MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

12.7 Ekstra statistik

I dette afsnit skal vi først se på en smart måde at opskrive summer på, derefter skal vi se på beregning af gennemsnit og varians uden først at sortere observationssættet. Til sidst skal vi se et argument for hvorfor standardafvigelse er et godt spredningsmål.

Summationstegn

Når vi arbejder med statistik har vi ofte behov for at opskrive lange summer. Det kan gøres på en mere effektiv måde end det jeg har gjort igennem kapitlet. Lad os springe direkte ud i et eksempel:

\[\sum _{i=1}^{3} 4\cdot i\]

Tegnet \(\sum \) kaldes et summationstegn skrivemåden betyder at vi skal regne det der står efter tegnet, dvs. \(4\cdot i\), for \(i=1\) op til \(i=3\) og så lægge det hele sammen. Altså

\[\sum _{i=1}^{3} 4\cdot i=4\cdot 1 + 4\cdot 2 + 4\cdot 3= 24\]

  • Eksempel 12.7.1
    Vi vil regne summen \(\sum _{i=1}^{4} (i^2-3)\):

    \begin{align*} \sum _{i=1}^{4} \big (i^2-3\big ) = & (1^2-3)+(2^2-3)+(3^2-3)+(4^2-3)\\ = & -2+1+6+13\\ = & 18 \end{align*}

Øvelse 12.7.1

Regn følgende summer:

  • a) \(\sum _{i=1}^{5} i\)

  • b) \(\sum _{i=4}^{6} i^2-i\)

Løsning 12.7.1

  • a) \(\sum _{i=1}^{5} i=1+2+3+4+5=15\)

  • b) \(\sum _{i=4}^{6} (i^2-i)=4^2-4+5^2-5+6^2-6=62\)

Øvelse 12.7.2

Opskriv følgende summer med summationstegn

  • a) \(3+6+9+12+15\)

  • b) \(2+4+8+16+32+64\) (måske lidt svær)

Løsning 12.7.2

  • a) \(\sum _{i=1}^{5}(3\cdot i)\)

  • b) \(\sum _{i=1}^{6} 2^i\)

  • Eksempel 12.7.2
    Har vi tre tal \(x_1\), \(x_2\) og \(x_3\), så er:

    \[\sum _{i=1}^{3}x_i=x_1+x_2+x_3\]

    Har vi \(n\) forskellige tal \(x_1, x_2,\ldots , x_n\), så er:

    \[\sum _{i=1}^{n} x_i=x_1+x_2+x_3+\cdots + x_n\]

Vi ser af eksemplet at vi kan opskrive lange summer på kort form og samtidig slippe af med ”\(+\cdots +\)”, som jo er en lidt upræcis skrivemåde, da det kan være uklart hvad de tre prikker står for.

Øvelse 12.7.3

Lad der være givet to lister med tal \(x_1, x_2,\ldots , x_k\) og \(h_1, h_2,\ldots , h_k\) og betragt summen:

\[\sum _{i=1}^{k} (x_i\cdot h_i)\]

  • a) Opskriv summen (som i ovenstående eksempel).

Løsning 12.7.3

  • a)

    \[\sum _{i=1}^{k} (x_k\cdot h_k)=x_1 \cdot h_1 + x_2 \cdot h_2 + \cdots + x_k \cdot h_k\]

  • Eksempel 12.7.3
    Gennemsnittet \(\overline {x}\) kan bestemmes ved følgende formel:

    \[\overline {x}=x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2+\cdots +x_k\cdot f_k,\]

    hvor \(x_1,x_2,\ldots ,x_k\) er de forskellige observationer og \(f_1,f_2,\ldots ,f_k\) er de tilhørende frekvenser. Vi kan skrive formlen på en smartere måde:

    \[\overline {x}=\sum _{i=1}^{k} (x_i\cdot f_i)\]

Øvelse 12.7.4

Variansen \(\sigma ^2\) kan bestemmes ved følgende formel:

\[\sigma ^2=(x_1-\overline {x})^2\cdot f_1+(x_2-\overline {x})^2\cdot f_2+\cdots +(x_k-\overline {x})^2\cdot f_k\]

hvor \(\overline {x}\) er gennemsnittet \(x_1,x_2,\ldots ,x_k\) er de forskellige observationer og \(f_1,f_2,\ldots ,f_k\) er de tilhørende frekvenser.

  • a) Opskriv formlen for varians med summationstegn.

Løsning 12.7.4

  • a) \(\sigma ^2=\sum _{i=1}^{k} \left ((x_i-\overline {x})^2 \cdot f_i\right )\)

Gennemsnit og varians direkte fra observationssæt

I kapitlet har vi konsekvent bestemt deskriptorer ud fra frekvenstabellen. Men nogle af deskriptorerne kan beskrives mere grundlæggende direkte ud fra observationssættet. Lad os først se på gennemsnittet Det er defineret ved:

  • Definition 12.7.1
    Lad \(x_1,x_2,\ldots , x_n\) være et observationssæt. Da er gennemsnittet givet ved:

    \[\overline {x}=\frac {\sum _{i=1}^{n}x_i}{n}\]

I definitionen betegner \(n\) det samlede antal af observationer. Optræder den samme observation flere gange i observationssættet, optræder den altså også flere gange i summen. Så bruger man denne definition får man altså en længere sum end hvis regner gennemsnittet ud fra frekvenstabellen. Men definitionen er den grundlæggende definition (dvs. summen af observationerne delt med antallet af observationer). Definitionen skrives af typografiske årsager også som

\[\overline {x}=\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}x_i\]

Den grundlæggende definition af varians lyder:

  • Definition 12.7.2
    Lad \(x_1,x_2,\ldots , x_n\) være et observationssæt med gennemsnit \(\overline {x}\). Da er variansen \(\sigma ^2\) givet ved:

    \[\sigma ^2=\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_i-\overline {x})^2}{n}\]

Fra formlen ses hvad variansen udtrykker. Udtrykket \(x_i-\overline {x}\) viser afvigelsen med den \(i\)’te observation og gennemsnittet (regnet med fortegn). Det sættes i anden og vi får det som hedder den kvadratiske afvigelse fra gennemsnittet (og fortegnet mister sin betydning). Det samme gøres for alle observationerne, summen findes og der divideres med \(n\). Vi får dermed den den gennemsnitlige kvadratiske afvigelse fra gennemsnittet.. Definitionen skrives af typografiske årsager også som

\[\sigma ^2=\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}(x_i-\overline {x})^2\]

Det er dog ikke helt den formel som står i formelsamlingen. Der står

\[\sigma ^2=\frac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}(x_i-\overline {x})^2\]

Formlen fra formelsamlingen udtrykker noget lidt andet end min formel. Formlen bruges til at estimere (anslå) variansen for en population (dvs. en stor gruppe) på baggrund af en stikprøve. Vi vil vende tilbage til den problemstilling når vi skal lære om konfidensintervaller i et senere kapitel.

  • Eksempel 12.7.4
    Vi vil bestemme gennemsnittet for observationssættet \(7,0,4,7\):

    \begin{align*} \overline {x} & =\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}x_i\\ & = \frac {1}{4}(7+0+4+7)\\ & = \frac {1}{4}\cdot 18\\ & =4{,}5 \end{align*}

Øvelse 12.7.5

Betragt observationssættet \(7,0,4,7\)

  • a) Bestem vha. definition 12.7.2 variansen for observationssættet.

  • b) Bestem standardafvigelsen.

Løsning 12.7.5

  • a) \(\sigma ^2=8{,}25\)

  • b) \(\sigma =2{,}87\)

Mere om standardafvigelse

Så variansen er den gennemsnitlige kvadratiske afvigelse (dvs. afvigelserne er sat i anden) fra gennemsnittet. Standardafvigelsen er kvadratroden af variansen. Som vist her:

\[\sigma =\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_i-\overline {x})^2}{n}}\]

Man kunne godt tro at kvadratroden ville ophæve kvadraterne og man så ville få den gennemsnitlige afvigelse fra gennemsnittet. Det vil dog ikke ske. Alligevel tænker vi lidt på standardafvigelsen som om den er den gennemsnitlige afvigelse fra gennemsnittet. Den gennemsnitlige afvigelse fra gennemsnittet har dog sit eget navn, \(\text {MAD}\), og kan regnes ved

\[\text {MAD}=\frac {\sum _{i=1}^{n}|x_i-\overline {x}|}{n}\]

Vi husker at de to streger betyder numerisk værdi. Altså at man skal ændre fortegnet til plus, hvis det er minus.

Øvelse 12.7.6

Betragt observationssættet \(7,0,4,7\)

  • a) Regn \(\text {MAD}\).

  • b) Sammenlign \(\text {MAD}\) med standardafvigelsen som du fandt i øvelse 12.7.5.

Løsning 12.7.6

  • a) \(\text {MAD}=2{,}5\)

  • b) \(\sigma =2{,}87\) og \(\text {MAD}=2{,}5\). Standardafvigelsen er altså lidt højere.

I ovenstående øvelse så vi at standardafvigelsen var lidt højere end den gennemsnitlige afvigelse fra gennemsnittet (\(\text {MAD}\)). Dette gælder også generelt. Man kan undre sig over hvorfor man ikke bare bruger \(\text {MAD}\), når den nu er nemmere at fortolke. Det er der flere dybtliggende grunde til. Men det vil være for meget at komme ind på dem her. Tænk på det som tradition. Ahh okay I får et enkelt argument:

Argument for standardafvigelse over \(\text {MAD}\) (Svært)

Lad os lege at vi synes at standardafvigelsen er skrald, og hellere vil bruge \(\text {MAD}\) som spredningsmål. Nu mangler vi så bare at finde et godt centralmål som passer med \(\text {MAD}\). Lad os tage udgangspunkt i et eksempel, hvor vi ser på observationssættet \(1,1,10\). Gennemsnittet er \(3\) så vi får:

\begin{align*} \text {MAD} & =\frac {\sum _{i=1}^{n}|x_i-\overline {x}|}{n}\\ & = \frac {|1-3|+|1-3|+|10-3|}{3}\\ & = 3{,}7 \end{align*} Altså den gennemsnitlige afvigelse fra gennemsnittet \(\text {MAD}\), er \(3{,}7\). Lad os prøve noget sjovt. Vi bytter gennemsnittet \(\overline {x}\) ud med medianen \(m\) i formlen for \(\text {MAD}\). Resultatet kalder vi \(\text {MAD}_m\):

\[\text {MAD}_m=\frac {\sum _{i=1}^{n}|x_i-m|}{n}\]

Lad os prøve at regne \(\text {MAD}_m\) for observationssættet \(1,1,10\). Medianen er \(1\), så vi får.

\begin{align*} \text {MAD}_m & =\frac {\sum _{i=1}^{n}|x_i-m|}{n}\\ & = \frac {|1-1|+|1-1|+|10-1|}{3}\\ & = 3. \end{align*} Vi ser at \(\text {MAD}_m\) er mindre end \(\text {MAD}\). Det er ikke noget tilfælde og det gælder generelt, at \(\text {MAD}_m \leq \text {MAD}\). Men hvis \(\text {MAD}_m \leq \text {MAD}\), må det være fordi observationerne som helhed ligger tættere på medianen end gennemsnittet. Dvs. medianen ligger mere i midten end gennemsnittet. Så hvis man mener at \(\text {MAD}\) er det ”bedste” spredningsmål er man lidt nødt til at acceptere medianen som det ”bedste” centralmål. Generelt fortrækker vi dog gennemsnittet som centralmål, så måske skulle man prøve at finde et andet spredningsmål, som passer bedre til det. Her viser det sig at variansen er det simpleste naturlige centralmål, som gør gennemsnittet til midten af observationerne. Variansen i sig selv, er dog lidt svær at forholde sig til fordi den er regnet ud fra afvigelser i anden. Ved at tage kvadratroden får vi et resultat som ligger mellem mindsteværdien og størsteværdien, og som vi (noget løst) kan fortolke som den typiske afvigelse fra gennemsnittet.