Krumningsforhold handler om at bestemme hvilken vej grafen for en funktion krummer. Løst sagt siges en funktion at være konveks hvis den krummer opad, og konkav hvis den krummer nedad.
Konveks funktion
Konkav funktion
Funktioner kan være konvekse nogle steder og konkave andre. Så ligesom vi kan bestemme en funktions monotoniforhold kan vi bestemme dens krumningsforhold. Her kigger vi ikke på om funktionen er voksende eller
aftagende. Vi kigger kun på hvordan den krummer.
Eksempel 10.5.1 Vi vil undersøge krumningsforholdene for funktionerne \(f(x)=x^2\) og \(g(x)=x^3\). Vi tegner funktionerne:
Vi skal nu bestemme hvor på \(x\)-aksen funktion er konveks og hvor den er konkav. Funktion \(f\) er nem. Den er konveks over det hele så vi skriver bare:
\(f\) er konveks
Funktionen \(g\) er konkav til at starte med og skifter så til at være konveks. Det ser ud til den skifter i \(x\)-værdien \(0\) så vi skriver:
\(g\) er konkav på \(]-\infty ;0]\) og konveks på \([0;\infty [\)
Øvelse 10.5.1
Bestem krumningsforholdene for følgende funktioner. Hvis du er i tvivl om hvordan grafen ser ud, så tegn funktionen i GeoGebra.
a) \(f(x)=-e^x\)
b) \(f(x)=x^2\)
c) \(f(x)=\ln (x)\)
d) \(f(x)=-2^x\)
10.5.1
a) \(f\) er konkav
b) \(f\) er konveks
c) \(f\) er konkav
d) \(f\) er konkav
Øvelse 10.5.2
Tegn følgende funktioner i GeoGebra og bestem deres krumningsforhold.
a) \(f(x)=\frac {1}{6}x^3+x^2-2\)
b) \(f(x)=\ln (x)-x\)
c) \(f(x)=\frac {1}{12}x^4-\frac {2}{3}x^3+\frac {3}{2}x^2\)
10.5.2
a) \(f\) er konkav på \(]-\infty ;-2]\)
\(f\) er konveks på \([-2;\infty [\)
b) \(f\) er konkav.
c) \(f\) er konveks på \(]-\infty ;1]\)
\(f\) er konkav på \([1;3]\)
\(f\) er konveks på \([3;\infty [\)
Krumningsforhold ved beregning
Vi skal nu se hvordan man kan beregne krumningsforholdene for en funktion ud fra dens forskrift. Det kræver dog at definere begreberne konveks og konkav mere præcist. Vi får i den forbindelse brug for noget mere
differentialregning, så det vil vi starte med at kigge på.
Har man en differentialbel funktion \(f\) kan man differere den og få \(f'\). Intet nyt i det. Men hvis nu \(f'\) er differentiabel, så vil man også kunne differentiere den, og man får dermed \(f''\) som
udtales f dobbelt mærke eller den anden afledte. En funktion som kan differentieres to gange kaldes dobbelt differentiabel.
Eksempel 10.5.2 Lad \(f(x)=x^2\). Vi vil bestemme \(f''\). Vi finder først \(f'\)
\[f'(x)=2x\]
Så differentiere vi \(f'\) for at få \(f''\):
\[f''(x)=2\]
Øvelse 10.5.3
Bestem den anden afledte for følgende funktioner:
a) \(f(x)=x^3\)
b) \(f(x)=\ln (x)\)
10.5.3
a) \(f''(x)=6x\)
b) \(f''(x)=-\frac {1}{x^2}\)
Vi er nu klar til den præcise definition af krumningsforhold:
Definition 10.5.1 Lad \(f\) være en funktion som er dobbelt differentiabel på et interval \(I\).
Funktionen \(f\) siges at være konveks på \(I\), hvis \(f'\) er voksende på \(I\).
Funktionen \(f\) siges at være konkav på \(I\), hvis \(f'\) er aftagende på \(I\).
Så krumningsforhold handler om hvorvidt \(f'\) er voksende eller aftagende. Lad os se nærmere på, hvordan den definition svarer til det, vi allerede forstår ved konkav og konveks. Vi tegner en funktion \(f\):
Vi tegner nu nogle tangenter langs \(f\). Vi tegner tangenter i \(x=1\) (rød), \(x=2\) (grøn) og \(x=3\) (brun):
Vi kan se at tangentens hældning vokser når \(x\) vokser. Men tangentens hældning er jo givet ved \(f'\), så det vil sige at \(f'\) er voksende. Ifølge vores nye definition er \(f\) altså en konveks funktion, hvilket jo
passer med at den ”krummer opad” som vi kan se. Man kunne lave en tilsvarende tegning for en konkav funktion.
Nu bliver det lidt kringlet. Har man en funktion \(f\) kan man finde monotoniforholdene for \(f\) ved at lave en fortegnsundersøgelse for \(f'\). Det må betyde at vi kan finde monotoniforholdene for \(f'\), og dermed
krumningsforholdene for \(f\), ved at lave en fortegnsundersøgelse for \(f''\). Dette er udtrykt i følgende sætning.
Sætning 10.5.1 Lad \(f\) være en to gange differentiabel funktion defineret på et interval \(I\)
Hvis \(f''(x)> 0\) for alle \(x\in I\) så er \(f\) konveks på \(I\).
Hvis \(f''(x)<0\) for alle \(x\in I\) så er \(f\) konkav på \(I\).
Ligesom med monotoniforhold vil en funktion beholde sin krumning til og med et evt. endepunkt, så intervallerne for krumningsforhold er lukkede (medmindre at funktionen ender i et åbent endepunkt)
Eksempel 10.5.3 Vi vil finde krumningsforhold for funktionen \(f(x)=x^3-3x^2\).
Vi starter med at differentiere \(f\):
\[f'(x)=3x^2-6x\]
Vi differentierer igen:
\[f''(x)=6x-6\]
Vi finder nulpunkter for \(f''\). Det er nemt at se at \(f''\) har et enkelt nulpunkt i \(x=1\)
Vi lave nu en tabel, hvor vi vælger \(x\)-værdier på hver side af vores nulpunkter (der kun et nulpunkt i dette tilfælde)
\(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |c |} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline f''(x) &-6 & 0 & 6 \\ \hline \end {array}\)
Så vi kan se at \(f''\) er negativ indtil \(x=1\) og derefter positiv. Ifølge sætning 10.5.1 gælder altså
\(f\) er konkav i \(]-\infty ;1]\) \(f\) er konveks i \([1;\infty [\)
Vi tegner grafen for at se om det ser rimeligt ud:
Vi kan se at \(f\) skifter krumning fra konkav til konveks i det røde punkt ved \(x=1\).
Øvelse 10.5.4
Bestem krumningsforhold for følgende funktioner:
a) \(f(x)=-x^3+9x^2+3\)
b) \(f(x)=7x-1\)
c) \(f(x)=-\frac {1}{2}x^4-3x^3-6x+4\)
d) \(f(x)=x^4-4x^3+6x^2\)
10.5.4
a) \(f\) er konveks i \(]-\infty ;3]\)
\(f\) er konkav i \([3;\infty [\)
b) \(f\) er hverken konkav eller konveks.
c) \(f\) er konkav i \(]-\infty ;-3]\)
\(f\) er konveks i \([-3;0]\)
\(f\) er konkav i \([0;\infty [\)
d) \(f\) er konveks
Vendepunkter og vendetangenter
Definition 10.5.2 Lad \(f\) være en funktion
Et vendepunkt er et punkt hvori \(f\) skifter krumning fra konveks til konkav eller omvendt.
En tangent til \(f\) gennem et vendepunkt kaldes en vendetangent.
Eksempel 10.5.4 Vi vil bestemme vendepunkter og vendetangenter for funktionen \(f(x)=x^3-3x^2\) fra eksempel 10.5.3.
I eksempel 10.5.3 fandt vi krumningsforholdene for \(f\):
\(f\) er konkav i \(]-\infty ;1]\)
\(f\) er konveks i \([1;\infty [\)
Da \(f\) skifter fra konkav til konveks i \(x=1\) er punktet \((1,f(1))\) et vendepunkt. Vi regner \(f(1)\):
\[f(1)=1^3-3\cdot 1^2=-2\]
Altså har \(f\) vendepunkt i \((1,-2)\).
Vi finder tangenten gennem \((1,-2)\) med den sædvanlige metode.
Vi husker formlen for tangenten gennem \(\big (x_0,f(x_0)\big )=(1,-2)\):
\[y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\]
Vi har \(x_0=1\) og \(f(x_0)=-2\).
Vi differentierer \(f\):
\[f'(x)=3x^2-6x\]
og regner
\[f'(x_0)=f'(1)= 3\cdot 1^2-6\cdot 1=-3\]
Altså bliver tangentens ligning
\[y=-3(x-1)+(-2)=-3x+1\]
Dvs. vendetangentens ligningen er \(y=-3x+1\).
Vi tegner til slut vendetangen ind, så vi kan se, hvordan sådan en fætter ser ud:
Læg mærke til at grafen ligger under vendetangenten på den ene side af vendepunktet og over på den anden.
Øvelse 10.5.5
Bestem vendepunkter og vendetangenter for funktionerne fra øvelse 10.5.4
a) \(f(x)=-x^3+9x^2+3\)
b) \(f(x)=7x-1\)
c) \(f(x)=-\frac {1}{2}x^4-3x^3-6x+4\)
d) \(f(x)=x^4-4x^3+6x^2\)
10.5.5
a) \(f\) har et vendepunkt i \((3,57)\) og vendetangent med ligningen \(y=27x-24\)
b) \(f\) har ingen vendepunkter eller vendetangenter.
c) \(f\) har vendepunkterne \((-3;62{,}5)\) og \((0,4)\).
\(f\) har vendetangenterne \(y=-33x-36{,}5\) og \(y=-6x+4\)
d) \(f\) har ingen vendepunkter eller vendetangenter.
Funktionsundersøgelse inkl. krumningsforhold
Laver man funktionsundersøgelse forventes det at følgende bliver bestemt:
• Definitionsmængde
• Værdimængde
• Nulpunkter
• Fortegn
• Monotoniforhold
• Ekstrema
• Krumningsforhold
• Vendepunkter og vendetangenter
Øvelse 10.5.6
Lad \(f(x)=x^3-9x^2+24x-20\); hvor \(x>0\).
Lav ved beregning (brug dog GeoGebra til at finde nulpunkter for \(f\)) en funktionsundersøgelse for \(f\). Dvs. bestem følgende:
a) Definitionsmængde
b) Værdimængde
c) Nulpunkter
d) Fortegn
e) Monotoniforhold
f) Ekstrema
g) Krumningsforhold
h) Vendepunkter og vendetangenter
10.5.6
a) \(\Dm {f} =]0;\infty [\)
b) \(\Vm {f} =]-20;\infty [\)
c) Nulpunkter: \(x_1=2\) og \(x_2=5\)
d) Fortegn:
\(f\) er negativ i \(]0;2[\cup ]2;5[\)
\(f\) er positiv i \(]5;\infty [\)
\(f\) er nul i \(x=2\) og \(x=5\)
e) Monotoniforhold:
\(f\) er voksende i \(]0;2]\) og \([4;\infty [\).
\(f\) er aftagende i \([2;4]\)
f) Ekstrema:
\(f\) har lokalt maksimum i \(x=2\) med maksimumsværdi 0
\(f\) har lokalt minimum \(x=4\) med minimumsværdi -4
g) Krumningsforhold:
\(f\) er konkav i \(]0;3]\) og konveks i \([3;\infty [\)
h) Vendepunkter og vendetangenter:
\(f\) har vendepunkt i \((3,-2)\) med vendetangent \(y=-3x+7\)
Øvelse 10.5.7
Tegn i GeoGebra grafen for funktionen fra ovenstående øvelse.
a) Tjek at du forstår hvordan dine facit fra øvelsen kan ses på grafen.
10.5.7
a) Facit er din forståelse. Forstår du det?
Den anden afledet og ekstrema
Vi plejer at bestemme ekstrema ved at lave en fortegnsundersøgelse for \(f'\). Men der findes faktisk en hurtigere metode. Der gælder nemlig følgende sætning:
Sætning 10.5.2 Lad \(f\) være en to gange differentiabel funktion og lad \(x_0\) være et tal, som opfylder at
\(f'(x_0)=0\).
Hvis \(f''(x_0)>0\), så har \(f\) minimum i \(\big (x_0,f(x_0)\big )\).
Hvis \(f''(x_0)<0\), så har \(f\) maksimum i \(\big (x_0,f(x_0)\big )\).
Ifølge sætningen kan vi altså bestemme ekstrema ved at undersøge fortegn for \(f''\) de steder, hvor \(f'(x_0)=0\). Måske er det ikke umiddelbart klart, at dette skulle være hurtigere end den sædvanlige
metode, men det vil det ofte være. Bemærk at sætningen ikke fortæller noget om, hvad der sker hvis \(f''(x)=0\). I det tilfælde kan vi ikke bruge sætningen.
Eksempel 10.5.5 Vi vil nu regne ekstrema for funktionen \(f(x)=x^3-4{,}5x^2-30x\). Det har vi allerede gjort i eksempel 10.3.1, men denne gang vil vi gøre det ved hjælp af \(f''\). Vi bestemmer først \(f'(x)\):
\[f'(x)=3x^2-9x-30\]
Vi løser nu ligningen \(f'(x)=0\). Da \(f'\) er et andengradspolynomium, findes nulpunkterne med den sædvanlige metode med diskriminant og alt det der shit. Den ender med at give (regn selv efter eller tjek
eksempel 10.3.1):
\[x_1=5\quad \text {og} \quad x_2=-2\]
Indtil videre er der ikke noget nyt. Normalt ville vi nu lave en fortegnsundersøgelse for \(f'\), men i stedet bestemmer vi \(f''(x)\):
\[f''(x)=6x-9\]
Vi regner nu \(f''\) for de to nulpunkter for \(f'\):
Vi ser at \(f''(5)>0\) og \(f''(-2)<0\), hvilket betyder at \(f\) har minimum i \(x=5\) og maksimum i \(x=-2\).
Herfra er det som det plejer. Vi regner funktionsværdier i de to ekstremumssteder:
\[f(-2)=34\quad \text {og} \quad f(5)=-137{,}5\]
og tegner grafen for at tjekke om det er lokale eller globale ekstrema
Konklusion:
Funktionen \(f\) har et lokalt maksimum i \((-2,34)\).
Funktionen \(f\) har et lokalt minimum i \((5,-137{,}5)\).
Eksempel 10.5.6 Vi vil bestemme ekstrema for funktionen \(f(x)=x^3+2\). Vi finder først \(f'(x)\):
\[f'(x)=3x^2\]
Vi sætter nu \(f'(x)=0\):
\[3x^2=0\]
Denne ligning har kun én løsning (tjek selv efter) nemlig \(x=0\). Vi bestemmer nu \(f''(x)\):
\[f''(x)=6x\]
Vi regner nu \(f''\) for \(x=0\) (nulpunktet for \(f'\)):
\[f''(0)=6\cdot 0 =0\]
Se, det var ikke så godt. Fordi 10.5.2 fortæller os ikke noget om, hvad der sker hvis \(f''(x)=0\). Vi er derfor nødt til at bruge den go’e gamle
metode med at lave en fortegnsundersøgelse for \(f'\):
\(\begin {array}{ | c | c | c | c |} \hline x & -1 & 0 & 1 \\ \hline f'(x) &3 & 0 & 3 \\ \hline f(x) & \nearrow & & \nearrow \\ \hline \end {array}\)
Vi ser at \(f\) er voksende hele vejen og derfor ikke har nogle ekstrema.
Øvelse 10.5.8
Bestem ekstrema ved hjælp af sætning 10.5.2, hvis det er muligt. Hvis ikke at ?? kan anvendes, så brug den sædvanlige metode.
a) \(f(x)=x^3-3x+1\)
b) \(f(x)=x^2+2x\)
c) \(f(x))=x^4-3\)
d) \(f(x)=x\)
e) \(f(x)=4\sqrt {x}-x+2\) (svær)
10.5.8
a) Ved hjælp af sætning 10.5.2 fås at \(f\) har lokalt maksimum i \((-1,3)\)
og lokalt minimum i \((1,-1)\).
b) Ved hjælp af sætning 10.5.2 fås at \(f\) har globalt minimum i
\((-1,-1)\).
c) Her kan vi ikke bruge sætningen. Ved at lave en fortegnsundersøgelse for \(f'\) fås, at \(f\) har globalt minimum i \((0,-3)\).
d) Her kan vi ikke bruge sætningen. Ved at lave en fortegnsundersøgelse for \(f'\) fås, at \(f\) ikke har nogen ekstrema. Det burde ikke komme
som den store overraskelse, da \(f\) er en lineær funktion med en positiv hældning.
e) Ved hjælp af sætning 10.5.2 fås at \(f\) har globalt maksimum i \((4,6)\).
