Krumningsforhold handler om at bestemme hvilken vej grafen for en funktion krummer. Løst sagt siges en funktion at være konveks hvis den krummer opad, og konkav hvis den krummer nedad.
Konveks funktion
Konkav funktion
Funktioner kan være konvekse nogle steder og konkave andre. Så ligesom vi kan bestemme en funktions monotoniforhold kan vi bestemme dens krumningsforhold. Her kigger vi ikke på om funktionen er voksende eller
aftagende. Vi kigger kun på hvordan den krummer.
Eksempel 11.5.1 Vi vil undersøge krumningsforholdene for funktionerne \(f(x)=x^2\) og \(g(x)=x^3\). Vi tegner funktionerne:
Vi skal nu bestemme hvor på \(x\)-aksen funktion er konveks og hvor den er konkav. Funktion \(f\) er nem. Den er konveks over det hele så vi skriver bare:
\(f\) er konveks
Funktionen \(g\) er konkav til at starte med og skifter så til at være konveks. Det ser ud til den skifter i \(x\)-værdien \(0\) så vi skriver:
\(g\) er konkav på \(]-\infty ;0]\) og konveks på \([0;\infty [\)
Øvelse 11.5.1
Bestem krumningsforholdene for følgende funktioner. Hvis du er i tvivl om hvordan grafen ser ud, så tegn funktionen i GeoGebra.
a) \(f(x)=-e^x\)
b) \(f(x)=x^2\)
c) \(f(x)=\ln (x)\)
d) \(f(x)=-2^x\)
Løsning 11.5.1
a) \(f\) er konkav
b) \(f\) er konveks
c) \(f\) er konkav
d) \(f\) er konkav
Øvelse 11.5.2
Tegn følgende funktioner i GeoGebra og bestem deres krumningsforhold.
a) \(f(x)=\frac {1}{6}x^3+x^2-2\)
b) \(f(x)=\ln (x)-x\)
c) \(f(x)=\frac {1}{12}x^4-\frac {2}{3}x^3+\frac {3}{2}x^2\)
Løsning 11.5.2
a) \(f\) er konkav på \(]-\infty ;-2]\)
\(f\) er konveks på \([-2;\infty [\)
b) \(f\) er konkav.
c) \(f\) er konveks på \(]-\infty ;1]\)
\(f\) er konkav på \([1;3]\)
\(f\) er konveks på \([3;\infty [\)
Krumningsforhold ved beregning
Vi skal nu se hvordan man kan beregne krumningsforholdene for en funktion ud fra dens forskrift. Det kræver dog at definere begreberne konveks og konkav mere præcist. Vi får i den forbindelse brug for noget mere
differentialregning, så det vil vi starte med at kigge på.
Har man en differentialbel funktion \(f\) kan man differere den og få \(f'\). Intet nyt i det. Men hvis nu \(f'\) er differentiabel, så vil man også kunne differentiere den, og man får dermed \(f''\) som
udtales f dobbelt mærke eller den anden afledte. En funktion som kan differentieres to gange kaldes dobbelt differentiabel.
Eksempel 11.5.2 Lad \(f(x)=x^2\). Vi vil bestemme \(f''\). Vi finder først \(f'\)
\[f'(x)=2x\]
Så differentiere vi \(f'\) for at få \(f''\):
\[f''(x)=2\]
Øvelse 11.5.3
Bestem den anden afledte for følgende funktioner:
a) \(f(x)=x^3\)
b) \(f(x)=\ln (x)\)
Løsning 11.5.3
a) \(f''(x)=6x\)
b) \(f''(x)=-\frac {1}{x^2}\)
Vi er nu klar til den præcise definition af krumningsforhold:
Definition 11.5.1 Lad \(f\) være en funktion som er dobbelt differentiabel på et interval \(I\).
Funktionen \(f\) siges at være konveks på \(I\), hvis \(f'\) er voksende på \(I\).
Funktionen \(f\) siges at være konkav på \(I\), hvis \(f'\) er aftagende på \(I\).
Så krumningsforhold handler om hvorvidt \(f'\) er voksende eller aftagende. Lad os se nærmere på, hvordan den definition svarer til det, vi allerede forstår ved konkav og konveks. Vi tegner en funktion \(f\):
Vi tegner nu nogle tangenter langs \(f\). Vi tegner tangenter i \(x=1\) (rød), \(x=2\) (grøn) og \(x=3\) (brun):
Vi kan se at tangentens hældning vokser når \(x\) vokser. Men tangentens hældning er jo givet ved \(f'\), så det vil sige at \(f'\) er voksende. Ifølge vores nye definition er \(f\) altså en konveks funktion, hvilket jo
passer med at den ”krummer opad” som vi kan se. Men kunne lave en tilsvarende tegning for en konkav funktion.
Nu bliver det lidt kringlet. Har man en funktion \(f\) kan man finde monotoniforholdene for \(f\) ved at lave en fortegnsundersøgelse for \(f'\). Det må betyde at vi kan finde monotoniforholdene for \(f'\), og dermed
krumningsforholdene for \(f\), ved at lave en fortegnsundersøgelse for \(f''\). Dette er udtrykt i følgende sætning.
Sætning 11.5.1 Lad \(f\) være en to gange differentiabel funktion defineret på et interval \(I\)
Hvis \(f''(x)> 0\) for alle \(x\in I\) så er \(f\) konveks på \(I\).
Hvis \(f''(x)<0\) for alle \(x\in I\) så er \(f\) konkav på \(I\).
Ligesom med monotoniforhold vil en funktion beholde sin krumning til og med et evt. endepunkt, så intervallerne for krumningsforhold er lukkede (medmindre at funktionen ender i et åbent endepunkt)
Eksempel 11.5.3 Vi vil finde krumningsforhold for funktionen \(f(x)=x^3-3x^2\).
Vi starter med at differentiere \(f\):
\[f'(x)=3x^2-6x\]
Vi differentierer igen:
\[f''(x)=6x-6\]
Vi finder nulpunkter for \(f''\). Det er nemt at se at \(f''\) har et enkelt nulpunkt i \(x=1\)
Vi lave nu en tabel, hvor vi vælger \(x\)-værdier på hver side af vores nulpunkter (der kun et nulpunkt i dette tilfælde)
\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |c |} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f''(x) &-6 & 0 & 6 \\ \hline \end {array}\)
Så vi kan se at \(f''\) er negativ indtil \(x=1\) og derefter positiv. Ifølge sætning 11.5.1 gælder altså
\(f\) er konkav i \(]-\infty ;1]\) \(f\) er konveks i \([1;\infty [\)
Vi tegner grafen for at se om det ser rimeligt ud:
Vi kan se at \(f\) skifter krumning fra konkav til konveks i det røde punkt ved \(x=1\).
Øvelse 11.5.4
Bestem krumningsforhold for følgende funktioner:
a) \(f(x)=-x^3+9x^2+3\)
b) \(f(x)=7x-1\)
c) \(f(x)=-\frac {1}{2}x^4-3x^3-6x+4\)
d) \(f(x)=x^4-4x^3+6x^2\)
Løsning 11.5.4
a) \(f\) er konveks i \(]-\infty ;3]\)
\(f\) er konkav i \([3;\infty [\)
b) \(f\) er hverken konkav eller konveks.
c) \(f\) er konkav i \(]-\infty ;-3]\)
\(f\) er konveks i \([-3;0]\)
\(f\) er konkav i \([0;\infty [\)
d) \(f\) er konveks
Vendepunkter og vendetangenter
Definition 11.5.2 Lad \(f\) være en funktion
Et vendepunkt er et punkt hvori \(f\) skifter krumning fra konveks til konkav eller omvendt.
En tangent til \(f\) gennem et vendepunkt kaldes en vendetangent.
Eksempel 11.5.4 Vi vil bestemme vendepunkter og vendetangenter for funktionen \(f(x)=x^3-3x^2\) fra eksempel 11.5.3.
I eksempel 11.5.3 fandt vi krumningsforholdene for \(f\):
\(f\) er konkav i \(]-\infty ;1]\)
\(f\) er konveks i \([1;\infty [\)
Da \(f\) skifter fra konkav til konveks i \(x=1\) er punktet \((1,f(1))\) et vendepunkt. Vi regner \(f(1)\):
\[f(1)=1^3-3\cdot 1^2=-2\]
Altså har \(f\) vendepunkt i \((1,-2)\).
Vi finder tangenten gennem \((1,-2)\) med den sædvanlige metode.
Vi husker formlen for tangenten gennem \((x_0,f(x_0))=(1,-2)\):
\[y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\]
Vi har \(x_0=1\) og \(f(x_0)=-2\).
Vi differentierer \(f\):
\[f'(x)=3x^2-6x\]
og regner
\[f'(x_0)=f'(1)= 3\cdot 1^2-6\cdot 1=-3\]
Altså bliver tangentens ligning
\[y=-3(x-1)+(-2)=-3x+1\]
Dvs. vendetangentens ligningen er \(y=-3x+1\).
Vi tegner til slut vendetangen ind, så vi kan se, hvordan sådan en fætter ser ud:
Læg mærke til at grafen ligger under vendetangenten på den ene side af vendepunktet og over på den anden.
Øvelse 11.5.5
Bestem vendepunkter og vendetangenter for funktionerne fra øvelse 11.5.4
a) \(f(x)=-x^3+9x^2+3\)
b) \(f(x)=7x-1\)
c) \(f(x)=-\frac {1}{2}x^4-3x^3-6x+4\)
d) \(f(x)=x^4-4x^3+6x^2\)
Løsning 11.5.5
a) \(f\) har et vendepunkt i \((3,57)\) og vendetangent med ligningen \(y=27x-24\)
b) \(f\) har ingen vendepunkter eller vendetangenter.
c) \(f\) har vendepunkterne \((-3;62{,}5)\) og \((0,4)\).
\(f\) har vendetangenterne \(y=-33x-36{,}5\) og \(y=-6x+4\)
d) \(f\) har ingen vendepunkter eller vendetangenter.
Funktionsundersøgelse på A-niveau
Laver man funktionsundersøgelse på A-niveau forventes det at følgende bliver bestemt:
• Definitionsmængde
• Værdimængde
• Nulpunkter
• Fortegn
• Monotoniforhold
• Ekstrema
• Krumningsforhold
• Vendepunkter og vendetangenter
Øvelse 11.5.6
Lad \(f(x)=x^3-9x^2+24x-20\); hvor \(x>0\).
Lav ved beregning (brug dog Geogebra til at finde nulpunkter for \(f\)) en funktionsundersøgelse for \(f\). Dvs. bestem følgende:
a) Definitionsmængde
b) Værdimængde
c) Nulpunkter
d) Fortegn
e) Monotoniforhold
f) Ekstrema
g) Krumningsforhold
h) Vendepunkter og vendetangenter
Løsning 11.5.6
a) \(\Dm {f} =]0;\infty [\)
b) \(\Vm {f} =]-20;\infty [\)
c) Nulpunkter: \(x_1=2\) og \(x_2=5\)
d) Fortegn:
\(f\) er negativ i \(]0;2[\cup ]2;5[\)
\(f\) er positiv i \(]5;\infty [\)
\(f\) er nul i \(x=2\) og \(x=5\)
e) Monotoniforhold:
\(f\) er voksende i \(]0;2]\) og \([4;\infty [\).
\(f\) er aftagende i \([2;4]\)
f) Ekstrema:
\(f\) har lokalt maksimum i \(x=2\) med maksimumsværdi 0
\(f\) har lokalt minimum \(x=4\) med minimumsværdi -4
g) Krumningsforhold:
\(f\) er konkav i \(]0;3]\) og konveks i \([3;\infty [\)
h) Vendepunkter og vendetangenter:
\(f\) har vendepunkt i \((3,-2)\) med vendetangent \(y=-3x+7\)
Øvelse 11.5.7
Tegn i GeoGebra grafen for funktionen fra ovenstående øvelse.
a) Tjek at du forstår hvordan dine facit fra øvelsen kan ses på grafen.
