MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

13.4 Stokastiske variable

Vi har før set på terningkast som stokastiske eksperimenter. Sandsynlighedstabellen for et terningkast ser således ud:

.
\(u\) \({\Large ⚀} \) \({\Large ⚁} \) \({\Large ⚂} \) \({\Large ⚃} \) \({\Large ⚄} \) \({\Large ⚅} \)
\(P(u)\) \(\frac {1}{6}\) \(\frac {1}{6}\) \(\frac {1}{6}\) \(\frac {1}{6}\) \(\frac {1}{6}\) \(\frac {1}{6}\)

Hvis vi betegner antallet af øjne med \(X\), så får vi en variabel, som afhænger af udfaldet af terningkastet. En sådan variabel kaldes en stokastisk variabel. Variablen \(X\) kan antage værdierne \(1,2,3,4,5,6\) med en sandsynlighed på \(\frac {1}{6}\) for hver værdi. Vi har en særlig måde at betegne sandsynligheder for en stokastisk variable. Sandsynligheden for at den stokastiske variabel giver f.eks. \(2\) betegnes med \(P(X=2)\). Vi har altså at \(P(X=2)=\frac {1}{6}\). Vi kan nu opskrive sandsynlighedstabel for \(X\):

\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |c | c |} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X=x) & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6}\\ \hline \end {array}\)

En sandsynlighedstabel for en stokastisk variabel kaldes også en sandsynlighedsfordeling. Vi skal senere se på sandsynlighedsfordelinger, som ikke kan beskrives med en tabel, men dem vil vi ikke bekymre os om nu.

Øvelse 13.4.1

Vi kaster en almindelig terning og lader \(X\) være antallet af øjne.

  • a) Bestem \(P(X=4)\).

Løsning 13.4.1

  • a) \(P(X=4)=\frac {1}{6}\)

Det kunne godt se ud som om der ikke rigtig er nogen forskel på et sandsynlighedsfelt og en stokastisk variabel. Sandsynlighedstabellen for den stokastiske variabel der betegner antallet af øjne ved et terningkast ser ud til at være den samme som sandsynlighedstabellen for udfaldsrummet ved terningkastet – bare skrevet lidt anderledes. Men der ér to afgørende forskelle.

  • 1. Stokastiske variable har altid talværdier, mens udfald kan være hvad som helst. Kaster vi en mønt er udfaldene ”plat” og ”krone” og da de to udfald ikke er tal, kan de ikke være værdier for en stokastisk variabel.

  • 2. Et stokastisk eksperiment har altid et fast udfaldsrum, men der er mange måder at tilknytte en stokastisk variabel (se nedenstående eksempel).

  • Eksempel 13.4.1
    Antag at vi kaster en terning. Definer den stokastiske variabel \(X\) til at være \(2\) gange antallet af øjne. Så får vi tabellen:

    \(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |c | c |} \hline x & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 \\ \hline P(X=x) & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6}\\ \hline \end {array}\)

Øvelse 13.4.2

Antag vi kaster en mønt. Lad \(X\) være den stokastiske variabel er \(0\) når udfaldet er ”plat” og \(1\) når udfaldet er ”krone”.

  • a) Opskriv sandsynlighedsfordelingen for den stokastiske variabel som er defineret ved værdien.

Løsning 13.4.2

  • a) \(\begin {array}{ | c | c | c |} \hline x & 0 & 1 \\ \hline P(X=x) & \frac {1}{2} & \frac {1}{2} \\ \hline \end {array}\)

Nogle vil vi kigge på stokastiske variable alene ud fra deres sandsynlighedsfordeling uden at have et bagvedliggende eksperiment.

  • Eksempel 13.4.2
    Betragt den stokastiske variable givet ved følgende sandsynlighedsfordeling:

    \(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |} \hline x & 3 & 9 & 30 \\ \hline P(X=x) & \frac {1}{3} & \frac {1}{3} & \frac {1}{3} \\ \hline \end {array}\)

    Hvilken praktisk situation beskriver tabellen? Umiddelbart ikke nogen. Men gør ikke noget. Vi behøver kun at kende sandsynlighedstabellen – så kan vi arbejde med \(X\).

Sandsynlighederne for en stokastisk variabel skal selvfølgelig give \(1\) når man lægger dem sammen.

Øvelse 13.4.3

Betragt sandsynlighedsfordeling:

\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X=x) & \frac {1}{4} & \frac {1}{2} & \text {?} & \frac {1}{8} \\ \hline \end {array}\)

  • a) Bestem den manglende sandsynlighed

Løsning 13.4.3

  • a) Den manglende sandsynlighed er \(\frac {1}{8}\)

Middelværdi, varians og standardafvigelse for stokastiske variable

Stokastiske variable har talværdier og derfor kan vi regne på dem.

  • Definition 13.4.1
    Lad \(X\) være en stokastisk variabel med sandsynlighedsfordelingen:

    \(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |} \hline x & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P(X=x) & p_1 & p_2 & \cdots &p_n \\ \hline \end {array}\)

    Vi definerer middelværdien \(E(X)\) ved

    \[E(X)= x_1\cdot p_1 + x_2\cdot p_2 +\cdots + x_n\cdot p_n.\]

    Middelværdien betegnes også med \(\mu \). Vi definerer variansen \(\Var (X)\) ud fra middelværdien \(\mu \) ved

    \[\Var (X)=(x_1-\mu )^2\cdot p_1 +(x_2-\mu )^2\cdot p_2 + \cdots (x_n-\mu )^2\cdot p_n.\]

    Variansen betegnes også med \(\sigma ^2\). Vi definerer standardafvigelsen \(SD(X)\) ud fra variansen \(\Var (X)\) ved:

    \[SD(X)=\sqrt {\Var (X)}\]

    Standardafvigelsen betegnes også med \(\sigma \).

Vi skal nu se et eksempel, hvor vi regner middelværdi, varians og standardafvigelse. Senere vil vi se på, hvilken betydning disse tal har.

  • Eksempel 13.4.3
    Vi vil regne middelværdi, varians og standardafvigelse for den stokastiske variabel givet ved følgende sandsynlighedsfordeling:

    \(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |} \hline x & 3 & 4 & 12\\ \hline P(X=x) & \frac {1}{3} & \frac {1}{2} & \frac {1}{6} \\ \hline \end {array}\)

    Vi regner først middelværdien:

    \begin{equation} \begin{split} E(X) & = x_1\cdot p_1 + x_2\cdot p_2 +\cdots + x_n\cdot p_n\\ & = 3 \cdot \frac {1}{3} + 4 \cdot \frac {1}{2} + 12\cdot \frac {1}{6}\\ & = 1+2+2\\ & = 5 \end {split} \end{equation}

    Vi konkluderer at middelværdien er \(5\). Vi husker at middelværdien også kaldes \(\mu \), så \(\mu =5\).

    Vi regner så variansen. Her skal vi bruge resultatet vi lige har regnet. Altså at \(\mu =5\).

    \begin{equation} \begin{split} \Var (X) & =(x_1-\mu )^2\cdot p_1 +(x_2-\mu )^2\cdot p_2 + \cdots (x_n-\mu )^2\cdot p_n\\ & = (3-5)^2\cdot \frac {1}{3}+(4-5)^2\cdot \frac {1}{2}+(12-5)^2\cdot \frac {1}{6}\\ & = \frac {4}{3} + \frac {1}{2} + \frac {49}{6}\\ & = \frac {8}{6}+\frac {3}{6}+\frac {49}{6}\\ & = \frac {60}{6}\\ & = 10 \end {split} \end{equation}

    Variansen er altså \(10\).

    Vi regner til sidst standardafvigelsen \(SD(X)\). Her skal vi bruge variansen vi lige har regnet. Altså at \(\Var (X)=10\).

    \begin{equation} \begin{split} SD(X) & =\sqrt {\Var (X)}\\ & =\sqrt {10}\\ & \approx 3{,}16 \end {split} \end{equation}

    Standardafvigelsen \(SD(X)\) er hermed \(3{,}16\).

Øvelse 13.4.4

Betragt den stokastiske variabel \(X\) givet ved følgende sandsynlighedsfordeling:

\(\begin {array}{ | c | c | c |} \hline x & 6 & 9\\ \hline P(X=x) & \frac {1}{3} & \frac {2}{3} \\ \hline \end {array}\)

  • a) Bestem middelværdien

  • b) Bestem variansen

  • c) Bestem standardafvigelsen

Løsning 13.4.4

  • a) \(E(X)=8\)

  • b) \(\Var (X)=2\)

  • c) \(SD(X) \approx 1{,}41\)

Øvelse 13.4.5

I denne øvelse skal du regne på en terning. Der bliver en del regneri, så jeg anbefaler at du bruger Exel. Ellers bare spring opgaven over, hvis du ikke kan finde ud af det. Vi får brug for facit senere, så tjek dem ud uanset hvad.

  • a) Bestem middelværdien

  • b) Bestem variansen

  • c) Bestem standardafvigelsen

Løsning 13.4.5

  • a) \(E(X)=3{,}5\)

  • b) \(\Var (X)\approx 2{,}92\)

  • c) \(SD(X) \approx 1{,}71\)

Lad os til slut se på betydningen af middelværdi, varians og standardafvigelse. Vi tager udgangspunkt i terningkastet I lige har regnet på.

Middelværdien for terningkastet var \(3{,}5\). Det betyder at hvis kaster terningen mange gange, så vil det gennemsnitlige antal øjne komme tæt på \(3{,}5\). Jeg har lige simuleret 100 terningkast i Excel og det gav et gennemsnit på \(3{,}48\). Det kan undrer at middelværdien ikke er \(3\) ved et terningkast, da det jo er halvdelen af \(6\), men husk på man ikke kan slå \(0\) med terningen.

Variansen bruger vi til at finde standardafvigelsen og den er er lidt svær at fortolke, så for os er den mest en mellemregning. Dog skal man vide, at variansen er stor når der er stor spredning i observationerne.

Standardafvigelsen for terningen var \(1{,}71\). Når vi slår mange gange med terningen vil vi få et gennemsnit på ca. \(3{,}5\) (middelværdien), men hvor tæt på gennemsnittet vil de enkelte terningslag ligge? Slår vi f.eks. \(1\), så er afstanden til middelværdien \(3{,}5-1=2{,}5\). Lad os lave en tabel:

\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |c | c |} \hline \text {Resultat af kast} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text {Afstand til middelværdi} & 2{,5} & 1{,5} & 0{,}5 & 0{,5} & 1{,5} & 2{,5} \\ \hline \end {array}\)

Standardafvigelsen af et mål for den typiske afstand til middelværdien. Den er altså et kompromis mellem afstandene i tabellen. Lidt som et gennemsnit. Vi kan se at vores værdi for standardafvigelsen på \(1{,}71\) ligger som et pænt kompromis mellem afstandene. Hmm bare tænk på standardafvigelsen som gennemsnittet af afstandene til middelværdien – det er ikke helt korrekt som I kan se, hvis I regner gennemsnittet ud, men det er tilstrækkeligt i forhold til den forståelse I bør have på dette niveau.

Ekstra

Middelværdi, varians og standardafvigelse kan defineres pænere ved hjælp af summationstegn:

  • Definition 13.4.2
    Lad \(X\) være en stokastisk variabel med sandsynlighedsfordelingen:

    \(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |} \hline x & x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \hline P(X=x) & p_1 & p_2 & \cdots &p_n \\ \hline \end {array}\)

    Vi definerer middelværdien \(E(X)=\) ved

    \[E(X)=\sum _{i=1}^{n} x_i\cdot p_i,\]

    variansen \(\Var (X)\) ved

    \[\Var (X)=\sum _{i=1}^{n} \big (x_i-E(X)\big )^2\cdot p_i,\]

    og standardafvigelsen \(SD(X)\) ved

    \[SD(X)=\sqrt {\Var (X)}\]

Jeg anbefaler at man bruger summationstegn hvis man forstår notationen.

Øvelse 13.4.6

  • a) Regn middelværdien for den stokastiske variabel fra eksempel 13.4.3 ved hjælp af summationstegn. Altså opskriv regnestykket som det skal se ud, hvis man bruger definition 13.4.2 i stedet for definition 13.4.1.

Løsning 13.4.6

  • a)

    \begin{equation} \begin{split} E(X) & = \sum _{i=1}^{3} x_i\cdot p_i\\ & = 3 \cdot \frac {1}{3} + 4 \cdot \frac {1}{2} + 12\cdot \frac {1}{6}\\ & = 1+2+2\\ & = 5 \end {split} \end{equation}