MATHHX B

MATHHX B

\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\) \(\def \LWRfootnote {1}\) \(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\) \(\let \LWRorighspace \hspace \) \(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\) \(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\) \(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\) \(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \) \(\newcommand {\setlength }[2]{}\) \(\newcommand {\addtolength }[2]{}\) \(\newcommand {\setcounter }[2]{}\) \(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\) \(\newcommand {\arabic }[1]{}\) \(\newcommand {\number }[1]{}\) \(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\newcommand {\cline }[1]{}\) \(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\) \(\newcommand {\protect }{}\) \(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\) \(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\) \(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\) \(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\) \(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\) \(\def \mathcode #1={\mathchar }\) \(\let \delcode \mathcode \) \(\let \delimiter \mathchar \) \(\def \oe {\unicode {x0153}}\) \(\def \OE {\unicode {x0152}}\) \(\def \ae {\unicode {x00E6}}\) \(\def \AE {\unicode {x00C6}}\) \(\def \aa {\unicode {x00E5}}\) \(\def \AA {\unicode {x00C5}}\) \(\def \o {\unicode {x00F8}}\) \(\def \O {\unicode {x00D8}}\) \(\def \l {\unicode {x0142}}\) \(\def \L {\unicode {x0141}}\) \(\def \ss {\unicode {x00DF}}\) \(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\) \(\def \dag {\unicode {x2020}}\) \(\def \ddag {\unicode {x2021}}\) \(\def \P {\unicode {x00B6}}\) \(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\) \(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\) \(\let \LWRref \ref \) \(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\) \( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\) \(\require {textcomp}\) \(\require {colortbl}\) \(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \) \(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \) \(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \) \(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\) \(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\) \(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\) \(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\) \(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\) \(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\) \(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\) \(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\) \(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\) \(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\) \(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\) \(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\) \(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\) \(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\) \(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\) \(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\) \(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\) \(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\) \(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\) \(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\) \(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\) \(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\) \(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\) \(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\) \(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\) \(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\) \(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\) \(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\) \(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\) \(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\) \(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\) \(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\) \(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\) \(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\) \(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\) \(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\) \(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\) \(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\) \(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\) \(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\) \(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\) \(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\) \(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\) \(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\) \(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\) \(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\) \(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\) \(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\) \(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\) \(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\) \(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\) \(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\) \(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\) \(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\) \(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\) \(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\) \(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\) \(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\) \(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\) \(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\) \(\let \LWRorigbar \bar \) \(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\) \(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\) \(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\) \(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\) \(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\) \(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\) \(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\) \(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\) \(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\) \(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\) \(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\) \(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\) \(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\) \(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\) \(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\) \(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\) \(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\) \(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\) \(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\) \(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\) \(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\) \(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\) \(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\) \(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\) \(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\) \(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\) \(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\) \(\newcommand {\squared }{^2}\) \(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\) \(\newcommand {\cubed }{^3}\) \(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\) \(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\) \(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\) \(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\) \(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\) \(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\) \(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\) \(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\) \(\newcommand {\g }{\gram }\) \(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\) \(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\) \(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\) \(\newcommand {\um }{\micro \metre }\) \(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\) \(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\) \(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\) \(\newcommand {\m }{\metre }\) \(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\) \(\newcommand {\as }{\atto \second }\) \(\newcommand {\fs }{\femto \second }\) \(\newcommand {\ps }{\pico \second }\) \(\newcommand {\ns }{\nano \second }\) \(\newcommand {\us }{\micro \second }\) \(\newcommand {\ms }{\milli \second }\) \(\newcommand {\s }{\second }\) \(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\) \(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\) \(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\) \(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\) \(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\) \(\newcommand {\mol }{\mol }\) \(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\) \(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\) \(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\) \(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\) \(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\) \(\newcommand {\A }{\ampere }\) \(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\) \(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\) \(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\) \(\newcommand {\l }{\litre }\) \(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\) \(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\) \(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\) \(\newcommand {\L }{\liter }\) \(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\) \(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\) \(\newcommand {\Hz }{\hertz }\) \(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\) \(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\) \(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\) \(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\) \(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\) \(\newcommand {\N }{\newton }\) \(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\) \(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\) \(\newcommand {\Pa }{\pascal }\) \(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\) \(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\) \(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\) \(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\) \(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\) \(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\) \(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\) \(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\) \(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\) \(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\) \(\newcommand {\V }{\volt }\) \(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\) \(\newcommand {\W }{\watt }\) \(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\) \(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\) \(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\) \(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\) \(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\) \(\newcommand {\J }{\joule }\) \(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\) \(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\) \(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\) \(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\) \(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\) \(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\) \(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\) \(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\) \(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\) \(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\) \(\newcommand {\F }{\farad }\) \(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\) \(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\) \(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\) \(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\) \(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\) \(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\) \(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\) \(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\) \(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\) \(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\) \(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\) \(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\) \(\let \unit \si \) \(\let \qty \SI \) \(\let \qtylist \SIlist \) \(\let \qtyrange \SIrange \) \(\let \numproduct \num \) \(\let \qtyproduct \SI \) \(\let \complexnum \num \) \(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\) \(\newcommand {\mleft }{\left }\) \(\newcommand {\mright }{\right }\) \(\newcommand {\mleftright }{}\) \(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\) \(\require {gensymb}\) \(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\) \(\let \Hat \hat \) \(\let \Check \check \) \(\let \Tilde \tilde \) \(\let \Acute \acute \) \(\let \Grave \grave \) \(\let \Dot \dot \) \(\let \Ddot \ddot \) \(\let \Breve \breve \) \(\let \Bar \bar \) \(\let \Vec \vec \) \(\require {cancel}\) \(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\) \(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\) \(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\) \(\newcommand {\tcbset }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\) \(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcblower }{}\) \(\newcommand {\tcbline }{}\) \(\newcommand {\tcbtitle }{}\) \(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\) \(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\) \(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\) \(\let \midrule \toprule \) \(\let \bottomrule \toprule \) \(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\) \(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\) \(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\) \(\newcommand {\morecmidrules }{}\) \(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\) \(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\) \(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\) \(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)

13.3 Hændelser

Lad os sige at vi spiller et spil med terning og har brug for at slå en 5’er eller en 6’er for at vinde. I det tilfælde er vi ligeglade om vi slår 5 eller 6, bare vi får en af de to. En sådan begivenhed kaldes en hændelse. Mere præcist:

  • Definition 13.3.1
    Lad der være givet et udfaldsrum \(U\). En hændelse \(A\) er en delmængde af \(U\).

Så i forhold til vores spil, hvor vi var interesserede i at slå 5 eller 6, så er vi altså interesserede i hændelsen \(A=\{{\Large ⚄} , {\Large ⚅} \}\).

Nogle gange vil vi tillade os at beskrive en hændelse med ord, i stedet for at opskrive de udfald som hændelsen består af. F.eks. kunne vi beskrive hændelsen \(A=\{{\Large ⚄} , {\Large ⚅} \}\) som \(A=\text {''Mindst en 5'er''}\).

  • Eksempel 13.3.1
    Trækker vi et kort fra et kortspil er det det stokastisk eksperiment. Udfaldsrummet består at de 52 kort som er i kortspillet. Følgende er eksempler på hændelser i dette udfaldsrum:

    • \(A=\text {''En hjerter''}\).

    • \(B=\text {''Et rødt kort''}\) (altså en hjerter eller en ruder. Ikke det røde kort i fodbold)

    Der er 52 kort i et kortspil og en fjerdedel af dem er hjertere, så der er 13 udfald i hændelsen \(A\). Halvdelene af kortene er røde så der er 26 udfald i \(B\).

Øvelse 13.3.1

Antag at vi kaster en terning.

  • a) Opskriv hændelsen \(A=\textrm {''Et lige antal øjne''}\) som en mængde. Altså skriv \(A\) på formen \(A=\{\ldots \}\).

Løsning 13.3.1

  • a) \(A=\{{\Large ⚁} , {\Large ⚃} , {\Large ⚅} \}\)

Sandsynligheden for en hændelse

Sandsynligheden for at en hændelse indtræffer regnes ved at lægge sandsynlighederne for de enkelte udfald sammen. Altså hvis \(A=\{u_1,u_2,u_3,\ldots \}\) så er

\[P(A)=P(u_1)+P(u_2)+P(u_3)\cdots \]

  • Eksempel 13.3.2
    Vi ser på igen på vores snydeterning

    \(\begin {array}{ | c | c | c | c | c |c | c |} \hline u & {\Large ⚀} & {\Large ⚁} & {\Large ⚂} & {\Large ⚃} & {\Large ⚄} & {\Large ⚅} \\ \hline P(u) & \frac {1}{12} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} & \frac {1}{6} &\frac {1}{4}\\ \hline \end {array}\)

    Vi vil bestemme sandsynligheden for hændelsen \(A=\{{\Large ⚀} , {\Large ⚅} \}\). Vi regner:

    \begin{equation*} \begin{split} P(A) & = P({\Large ⚀} )+ P({\Large ⚅} ) \\ & = \frac {1}{12} + \frac {1}{4 }\\ & = \frac {1}{3} \end {split} \end{equation*}

    Så \(P(A)=\frac {1}{3}\).

Øvelse 13.3.2

Med udgangspunkt i snydeterningen fra ovenstående eksempel.

  • a) Bestem sandsynligheden for at slå 4, 5 eller 6

Løsning 13.3.2

  • a)

    \begin{align*} P(\{{\Large ⚃} , {\Large ⚄} , {\Large ⚅} \}) & = P({\Large ⚃} ) + P({\Large ⚄} ) + P({\Large ⚅} )\\ & = \frac {1}{6} + \frac {1}{6} + \frac {1}{4}\\ & = \frac {2}{12} + \frac {2}{12} + \frac {3}{12}\\ & = \frac {7}{12} \end{align*}

Disjunkte hændelser

Nogle gange er vi interesserede i mere end en enkelt hændelse. Det kunne være at man trak et kort fra et kortspil og ville have et kort der enten er "en spar"eller "en hjerter". Skal man regne sandsynligheden for dette er det afgørende om hændelserne "overlapper"hinanden.

  • Definition 13.3.2
    To hændelser kaldes disjunkte, hvis de ikke har nogle udfald tilfælles.

  • Eksempel 13.3.3
    Vi kaster en terning. Hændelserne \(A=\{{\Large ⚀} , {\Large ⚅} \}\) og \(B=\{{\Large ⚁} ,{\Large ⚃} ,{\Large ⚄} \}\) er disjunkte, da de to hændelser ikke har nogle udfald til fælles.

Øvelse 13.3.3

Afgør, hvilke af følgende par af hændelser som er disjunkte:

  • a) Vi kaster med en terning. \(A=\{{\Large ⚅} \}\) og \(B=\textrm {''Et lige antal øjne''}\).

  • b) Vi kaster to terninger. Hændelse \(A = \textrm {''summen af antal øjne er større end 4''}\). Hændelse \(B= \textrm {''den første terning er en 1'er''}\).

  • c) Vi trækker et kort fra et almindeligt spil kort. Hændelse \(A = \textrm {''en spar''}\) og hændelse \(B = \textrm {''et billedkort''}\).

Løsning 13.3.3

  • a) Ikke disjunkte

  • b) Ikke disjunkte

  • c) Ikke disjunkte. Haha ingen af dem var disjunkte.

Vi har en sætning vi kan bruge til at beregne sandsynligheder for disjunkte hændelser:

  • Sætning 13.3.1
    Lad der være givet to disjunkte hændelser \(A\) og \(B\). Da er sandsynligheden for at enten den ene eller den anden indtræffer givet ved \(P(A)+P(B).\)

  • Eksempel 13.3.4
    Sandsynligheden for at få enten \(A=\{{\Large ⚅} \}\) eller \(B=\textrm {''et ulige antal øjne''}\) med en almindelig terning er:

    \[P(A)+P(B)=\frac {1}{6}+\frac {3}{6}=\frac {4}{6}=\frac {2}{3},\]

    da der er tale om to disjunkte hændelser.

Øvelse 13.3.4

Antag at vi kaster en almindelig terning. Bestem som i eksempel 13.3.4 sandsynligheden for at få en af hændelserne i følgende par af hændelser.

  • a) \(A=\{{\Large ⚀} ,{\Large ⚁} \}\) og \(B=\{{\Large ⚄} ,{\Large ⚅} \}\).

  • b) \(A=\{{\Large ⚀} ,{\Large ⚂} \}\) og \(B=\textrm {''lige antal øjne''}\).

Løsning 13.3.4

Bestem som i eksempel 13.3.4 sandsynligheden for at få en af hændelserne i følgende par af hændelser.

  • a) Sandsynligheden er \(\frac {2}{3}\).

  • b) Sandsynligheden er \(\frac {5}{6}\).

Komplementære hændelser

Komplementere hændelser er hændelser som er hinandens modsætninger. Altså:

  • Definition 13.3.3
    Lad \(A\) og \(B\) være to hændelser. Hændelsen \(A\) kaldes komplementær til hændelsen \(B\), hvis \(A\) består af alle de udfald som ikke er i \(B\).

Ud fra definitionen er det klart at hvis \(A\) er komplementær til \(B\) så er \(B\) også komplementær til \(A\).

  • Eksempel 13.3.5
    Ved kast med en terning er hændelserne \(A=\{{\Large ⚅} \}\) og \(B=\textrm {''ikke en 6'er''}\) komplementære.

Øvelse 13.3.5

Bestem, hvilke af følgende par af hændelser som er komplementære

  • a) Vi kaster en terning \(A=\textrm {''et lige antal øjne''}\) og \(B=\textrm {''et ulige antal øjne''}\).

  • b) Vi kaster en mønt \(A=\textrm {''plat eller krone''}\) og \(B=\textrm {''krone''}\)

  • c) Vi kaster to terninger \(A=\textrm {''Vi får to 5'ere eller to 6'ere''}\) og \(B=\textrm {''summen er større end 11''}\).

Løsning 13.3.5

  • a) Komplementære

  • b) Ikke komplementære

  • c) Ikke komplementære

For to komplementære hændelser \(A\) og \(B\), kan sandsynligheden for hændelsen \(A\) bestemmes med formlen

\[P(A)=1-P(B).\]

  • Eksempel 13.3.6
    Ved kast med en terning er sandsynligheden for \(A=\textrm {''ikke en 6'er''}\) givet ved

    \[P(A)=1-\frac {1}{6}=\frac {5}{6},\]

    da \(P(6)=\frac {1}{6}\) og \(A\) er dem komplementere hændelse til hændelsen ”en 6’er”.

Øvelse 13.3.6

En elev udtænker et snedigt spil, således at eleven har \(58\%\) chance for at vinde penge fra sin dansklærer.

  • a) Vi kigger på hændelsen: ”Eleven vinder”. Hvad er den komplementære hændelse?

  • b) Hvad er sandsynligheden for den komplementære hændelse?

  • c) Hvad er sandsynligheden for at eleven taber?

Løsning 13.3.6

  • a) Den komplementære hændelse er ”eleven taber”

  • b) \(42\%\)

  • c) \(42\%\)

Uafhængige hændelser

Forstil dig at du er på kasino og spiller roulette. Forstil dig at den bliver sort 10 gange i træk. Så må chancen for den bliver rød næste gang vel være stor eller hvad? Nej sandsynligheden for rød er den samme uanset, hvad den tidligere er landet på fordi de enkelte runder er ”uafhængige”.

  • Definition 13.3.4
    To hændelser kaldes uafhængige, hvis indtræffelse af den ene ikke påvirker sandsynligheden for den anden.

  • Eksempel 13.3.7
    Hvis vi slår med to terninger er følgende hændelser uafhængige:

    \(A = \textrm {''Den første terning bliver en 6'er''}\)
    \(B =\textrm {''Den anden terning bliver 6'er''}\)

    Årsagen til de er uafhængige er, at den første ternings resultat ikke ændrer sandsynlighederne for de forskellige udfald for den anden terning.

  • Eksempel 13.3.8
    Vælg en tilfældig dag i år 2020. Følgende hændelser er ikke uafhængige.

    \(A =\textrm {''Det regnede på denne dag''}\).
    \(B = \textrm {''Det regnede dagen efter denne dag''}\).

    Årsagen til de ikke er uafhængige er at den første hændelse ”ændrer på” sandsynligheden for den anden. Regnvejrsdage har det med at klumpe sig sammen, så hvis vi ved at det regnede på en bestemt dag, øger det sandsynligheden for at det også regnede dagen efter (eller dagen før).

Sandsynligheden for at to uafhængige hændelser \(A\) og \(B\) begge indtræffer er giver ved \(P(A)\cdot P(B)\).

  • Eksempel 13.3.9
    Vi bestemmer sandsynligheden for at få to 6’ere i to kast med en almindelig terning. Sandsynligheden for den første terning bliver en 6’er er \(\frac {1}{6}\) og sandsynligheden for den anden terning bliver en 6’er er \(\frac {1}{6}\). Altså kan vi bestemme sandsynligheden for at de begge bliver 6’ere:

    \[\frac {1}{6}\cdot \frac {1}{6}=\frac {1}{36}.\]

    Der er altså \(\frac {1}{36}\) sandsynlighed for at få to 6’ere.

Øvelse 13.3.7

Afgør hvilke af følgende par af hændelser som er uafhængige

  • a) Vi kaster en mønt og en terning. \(A=\textrm {''krone''}\) og \(B=\textrm {''en 6'er''}\).

  • b) Vi trækker to kort fra et almindeligt spil kort. \(A=\textrm {''Første kort er en klør''}\) og \(A=\textrm {''Andet kort er en klør''}\)

Løsning 13.3.7

  • a) Uafhængige

  • b) Ikke uafhængige, fordi når vi trækker det andet kort vil antallet af klør i kortspillet afhænge af om vi har trukket en klør som det første kort. Så sandsynligheden for at trække en klør i andet træk afhænger altså om vi får en klør i første.

Øvelse 13.3.8

Antag vi kaster en mønt og en terning på en gang.

  • a) Bestem sandsynligheden for at man får krone og en 6’er.

Løsning 13.3.8

  • a) Sandsynligheden for at få både krone og en 6’er er \(\frac {1}{12}\)

Symmetriske sandsynlighedsfelter

Kaster man en almindelig terning er der lige stor sandsynlighed for alle udfald. Sådan et sandsynlighedsfelt kaldes et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

  • Definition 13.3.5
    Et symmetrisk sandsynlighedsfelt er et sandsynlighedsfelt hvor alle udfald har samme sandsynlighed.

  • Eksempel 13.3.10
    Et terningkast giver er et symmetrisk sandsynlighedsfelt, da alle udfald har samme sandsynlighed.

Øvelse 13.3.9

I eksemplet oven over står der at et terningkast giver et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

  • a) Gælder et også hvis det er en snydeterning?

Løsning 13.3.9

  • a) nej

I et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan man regne sandsynligheden for en hændelse \(A\) ved hjælp af formlen:

\[P(A)=\frac {\text {antal gunstige udfald}}{\textrm {antal mulige udfald}}\]

  • Eksempel 13.3.11
    Vi kaster en almindelig terning. Vi vil regne sandsynligheden for hændelsen \(A=\textrm {''et lige antal øjne''}\). Vi kan regne sandsynligheden ved at sige:

    \[P(A)=P({\Large ⚁} )+P({\Large ⚃} )+ P({\Large ⚅} )\]

    Men det er faktisk nemmere at bruge formlen for symmetriske sandsynlighedsfelter:

    \[P(A)=\frac {\text {antal gunstige udfald}}{\textrm {antal mulige udfald}}\]

    Der er 6 mulige udfald på en terning og 3 af disse er gunstige (viser et lige antal øjne). Så vi får

    \[P(A)=\frac {\text {antal gunstige udfald}}{\textrm {antal mulige udfald}}=\frac {3}{6}=\frac {1}{2}\]

Øvelse 13.3.10

Bestem sandsynligheden for følgende hændelser.

  • a) En rollespilsnørd spiller et ”pen and paper” rollespil. Han slår med et 8-siddet terning. Hvad er sandsynligheden for at slå over en 2’er?

  • b) Vi trækker et kort fra et almindeligt kortspil. Hvad er sandsynligheden for at få en hjerter?

Løsning 13.3.10

  • a) \(\frac {6}{8}=\frac {3}{4}\)

  • b) \(\frac {13}{52}=\frac {1}{4}\)

Ekstra

I formelsamlingen optræder en del udtryk hørende til dette afsnit. Jeg vil nu gennemgå dem en ad gangen.

\begin{equation} P(A)=\sum _{u\in A}P(u)\tag {92} \end{equation}

Dette er bare en mere fancy måde at skrive, at sandsynligheden for hændelsen \(A\), findes ved at lægge sandsynligheden for de enkelte udfald \(u\) i \(A\) sammen. Man kan I øvrigt undrer sig lidt over denne formel, for er \(P\) defineret på udfald eller hændelser? Det havde bedre at bruge to forskellige bogstaver og skrive

\[P(A)=\sum _{u\in A}p(u)\]

Her ville \(p\) være sandsynlighedsfunktionen tilhørende sandsynlighedsfeltet og \(P\) ville være funktionen der knytter sandsynligheder til hændelser. Men i formelsamlingen hedder begge funktioner \(P\), så det gør de også her. Næste formel:

\begin{equation} P(U)=1\tag {94} \end{equation}

Udfaldsrummet \(U\) er en delmængde af sig selv og derfor kan man betragte \(U\) som en hændelse. Da udfaldsrummet består af alle de mulige udfald er \(P(U)=100\%=1\) (selvfølgelig) . Hændelsen \(U\) kaldes også den sikre hændelse. Næste formel:

\begin{equation} P(\emptyset )=0\tag {95} \end{equation}

Vi husker at \(\emptyset \) er den tomme mængde. Dvs. det er en hændelse med ingen elementer i. Da alle udfald ligger udenfor denne hændelse er den umulig at få. Derfor kaldes den også den umulige hændelse. Næste formel:

\begin{equation} P(\bar {A})=1-P(A)\tag {96} \end{equation}

Her betegner \(\bar {A}\) den komplementære hændelse til \(A\) og formlen er bare formlen for komplementære hændelser. Næste formel:

\begin{equation} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\tag {97} \end{equation}

Denne formel kaldes additionsformlen. Hændelsen \(A\cup B\) er foreningsmængden af hændelsen \(A\) og hændelsen \(B\), og består af alle udfaldene i \(A\) sammen med alle udfaldene i \(B\). Dvs. \(P(A\cup B)\) er sandsynligheden for at enten \(A\) eller \(B\) (eller begge) indtræffer. Den sandsynlighed har vi allerede set på i tilfældet hvor \(A\) og \(B\) er disjunkte, men her er altså den generelle formel. Formlen er den samme som for disjunkte hændelser bortset fra det sidste led \(P(A\cap B)\). Dette led udtrykker sandsynligheden for at både \(A\) og \(B\) indtræffer, og den sandsynlighed trækker vi fra, fordi vi er kommet til at tælle den med to gange (en gang som en del af \(P(A)\) og en gang som en del af \(P(B)\)).

Næste formel gælder kun for symmetriske sandsynlighedsfelter. Man kan sige, at den er definitionen på et symmetrisk sandsynlighedsfelt:

\begin{equation} P(u_1)=P(u_2)=\cdots =P(u_n)=\frac {1}{n}\tag {98} \end{equation}

Her er \(n\) antallet af udfald i udfaldsrummet. Et symmetrisk sandsynlighedsfelt er karakteriseret ved at alle udfald har samme sandsynlighed. Hvis der er \(n\) udfald og summen af sandsynlighederne skal være \(1\), så må hvert udfald have sandsynligheden \(\frac {1}{n}\). Ligesom der er \(6\) udfald ved et terningkast og sandsynligheden for hvert udfald er \(\frac {1}{6}\).

Øvelse 13.3.11

Vi kaster en almindelig terning og ser på hændelserne \(A=\{{\Large ⚀} ,{\Large ⚁} \}\) og \(B=\{{\Large ⚀} , {\Large ⚁} ,{\Large ⚂} \}.\)

  • a) Bestem sandsynligheden for at enten \(A\) eller \(B\) (eller begge) hændelser indtræffer.

Løsning 13.3.11

  • a)

    \begin{align*} P(A\cup B) & =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & =\frac {2}{6}+\frac {3}{6}-\frac {2}{6}\\ & =\frac {1}{2} \end{align*}