MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

12.2 Deskriptorer for ugrupperede observationer

En deskriptor er det tal som indeholder information om observationssættet. Du kender sikkert gennemsnit, median og typetal fra folkeskolen. Det er alle sammen eksempler på deskriptorer.

Vi vil nu bestemme deskriptorer for eksemplet med tid brugt på sport blandt de 5 unge. Vi vil tage udgangspunkt i frekvenstabellen fra sidste afsnit

\(\begin {array}{|c|c|c|c|} \hline \text {Observation } (x_i) & \text {Hyppighed } (h_i) & \text {Frekvens } (f_i) & \text {Summeret frekvens } (F_i)\\ \hline 1 & 2 & 0{,}2 & 0{,}2\\ \hline 2 & 2 & 0{,}2 & 0{,}4\\ \hline 4 & 3& 0{,}3 & 0{,}7\\ \hline 5 & 2& 0{,}2 & 0{,}9\\ \hline 9 & 1 & 0{,}1 & 1\\ \hline \end {array}\)

Typetal

Typetallet er den observation som optræder flest gange. Her er det observationen \(4\), som har hyppigheden \(3\). Er der to eller flere observationer som deler den højeste hyppighed, er der bare flere typetal.

Største og mindsteværdi

Størsteværdien (max) er den største observation og mindsteværdien (min) er den mindste observation. Vi har

\begin{align*} \text {min}&=1\\ \text {max}&=9 \end{align*}

Variationsbredde

Variationsbredden er afstanden fra mindste til størsteværdi. Vi har altså

\[\text {max}-\text {min}=9-1=8\]

Variationsbredden er altså \(8\).

Der der dyrker mest sport, dyrker altså sport i \(8\) timere længere end den som dyrker mindst sport.

Fraktiler (\(x_p\))

Vi mødte fraktilerne i sidste afsnit, hvor vi aflæste dem på trappediagrammet. Mere præcist er \(p\)-fraktilen defineret som den mindste observation som har en summeret frekvens på mindst \(p\).

Eksempel: Vil vi bestemme \(x_{0{,}8}\) skal vi altså finde den mindste observation, som har en summeret frekvens på mindst \(0{,}8\). Vi kunne aflæse den på trappediagrammet, men det gider vi ikke at tegne, så vi kigger bare i frekvenstabellen og ser at den første observation som har en summeret frekvens på over \(0{,}8\) er \(5\). Så \(x_{0{,}8}=5\) .

Alt \(x_{0{,}8}=5\) betyder at mindst \(80\%\) af de unge dyrkede sport højst 5 timer om ugen.

Kvartilsæt og median

Vi definerer kvartilerne og medianen som nogle særlige fraktiler1:

  • Fraktilen \(x_{0{,}25}\), kaldes også nedre kvartil og betegnes med \(Q_1\).

  • Fraktilen \(x_{0{,}50}\), kaldes også medianen og betegnes med \(m\).

  • Fraktilen \(x_{0{,}75}\), kaldes også øvre kvartil og betegnes med \(Q_3\).

Her er kvartilerne illustreret på trappediagrammet:

(-tikz- diagram)

De tre kvartiler tilsammen kaldes kvartilsættet og opskrives som \((Q_1,m,Q_3\))

Vi aflæser medianen til at være \(4\) og kvartilsættet til at være \((2,4,5)\). Det betyder:

  • Mindst \(25\%\) af de unge dyrkede sport i højst \(2\) timer om ugen.

  • Mindst halvdel af de unge dyrkede sport i højst \(4\) timer om ugen.

  • Mindst \(75\%\) af de unge dyrkede sport i højst \(5\) timer om ugen.

Ofte vil man tillade en mere simpel omend lidt upræcis fortolkning og skrive:

  • En ud af fire af de unge dyrkede sport under \(2\) timer om ugen.

  • Halvdelen af de unge dyrkede sport under/over \(4\) timer om ugen.

  • En ud af fire af de unge dyrkede sport over \(5\) timer om ugen

Kvartilsættet \((Q_1,m,Q_3)\) kan illustreres sammen med mindsteværdien, \(\text {min}\), og størsteværdien, \(\text {max}\), i et boksplot:

(-tikz- diagram)

For vores observationer vil det se således ud:

(-tikz- diagram)

Kvartilsættet hedder kvartilsættet fordi det deler observationerne i kvarte og det bliver tydeligt, når man betragter boksplottet. De første \(25\%\) af observationerne ligger mellem \(1\) og \(2\), de næste \(25\%\) ligger mellem \(2\) og \(4\), osv.

1 Nogle lærebøger definerer kvartiler/median lidt anderledes, og måske har du lært en anden metode i folkeskolen. Men det betyder dog ikke, at kvartilerne pludselig får en helt anden betydning. De betyder stadig nogenlunde det samme og med store datasæt gør det ikke rigtigt nogen forskel.

Kvartilafstand

Kvartilafstanden er afstanden mellem nedre og øvre kvartil, dvs. \(Q_3-Q_1\). Vi regner kvartilafstanden til at være:

\[5-2=3\]

Kvartilafstanden er altså \(3\), hvilket viser spændet i tidsforbrug blandt de midterste \(50\%\), dvs. bredden af boksen i boksplottet. Den kan opfattes om et udtryk for den typiske forskel i tid brugt på sport blandt de 10 unge.

Gennemsnit

Gennemsnittet er pr. definition summen af observationerne delt med antallet af observationer. Præcis som I har lært i folkeskolen. Vi betegner gennemsnittet med \(\overline {x}\). Gennemsnittet kan også regnes ud fra frekvenstabellen vha. sætningen:

  • Sætning 12.2.1
    Gennemsnittet \(\overline {x}\) kan bestemmes ved følgende formel:

    \[\overline {x}=x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2+\cdots +x_k\cdot f_k,\]

    hvor \(x_1,x_2,\ldots ,x_k\) er de forskellige observationer og \(f_1,f_2,\ldots ,f_k\) er de tilhørende frekvenser.

Vha. formlen regner vi gennemsnittet for vores observationssæt:

\begin{align*} \overline {x} & = x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2+\cdots +x_k\cdot f_k\\ & = 1\cdot 0{,}2+2\cdot 0{,}2+4\cdot 0{,}3+5\cdot 0{,}2+9\cdot 0{,}1\\ & = 3{,}7 \end{align*}

Varians

Variansen er en deskriptor som fortæller noget om hvor spredte observationerne er. Vi vil ikke gå i detaljer med hvordan den skal fortolkes, fordi vi primært vil bruge den som mellemregning til at finde standardafvigelsen, som er beskrevet som næste deskriptor. Variansen betegnes \(\sigma ^2\) (bogstavet er græsk og udtales ”sigma”) og kan beregnes vha. sætningen:

  • Sætning 12.2.2
    Variansen \(\sigma ^2\) kan bestemmes ved følgende formel:

    \[\sigma ^2=(x_1-\overline {x})^2\cdot f_1+(x_2-\overline {x})^2\cdot f_2+\cdots +(x_k-\overline {x})^2\cdot f_k\]

    hvor \(\overline {x}\) er gennemsnittet \(x_1,x_2,\ldots ,x_k\) er de forskellige observationer og \(f_1,f_2,\ldots ,f_k\) er de tilhørende frekvenser.

Vi regner variansen for vores observationssæt.

\begin{align*} \sigma ^2 = & (x_1-\overline {x})^2\cdot f_1+(x_2-\overline {x})^2\cdot f_2+(x_3-\overline {x})^2\cdot f_3\\ & +(x_4-\overline {x})^2\cdot f_4 +(x_5-\overline {x})^2\cdot f_5\\ = &(1-3{,}7)^2\cdot 0{,}2+(2-3{,}7)^2\cdot 0{,}2 + (4-3{,}7)^2\cdot 0{,}3 \\ & + (5-3{,}7)^2\cdot 0{,}2 +(9-3{,}7)^2\cdot 0{,}1 \end{align*}

Standardafvigelse

Standardafvigelsen (kaldes også spredningen) er en deskriptor, som kun få elever kan finde ud af at udtale rigtigt.

Øvelse 12.2.1

Læs navnet på ”standardafvigelse” igen. Står der:

  • a) standardafgivelse?

  • b) standardafvigelse?

Løsning 12.2.1

  • a) Nej

  • b) Ja. Hvorfor siger du det så forkert?

Standardafvigelsen er (løst fortolket) et mål for hvor meget observationerne typisk afviger fra gennemsnittet. Den kan regnes ved formlen:

\[\sigma =\sqrt {\sigma ^2}=\sqrt {5{,21}}=2{,}28\]

Den gennemsnitlige tid brugt på sport er altså \(4\) men en typisk elev bruger \(2\) timer mere eller mindre end dette.

Standardafvigelsen er både meget vigtig og til stor forvirring for mange elever. Er man skrap, kan man læse mere om den i afsnit 12.7. Ellers må man vente til kapitlet om normalfordeling (kapitel 15), hvor den bliver lidt mere håndgribelig.

Øvelse 12.2.2

Betragt observationssættet \(7,0,4,7\)

  • a) Lav en frekvenstabel (hvis du ikke har gemt den fra sidste afsnit)

  • b) Bestem typetallet

  • c) Bestem største og mindsteværdi

  • d) Bestem variationsbredden

  • e) Bestem \(0{,}2\)-fraktilen

  • f) Bestem kvartilsættet

  • g) Bestem medianen

  • h) Bestem kvartilafstanden

  • i) Bestem gennemsnittet

  • j) Bestem variansen

  • k) Bestem standardafvigelsen

Løsning 12.2.2

  • a)
    \(\begin {array}{|c|c|c|c|} \hline \text {Observation } (x_i) & \text {Hyppighed } (h_i) & \text {Frekvens } (f_i) & \text {Summeret frekvens } (F_i)\\ \hline 0 & 1 & 0{,}25 & 0{,}25\\ \hline 4 & 1 & 0{,}25 & 0{,}50\\ \hline 7 & 2& 0{,}5 & 1\\ \hline \end {array}\)

  • b) \(7\)

  • c) \(\text {min}=0\) og \(\text {max}=7\)

  • d) \(7\)

  • e) \(0\)

  • f) \((0,4,7)\)

  • g) \(4\)

  • h) \(7\)

  • i) \(4{,}5\)

  • j) \(8{,}25\)

  • k) \(2{,}87\)

Centralmål og spredningsmål

Når vi laver statistik er vi især interesseret i:

  • 1. At få et overblik over hvordan observationerne fordeler sig.

  • 2. At bestemme den typiske observation.

  • 3. At bestemme hvor spredte observationerne er.

Det første punkt klares med diagrammerne. For ugrupperede observationer vil vi som regel lave et pindediagram. De to næste punkter klare vi med deskriptorer. En deskriptor som viser den typiske observation kaldes et centralmål, fordi den viser hvor midten, dvs. den centrale observation, ligger. Et centralmål kaldes også et positionsmål. En deskriptor som viser hvor spredt observationerne er kaldes et spredningsmål. Vi har:

Centralmål:

Gennemsnit, median, typetal

Spredningsmål:

Variationsbredde, kvartilafstand, varians, standardafvigelse.

Når vi skal beskrive et observationssæt vil vi typisk vælge et diagram, et centralmål og et spredningsmål. I mange tilfælde vil et godt valg være et pindediagram, gennemsnittet og standardafvigelsen. Vi vil som regel ikke vælge variansen da standardafvigelsen har de samme fordele som variansen, men giver et klarere billede af den typiske spredning. Hvilke deskriptorer man vælger afhænger af situationen. F.eks. er gennemsnittet et dårligt centralmål til at beskrive den typiske indkomst for en dansker. Det skyldes at der er nogle få meget rige mennesker som hiver gennemsnittet langt op, så her er medianen et bedre valg. Hvis man derimod skal bage en kage med to kilo æbler er det bedst at tage udgangspunkt i gennemsnitsvægten af æblesorten, når man skal finde ud af hvor mange æbler man skal købe.