere resultat. Vi har selvfølgelig bevist fremskrivningsformlen, men vi har også fået introduceret geometriske rækker og vist en generel sætning, som kan bruge i andre sammenhænge også. Og så meget sværere var det heller ikke, vel?

Nutidsværdi af en annuitet

I det følgende bevis får vi brug noget ekstra forståelse i forhold til kapitalfremskrivning. Lad os sige, at vi skal tilbageskrive en kapital med \(5\) terminer. Hvis vi har lyst, så kan vi i stedet fremskrive kapitalen med \(10\) terminer efterfulgt at en tilbageskrivning på \(15\) terminer. Det vil give det samme. Man kan nemlig tænke på frem og tilbageskrivninger som at de flytter kapitalen frem og tilbage på tidslinjen. Hvis vi først går \(10\) terminer frem og så \(15\) terminer tilbage svarer det selvfølgelig til at gå \(5\) terminer tilbage alt i alt.

  • Sætning 8.3.1
    For et annuitetslån kan nutidsværdien \(A_0\) bestemmes ved:

    \[A_0=y\cdot \frac {1-(1+r)^{-n}}{r}\]

  • Bevis 
    Nutidsværdien \(A_0\) er defineret som summen af alle ydelserne skrevet tilbage til terminen før den første termin. Vi vil lave den tilbageskrivning på en snedig måde. Først skriver vi alle ydelserne frem til sidste termin. Det giver os \(A_n\) som vi allerede har en formel for. Fordi alle ydelserne nu ligger samlet på sidste termin, kan vi finde \(A_0\) ved skrive dem tilbage med tilbageskrivningsformlen \(K_0=K_n(1+r)^{-n}\). Altså:

    \[A_0=A_n\cdot (1+r)^{-n}\]

    Vi indsætter formlen for \(A_n\)

    \[A_0=y\frac {(1+r)^n-1}{r} \cdot (1+r)^{-n}\]

    Vi ganger \((1+r)^{-n}\) op i tælleren

    \[A_0=y\frac {((1+r)^n-1)\cdot (1+r)^{-n}}{r}\]

    og ganger parentesen i tælleren ud

    \[A_0=y\frac {(1+r)^n\cdot (1+r)^{-n}-(1+r)^{-n}}{r}\]

    Vi har \((1+r)^n\cdot (1+r)^{-n}=(1+r)^{n-n}=(1+r)^0=1\), så

    \[A_0=y\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}\]

    hvilket var det vi skulle vise.

Gennemsnitlig og effektiv rente
  • Sætning 8.6.2
    Antag at en kapital bliver tilskrevet rentefødderne \(r_1,r_2,r_3,\ldots , r_n\). Den gennemsnitlige rentefod \(r_g\) er så givet ved:

    \[r_g=\sqrt [n]{(1+r_1)\cdot (1+r_2)\cdot \cdots \cdot (1+r_n)}-1.\]

  • Bevis 
    Antag vi har en kapital \(K\) der bliver tilskrevet rentefødderne \(r_1,r_2,r_3,\ldots , r_n\). Vi leder nu efter en rentefod som tilskrevet \(n\) gange til \(K\) giver samme resultat:

    \[K\cdot (1+r_1)\cdot (1+r_2)\cdot \cdots \cdot (1+r_n)=K\cdot (1+r_g)^n\]

    Vi dividerer med \(K\) på begge sider:

    \[(1+r_1)\cdot (1+r_2)\cdot \cdots \cdot (1+r_n)=(1+r_g)^n\]

    Vi tager den \(n\)’te rod på begge sider:

    \[\sqrt [n]{(1+r_1)\cdot (1+r_2)\cdot \cdots \cdot (1+r_n)}=1+r_g\]

    Vi trækker 1 fra på begge sider:

    \[\sqrt [n]{(1+r_1)\cdot (1+r_2)\cdot \cdots \cdot (1+r_n)}-1=r_g\]

    og vi har vist sætningen.

Øvelse 8.8.4

Betragt sætningen:

  • Sætning 8.6.1
    Vi finder den årlige effektive rente \(i\) (som decimaltal) ud fra rentefoden \(r\) ved:

    \[i=(1+r)^n-1,\]

    hvor \(n\) er antallet af terminer på et år.

  • a) Bevis sætningen. Du kan lade dig inspirere af beviset for gennemsnitlig rente.

Løsning 8.8.4

  • a) Vis det til mig.