Ligesom vi startede kapitlet om lineære funktioner med at definere lineære funktioner, vil vi starte dette kapitel med at definere polynomier. Det betyder altså, at vi vil fortælle, hvad vi helt præcist forstår ved et ”polynomium”:
Definition 4.1.1 Et polynomium er en funktion, der har en form som en af funktionerne i skemaet:
.
Forskrift
Type
\(f(x)=a\)
Nultegradspolynomium
\(f(x)=ax+b\)
Førstegradspolynomium
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
Andengradspolynomium
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)
Tredjegradspolynomium
\(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)
Fjerdegradspolynomium
⋮
⋮
Tallene \(a,b,c\ldots \) kaldes polynomiets koefficienter. Koefficienten \(a\) må ikke være nul. Skemaet kan fortsættes, så der findes polynomier af alle grader.
Eksempel 4.1.1 Her er nogle eksempler på polynomier:
.
\(f(x)=2x^2-3x+4\)
er et andengradspolynomium
\(f(x)=4\)
er et nultegradspolynomium
\(f(x)=x^8\)
er et ottendegradspolynomium
\(f(x)=-x+2\)
er et førstegradspolynomium
Øvelse 4.1.1
Hvilke af disse funktioner er polynomier?
a) \(f(x)=3x^2+2x+1\)
b) \(f(x)=\sqrt {x}\)
c) \(f(x)=2x+1\)
d) \(f(x)=\frac {1}{x}\)
e) \(f(x)=x^2\)
f) \(f(x)=-5\)
g) \(f(x)=5x^5-2x^4-3x^3+2x^2-4x+1\)
h) \(f(x)=-x^{250}\)
i) \(f(x)=x^{3{,}5}-2x\)
j) \(f(x)=\frac {2}{3} x^2-3{,}5\)
k) \(f(x)=\pi \)
Løsning 4.1.1
a) Er et polynomium
b) Er et ikke et polynomium
c) Er et polynomium
d) Er et ikke et polynomium
e) Er et polynomium
f) Er et polynomium
g) Er et polynomium
h) Er et polynomium
i) Er et ikke et polynomium (da eksponenterne skal være hele tal)
j) Er et polynomium
k) Er et polynomium
Øvelse 4.1.2
Bestem koefficienterne \(a\) og \(b\) for følgende førstegradspolynomier:
a) \(f(x)=2x+1\)
b) \(f(x)=x+1\)
c) \(f(x)=-2x+2\)
d) \(f(x)=-x\)
Løsning 4.1.2
a) \(a=2\) og \(b=1\)
b) \(a=1\) og \(b=1\)
c) \(a=-2\) og \(b=2\)
d) \(a=-1\) og \(b=0\)
Øvelse 4.1.3
Bestem koefficienterne \(a\), \(b\) og \(c\) for følgende andengradspolynomier:
a) \(f(x)=3x^2+2x+1\)
b) \(f(x)=x^2-2x+3\)
c) \(f(x)=-2x^2+1\)
d) \(f(x)=x^2\)
e) \(f(x)=39x^2-x\)
f) \(f(x)=-x^2+1{,}3\)
Løsning 4.1.3
a) \(a=3\), \(b=2\), \(c=1\)
b) \(a=1\), \(b=-2\), \(c=3\)
c) \(a=-2\), \(b=0\), \(c=1\)
d) \(a=1\), \(b=0\), \(c=0\)
e) \(a=39\), \(b=-1\), \(c=0\)
f) \(a=-1\), \(b=0\), \(c=1{,}3\)
Eksempel 4.1.2 Vi vil bestemme graden af polynomiet \(f(x)=2x^7-4x^2+1\). Vi ser at den højeste eksponent er \(7\) (eksponenterne er de tal som \(x\)’erne er opløftet i). Det er derfor et
syvendegradspolynomium, og polymiets grad er dermed \(7\).
Øvelse 4.1.4
Bestem graden af følgende polynomier:
a) \(f(x)=2x^3+x-1\)
b) \(f(x)=x\)
c) \(f(x)=7x^8-x^6-x^3\)
d) \(f(x)=4\)
Løsning 4.1.4
a) \(3\)
b) \(1\)
c) \(8\)
d) \(0\)
Øvelse 4.1.5
Lineære funktioner er også en slags polynomier.
a) Hvilken slags? Tænk dig godt om.
Løsning 4.1.5
a) En lineære funktion er enten et nultegradspolynomium eller et førstegradspolynomium.
Øvelse 4.1.6
Bestem \(f(0)\) og \(f(-2)\) for følgende polynomier:
a) \(f(x)=3x-1\)
b) \(f(x)=2{,}7\)
c) \(f(x)=3x^2-5x+1\)
Løsning 4.1.6
a) \(f(0)=-1\) og \(f(-2)=-7\)
b) \(f(0)=2{,}7\) og \(f(-2)=2{,}7\)
c) \(f(0)=1\) og \(f(-2)=23\)
Polynomiers graf
Grafen for et polynomium kan se ud på mange måder alt afhængigt af graden.
Grad: 0
Grad: 1
Grad: 2
Grad: 3
Grad: 4
Grad: 5
Figur 4.1: Polynomier af forskellig grad
Vi så i øvelse 4.1.5 at polynomier af grad \(0\) og \(1\) er lineære funktioner, så det er ingen overraskelse, at graferne for disse er linjer. Når vi går op i
grader, ser vi, at der kommer flere nulpunkter og flere ekstrema. Man kan vise, at et polynomium af grad \(n\) højst har \(n\) nulpunkter og højst \(n-1\) ekstrema.
Eksempel 4.1.3 Her er er grafen for fjerdegradspolynomiet \(f(x)=x^4+2x^3-x^2-2x\):
Vi ser, at der det maksimale antal nulpunkter og ekstrema, nemlig \(4\) nulpunkter og \(3\) ekstrema.
Her er er grafen for fjerdegradspolynomiet \(g(x)=x^4+1\):
Vi ser at \(f\) har \(1\) ekstremum og ingen nulpunkter.
Som eksemplet viser, så siger graden kun noget om, hvor mange nulpunkter og ekstrema der højst kan være. Ikke hvor mange der er. Dog kan man vise, at alle polynomier af ulige grad altid har mindst et nulpunkt.
Øvelse 4.1.7
Antag, at vi har et syvendegradspolynomium
a) Hvad kan man sige om antallet af nulpunkter?
b) Hvad kan man sige om antallet af ekstrema?
Løsning 4.1.7
a) Det har mellem \(1\) (da det er ulige grad) og \(7\) nulpunkter.
b) Det har højst \(6\) ekstrema.
Øvelse 4.1.8
Betragt grafen for funktionen \(f\):
a) Hvad kan man sige om graden af \(f\)?
Løsning 4.1.8
a) Den er mindst \(6\).
Definitions og værdimængde for polynomier
Da man kan sætte alle tal ind i forskriften for et polynomium er definitionsmængden \(\mathbb {R}\) (dvs. alle tal). Hvis graden er lige vil værdimængden afhænge af det konkrete polynomium, mens polynomier af ulige grad har
\(\mathbb {R}\) som værdimængde.
Øvelse 4.1.9
Lad \(f(x)=x^7-4x^6+3x^4-x^3+2x^2-x+1\)
a) Bestem \(\Dm (f)\) og \(\Vm (f)\).
Løsning 4.1.9
a) \(\Dm (f)=\mathbb {R}\) og \(\Vm (f)=\mathbb {R}\) (da graden er ulige)
Øvelse 4.1.10
Lad \(f(x)=-4\)
a) Bestem \(\Dm (f)\) og \(\Vm (f)\).
Løsning 4.1.10
a) \(\Dm (f)=\mathbb {R}\) og \(\Vm (f)=\{-4\}\).
Ekstra
I stedet for et skema kan vi lave en samlet definition for polynomier af forskellige grad.
Definition 4.1.2 Et \(n\)’tegradspolynomium er en funktion på formen:
I denne definition hedder koefficienterne altså ikke længere \(a,b,c\ldots \) men i stedet \(a_n,a_{n-1},a_{n-2}\). Det er mere teknisk, men smartere.
Eksempel 4.1.4 Lad \(f(x)=2x\). Så er \(n=1\) og koefficienterne er \(a_1=2\) og \(a_0=0\).
Øvelse 4.1.11
Bestem, med udgangspunkt i den nye definition, graden og koefficienterne for følgende polynomier.
a) \(f(x)=x^2-3\)
b) \(f(x)=5\)
Løsning 4.1.11
a) \(n=2\), \(a_2=1\), \(a_1=0\) og \(a_0=-3\)
b) \(n=0\) og \(a_0=5\)
Øvelse 4.1.12
Lad \(f(x)=2x^4-7x^2+3x-1\)
a) Bestem \(a_{n-1}\)
b) Bestem \(a_{n-2}\)
Løsning 4.1.12
a) \(a_{n-1}=0\)
b) \(a_{n-2}=-7\)
Der findes et særligt polynomium, som ikke er omfattet af definitionerne i dette afsnit. Dette polynomium har forskriften \(f(x)=0\) og kaldes nulpolynomiet. Man kunne godt tro, at
nulpolynomiet er et nultegradspolynomium, men nultegradspolynomiet har forskriften \(f(x)=a\), hvor \(a\neq 0\), så \(f(x)=0\), kan altså ikke være et nultegradspolynomium (da \(a=0\)). Men hvis nulpolynomiet ikke er et
nultegradspolynomium, hvilken grad har det så? Svaret er: Ikke nogen. Nulpolynomiet er det eneste polynomium, som ikke har en grad. Der findes dog nogle crazy matematikere, som giver det graden \(-\infty \).
Øvelse 4.1.13
Lad \(f(x)=0\).
a) Er \(f\) et polynomium?
b) Er \(f\) et nultegradspolynomium?
c) Hvilken grad har \(f\)?
Løsning 4.1.13
a) Ja
b) Nej
c) Ikke nogen. Medmindre man er craaaaaazy!!! ...og giver det graden \(-\infty \).
