MATHHX B
\(\newcommand{\footnotename}{footnote}\)
\(\def \LWRfootnote {1}\)
\(\newcommand {\footnote }[2][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\footnotemark }[1][\LWRfootnote ]{{}^{\mathrm {#1}}}\)
\(\let \LWRorighspace \hspace \)
\(\renewcommand {\hspace }{\ifstar \LWRorighspace \LWRorighspace }\)
\(\newcommand {\mathnormal }[1]{{#1}}\)
\(\newcommand \ensuremath [1]{#1}\)
\(\newcommand {\LWRframebox }[2][]{\fbox {#2}} \newcommand {\framebox }[1][]{\LWRframebox } \)
\(\newcommand {\setlength }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtolength }[2]{}\)
\(\newcommand {\setcounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\addtocounter }[2]{}\)
\(\newcommand {\arabic }[1]{}\)
\(\newcommand {\number }[1]{}\)
\(\newcommand {\noalign }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\newcommand {\cline }[1]{}\)
\(\newcommand {\directlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\luatexdirectlua }[1]{\text {(directlua)}}\)
\(\newcommand {\protect }{}\)
\(\def \LWRabsorbnumber #1 {}\)
\(\def \LWRabsorbquotenumber "#1 {}\)
\(\newcommand {\LWRabsorboption }[1][]{}\)
\(\newcommand {\LWRabsorbtwooptions }[1][]{\LWRabsorboption }\)
\(\def \mathchar {\ifnextchar "\LWRabsorbquotenumber \LWRabsorbnumber }\)
\(\def \mathcode #1={\mathchar }\)
\(\let \delcode \mathcode \)
\(\let \delimiter \mathchar \)
\(\def \oe {\unicode {x0153}}\)
\(\def \OE {\unicode {x0152}}\)
\(\def \ae {\unicode {x00E6}}\)
\(\def \AE {\unicode {x00C6}}\)
\(\def \aa {\unicode {x00E5}}\)
\(\def \AA {\unicode {x00C5}}\)
\(\def \o {\unicode {x00F8}}\)
\(\def \O {\unicode {x00D8}}\)
\(\def \l {\unicode {x0142}}\)
\(\def \L {\unicode {x0141}}\)
\(\def \ss {\unicode {x00DF}}\)
\(\def \SS {\unicode {x1E9E}}\)
\(\def \dag {\unicode {x2020}}\)
\(\def \ddag {\unicode {x2021}}\)
\(\def \P {\unicode {x00B6}}\)
\(\def \copyright {\unicode {x00A9}}\)
\(\def \pounds {\unicode {x00A3}}\)
\(\let \LWRref \ref \)
\(\renewcommand {\ref }{\ifstar \LWRref \LWRref }\)
\( \newcommand {\multicolumn }[3]{#3}\)
\(\require {textcomp}\)
\(\require {colortbl}\)
\(\let \LWRorigcolumncolor \columncolor \)
\(\renewcommand {\columncolor }[2][named]{\LWRorigcolumncolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigrowcolor \rowcolor \)
\(\renewcommand {\rowcolor }[2][named]{\LWRorigrowcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\let \LWRorigcellcolor \cellcolor \)
\(\renewcommand {\cellcolor }[2][named]{\LWRorigcellcolor [#1]{#2}\LWRabsorbtwooptions }\)
\(\newcommand {\tothe }[1]{^{#1}}\)
\(\newcommand {\raiseto }[2]{{#2}^{#1}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxEND }{}\)
\(\def \LWRsiunitxang #1;#2;#3;#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#1}{}{\num {#1}\degree }\ifblank {#2}{}{\num {#2}^{\unicode {x2032}}}\ifblank {#3}{}{\num {#3}^{\unicode {x2033}}}}\)
\(\newcommand {\ang }[2][]{\LWRsiunitxang #2;;;\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxdistribunit {}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxENDTWO }{}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,#2,#3\LWRsiunitxENDTWO {\ifblank {#1}{0}{\mathrm {#1}}\ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\mathrm {#2}}}\)
\(\def \LWRsiunitxprintdecimalsub #1.#2.#3\LWRsiunitxEND {\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo #1,,\LWRsiunitxENDTWO \ifblank {#2}{}{{\LWRsiunitxdecimal }\LWRsiunitxprintdecimalsubtwo
#2,,\LWRsiunitxENDTWO }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxprintdecimal }[1]{\LWRsiunitxprintdecimalsub #1...\LWRsiunitxEND }\)
\(\def \LWRsiunitxnumplus #1+#2+#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}{\ifblank {#1}{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode
{x02B}\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumminus #1-#2-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumplus #1+++\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#1}{}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}}\unicode {x02212}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm #2\pm #3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumminus #1---\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\def \LWRsiunitxnumpm #1+-#2+-#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpmmacro #1\pm \pm \pm \LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\unicode {x0B1}\LWRsiunitxprintdecimal
{#2}\LWRsiunitxdistribunit }}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxnumscientific }[2]{\ifblank {#1}{}{\ifstrequal {#1}{-}{-}{\LWRsiunitxprintdecimal {#1}\times }}10^{\LWRsiunitxprintdecimal {#2}}\LWRsiunitxdistribunit }\)
\(\def \LWRsiunitxnumD #1D#2D#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumpm #1+-+-\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumd #1d#2d#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumD #1DDD\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumE #1E#2E#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumd #1ddd\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnume #1e#2e#3\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnumE #1EEE\LWRsiunitxEND }{\mathrm {\LWRsiunitxnumscientific {#1}{#2}}}}\)
\(\def \LWRsiunitxnumx #1x#2x#3x#4\LWRsiunitxEND {\ifblank {#2}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND }{\ifblank {#3}{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume
#2eee\LWRsiunitxEND }{\LWRsiunitxnume #1eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #2eee\LWRsiunitxEND \times \LWRsiunitxnume #3eee\LWRsiunitxEND }}}\)
\(\newcommand {\num }[2][]{\LWRsiunitxnumx #2xxxxx\LWRsiunitxEND }\)
\(\newcommand {\si }[2][]{\mathrm {\gsubstitute {#2}{~}{\,}}}\)
\(\def \LWRsiunitxSIopt #1[#2]#3{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#3}}{#2}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\LWRsiunitxSI }[2]{\def \LWRsiunitxdistribunit {\,\si {#2}}\num {#1}\def \LWRsiunitxdistribunit {}}\)
\(\newcommand {\SI }[2][]{\ifnextchar [{\LWRsiunitxSIopt {#2}}{\LWRsiunitxSI {#2}}}\)
\(\newcommand {\numlist }[2][]{\text {#2}}\)
\(\newcommand {\numrange }[3][]{\num {#2}\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}}\)
\(\newcommand {\SIlist }[3][]{\text {#2}\,\si {#3}}\)
\(\newcommand {\SIrange }[4][]{\num {#2}\,#4\ \LWRsiunitxrangephrase \ \num {#3}\,#4}\)
\(\newcommand {\tablenum }[2][]{\mathrm {#2}}\)
\(\newcommand {\ampere }{\mathrm {A}}\)
\(\newcommand {\candela }{\mathrm {cd}}\)
\(\newcommand {\kelvin }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\kilogram }{\mathrm {kg}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\mole }{\mathrm {mol}}\)
\(\newcommand {\second }{\mathrm {s}}\)
\(\newcommand {\becquerel }{\mathrm {Bq}}\)
\(\newcommand {\degreeCelsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\coulomb }{\mathrm {C}}\)
\(\newcommand {\farad }{\mathrm {F}}\)
\(\newcommand {\gray }{\mathrm {Gy}}\)
\(\newcommand {\hertz }{\mathrm {Hz}}\)
\(\newcommand {\henry }{\mathrm {H}}\)
\(\newcommand {\joule }{\mathrm {J}}\)
\(\newcommand {\katal }{\mathrm {kat}}\)
\(\newcommand {\lumen }{\mathrm {lm}}\)
\(\newcommand {\lux }{\mathrm {lx}}\)
\(\newcommand {\newton }{\mathrm {N}}\)
\(\newcommand {\ohm }{\mathrm {\Omega }}\)
\(\newcommand {\pascal }{\mathrm {Pa}}\)
\(\newcommand {\radian }{\mathrm {rad}}\)
\(\newcommand {\siemens }{\mathrm {S}}\)
\(\newcommand {\sievert }{\mathrm {Sv}}\)
\(\newcommand {\steradian }{\mathrm {sr}}\)
\(\newcommand {\tesla }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\volt }{\mathrm {V}}\)
\(\newcommand {\watt }{\mathrm {W}}\)
\(\newcommand {\weber }{\mathrm {Wb}}\)
\(\newcommand {\day }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\degree }{\mathrm {^\circ }}\)
\(\newcommand {\hectare }{\mathrm {ha}}\)
\(\newcommand {\hour }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\litre }{\mathrm {l}}\)
\(\newcommand {\liter }{\mathrm {L}}\)
\(\newcommand {\arcminute }{^\prime }\)
\(\newcommand {\minute }{\mathrm {min}}\)
\(\newcommand {\arcsecond }{^{\prime \prime }}\)
\(\newcommand {\tonne }{\mathrm {t}}\)
\(\newcommand {\astronomicalunit }{au}\)
\(\newcommand {\atomicmassunit }{u}\)
\(\newcommand {\bohr }{\mathit {a}_0}\)
\(\newcommand {\clight }{\mathit {c}_0}\)
\(\newcommand {\dalton }{\mathrm {D}_\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\electronmass }{\mathit {m}_{\mathrm {e}}}\)
\(\newcommand {\electronvolt }{\mathrm {eV}}\)
\(\newcommand {\elementarycharge }{\mathit {e}}\)
\(\newcommand {\hartree }{\mathit {E}_{\mathrm {h}}}\)
\(\newcommand {\planckbar }{\mathit {\unicode {x210F}}}\)
\(\newcommand {\angstrom }{\mathrm {\unicode {x212B}}}\)
\(\let \LWRorigbar \bar \)
\(\newcommand {\barn }{\mathrm {b}}\)
\(\newcommand {\bel }{\mathrm {B}}\)
\(\newcommand {\decibel }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\knot }{\mathrm {kn}}\)
\(\newcommand {\mmHg }{\mathrm {mmHg}}\)
\(\newcommand {\nauticalmile }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\neper }{\mathrm {Np}}\)
\(\newcommand {\yocto }{\mathrm {y}}\)
\(\newcommand {\zepto }{\mathrm {z}}\)
\(\newcommand {\atto }{\mathrm {a}}\)
\(\newcommand {\femto }{\mathrm {f}}\)
\(\newcommand {\pico }{\mathrm {p}}\)
\(\newcommand {\nano }{\mathrm {n}}\)
\(\newcommand {\micro }{\mathrm {\unicode {x00B5}}}\)
\(\newcommand {\milli }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\centi }{\mathrm {c}}\)
\(\newcommand {\deci }{\mathrm {d}}\)
\(\newcommand {\deca }{\mathrm {da}}\)
\(\newcommand {\hecto }{\mathrm {h}}\)
\(\newcommand {\kilo }{\mathrm {k}}\)
\(\newcommand {\mega }{\mathrm {M}}\)
\(\newcommand {\giga }{\mathrm {G}}\)
\(\newcommand {\tera }{\mathrm {T}}\)
\(\newcommand {\peta }{\mathrm {P}}\)
\(\newcommand {\exa }{\mathrm {E}}\)
\(\newcommand {\zetta }{\mathrm {Z}}\)
\(\newcommand {\yotta }{\mathrm {Y}}\)
\(\newcommand {\percent }{\mathrm {\%}}\)
\(\newcommand {\meter }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\metre }{\mathrm {m}}\)
\(\newcommand {\gram }{\mathrm {g}}\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\of }[1]{_{\mathrm {#1}}}\)
\(\newcommand {\squared }{^2}\)
\(\newcommand {\square }[1]{\mathrm {#1}^2}\)
\(\newcommand {\cubed }{^3}\)
\(\newcommand {\cubic }[1]{\mathrm {#1}^3}\)
\(\newcommand {\per }{\,\mathrm {/}}\)
\(\newcommand {\celsius }{\unicode {x2103}}\)
\(\newcommand {\fg }{\femto \gram }\)
\(\newcommand {\pg }{\pico \gram }\)
\(\newcommand {\ng }{\nano \gram }\)
\(\newcommand {\ug }{\micro \gram }\)
\(\newcommand {\mg }{\milli \gram }\)
\(\newcommand {\g }{\gram }\)
\(\newcommand {\kg }{\kilo \gram }\)
\(\newcommand {\amu }{\mathrm {u}}\)
\(\newcommand {\nm }{\nano \metre }\)
\(\newcommand {\um }{\micro \metre }\)
\(\newcommand {\mm }{\milli \metre }\)
\(\newcommand {\cm }{\centi \metre }\)
\(\newcommand {\dm }{\deci \metre }\)
\(\newcommand {\m }{\metre }\)
\(\newcommand {\km }{\kilo \metre }\)
\(\newcommand {\as }{\atto \second }\)
\(\newcommand {\fs }{\femto \second }\)
\(\newcommand {\ps }{\pico \second }\)
\(\newcommand {\ns }{\nano \second }\)
\(\newcommand {\us }{\micro \second }\)
\(\newcommand {\ms }{\milli \second }\)
\(\newcommand {\s }{\second }\)
\(\newcommand {\fmol }{\femto \mol }\)
\(\newcommand {\pmol }{\pico \mol }\)
\(\newcommand {\nmol }{\nano \mol }\)
\(\newcommand {\umol }{\micro \mol }\)
\(\newcommand {\mmol }{\milli \mol }\)
\(\newcommand {\mol }{\mol }\)
\(\newcommand {\kmol }{\kilo \mol }\)
\(\newcommand {\pA }{\pico \ampere }\)
\(\newcommand {\nA }{\nano \ampere }\)
\(\newcommand {\uA }{\micro \ampere }\)
\(\newcommand {\mA }{\milli \ampere }\)
\(\newcommand {\A }{\ampere }\)
\(\newcommand {\kA }{\kilo \ampere }\)
\(\newcommand {\ul }{\micro \litre }\)
\(\newcommand {\ml }{\milli \litre }\)
\(\newcommand {\l }{\litre }\)
\(\newcommand {\hl }{\hecto \litre }\)
\(\newcommand {\uL }{\micro \liter }\)
\(\newcommand {\mL }{\milli \liter }\)
\(\newcommand {\L }{\liter }\)
\(\newcommand {\hL }{\hecto \liter }\)
\(\newcommand {\mHz }{\milli \hertz }\)
\(\newcommand {\Hz }{\hertz }\)
\(\newcommand {\kHz }{\kilo \hertz }\)
\(\newcommand {\MHz }{\mega \hertz }\)
\(\newcommand {\GHz }{\giga \hertz }\)
\(\newcommand {\THz }{\tera \hertz }\)
\(\newcommand {\mN }{\milli \newton }\)
\(\newcommand {\N }{\newton }\)
\(\newcommand {\kN }{\kilo \newton }\)
\(\newcommand {\MN }{\mega \newton }\)
\(\newcommand {\Pa }{\pascal }\)
\(\newcommand {\kPa }{\kilo \pascal }\)
\(\newcommand {\MPa }{\mega \pascal }\)
\(\newcommand {\GPa }{\giga \pascal }\)
\(\newcommand {\mohm }{\milli \ohm }\)
\(\newcommand {\kohm }{\kilo \ohm }\)
\(\newcommand {\Mohm }{\mega \ohm }\)
\(\newcommand {\pV }{\pico \volt }\)
\(\newcommand {\nV }{\nano \volt }\)
\(\newcommand {\uV }{\micro \volt }\)
\(\newcommand {\mV }{\milli \volt }\)
\(\newcommand {\V }{\volt }\)
\(\newcommand {\kV }{\kilo \volt }\)
\(\newcommand {\W }{\watt }\)
\(\newcommand {\uW }{\micro \watt }\)
\(\newcommand {\mW }{\milli \watt }\)
\(\newcommand {\kW }{\kilo \watt }\)
\(\newcommand {\MW }{\mega \watt }\)
\(\newcommand {\GW }{\giga \watt }\)
\(\newcommand {\J }{\joule }\)
\(\newcommand {\uJ }{\micro \joule }\)
\(\newcommand {\mJ }{\milli \joule }\)
\(\newcommand {\kJ }{\kilo \joule }\)
\(\newcommand {\eV }{\electronvolt }\)
\(\newcommand {\meV }{\milli \electronvolt }\)
\(\newcommand {\keV }{\kilo \electronvolt }\)
\(\newcommand {\MeV }{\mega \electronvolt }\)
\(\newcommand {\GeV }{\giga \electronvolt }\)
\(\newcommand {\TeV }{\tera \electronvolt }\)
\(\newcommand {\kWh }{\kilo \watt \hour }\)
\(\newcommand {\F }{\farad }\)
\(\newcommand {\fF }{\femto \farad }\)
\(\newcommand {\pF }{\pico \farad }\)
\(\newcommand {\K }{\mathrm {K}}\)
\(\newcommand {\dB }{\mathrm {dB}}\)
\(\newcommand {\kibi }{\mathrm {Ki}}\)
\(\newcommand {\mebi }{\mathrm {Mi}}\)
\(\newcommand {\gibi }{\mathrm {Gi}}\)
\(\newcommand {\tebi }{\mathrm {Ti}}\)
\(\newcommand {\pebi }{\mathrm {Pi}}\)
\(\newcommand {\exbi }{\mathrm {Ei}}\)
\(\newcommand {\zebi }{\mathrm {Zi}}\)
\(\newcommand {\yobi }{\mathrm {Yi}}\)
\(\let \unit \si \)
\(\let \qty \SI \)
\(\let \qtylist \SIlist \)
\(\let \qtyrange \SIrange \)
\(\let \numproduct \num \)
\(\let \qtyproduct \SI \)
\(\let \complexnum \num \)
\(\newcommand {\complexqty }[3][]{(\complexnum {#2})\si {#3}}\)
\(\newcommand {\mleft }{\left }\)
\(\newcommand {\mright }{\right }\)
\(\newcommand {\mleftright }{}\)
\(\newcommand {\mleftrightrestore }{}\)
\(\require {gensymb}\)
\(\newcommand {\intertext }[1]{\text {#1}\notag \\}\)
\(\let \Hat \hat \)
\(\let \Check \check \)
\(\let \Tilde \tilde \)
\(\let \Acute \acute \)
\(\let \Grave \grave \)
\(\let \Dot \dot \)
\(\let \Ddot \ddot \)
\(\let \Breve \breve \)
\(\let \Bar \bar \)
\(\let \Vec \vec \)
\(\require {cancel}\)
\(\newcommand {\Dm }{\operatorname {Dm}}\)
\(\newcommand {\Vm }{\operatorname {Vm}}\)
\(\newcommand {\Var }{\operatorname {Var}}\)
\(\newcommand {\tcbset }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbsetforeverylayer }[1]{}\)
\(\newcommand {\tcbox }[2][]{\boxed {\text {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxfit }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcblower }{}\)
\(\newcommand {\tcbline }{}\)
\(\newcommand {\tcbtitle }{}\)
\(\newcommand {\tcbsubtitle [2][]{\mathrm {#2}}}\)
\(\newcommand {\tcboxmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\tcbhighmath }[2][]{\boxed {#2}}\)
\(\newcommand {\toprule }[1][]{\hline }\)
\(\let \midrule \toprule \)
\(\let \bottomrule \toprule \)
\(\def \LWRbooktabscmidruleparen (#1)#2{}\)
\(\newcommand {\LWRbooktabscmidrulenoparen }[1]{}\)
\(\newcommand {\cmidrule }[1][]{\ifnextchar (\LWRbooktabscmidruleparen \LWRbooktabscmidrulenoparen }\)
\(\newcommand {\morecmidrules }{}\)
\(\newcommand {\specialrule }[3]{\hline }\)
\(\newcommand {\addlinespace }[1][]{}\)
\(\def \LWRsiunitxrangephrase { \protect \mbox {to (numerical range)} }\)
\(\def \LWRsiunitxdecimal {.}\)
1.4 Ligninger
At løse en ligning betyder at finde de mulige værdier for den ubekendte (som normalt betegnes med \(x\)). Man skal altså finde de tal, man kan sætte ind i ligningen, så ligningen bliver sand.
De fleste ligninger, vi møder her i grundforløbet, har netop én løsning, men en ligning kan altså godt have flere løsninger eller slet ingen løsninger.
-
Eksempel 1.4.1
Vi vil undersøge om \(x=3\) er løsning til ligningen \(-x^2+1=10\).
Vi indsætter \(3\) på \(x\)’ets plads:
\[-3^2+1=10\]
og reducerer
\[-8=10\]
Da denne ligning er falsk er \(x=3\) ikke en løsning.
Øvelse 1.4.1
Undersøg om \(x=2\) er en løsning til følgende ligninger:
Har man en meget simpel ligning, kan man regne ud hvad løsningen er bare ved at kigge på ligningen.
Øvelse 1.4.2
Løs ligningerne:
-
a) \(x+2=3\)
-
b) \(4=1+x\)
-
c) \(7x=14\)
Løsning 1.4.2
-
a) \(x=1\)
-
b) \(x=3\)
-
c) \(x=2\)
Det er ikke altid, at man nemt kan se løsningen. Så må man løse ligningen ved at omforme den, så \(x\) står alene på den ene side af lighedstegnet. Dette kaldes også at ”isolere \(x\)”. Reglerne burde være kendt fra folkeskolen,
men her et et eksempel til lige at friske det op.
-
Eksempel 1.4.3
Vi vil løse ligningen \(2x+6-4x =-x-2\). Det gør vi ved at isolere \(x\).
\(\seteqnumber{0}{1.}{0}\)
\begin{align*}
2x+6-4x &=-x-2 && \text {Skriver ligningen op}\\ -2x+6&= -x-2 && \text {Reducerer venstresiden}\\ -2x&= -x-2-6 && \text {Trækker } 6 \text { fra på begge
sider}\\ -2x &=-x-8 && \text {Reducerer højresiden}\\ -2x+x&=-8 && \text {Lægger } x \text { til på begge sider}\\ -x&=-8 && \text {Reducerer
venstresiden}\\ x&=8 && \text {Ganger med } -1 \text { på begge sider}\\
\end{align*}
Øvelse 1.4.3
Løs ligningerne ved at isolere \(x\) som i ovenstående eksempel.
-
a) \(2(x+1)=12\)
-
b) \(2-x=10\)
-
c) \((x-2)\cdot 3=5x\)
Løsning 1.4.3
-
a) \(x=5\)
-
b) \(x=-8\)
-
c) \(x=-3\)
Ikke alle ligninger har løsninger.
Øvelse 1.4.4
Løs ligningerne:
-
a) \(x+5=7\)
-
b) \(-(x+2)=10\)
-
c) \(x+(3+x)=-4\)
-
d) \(x+4=x+2\cdot 3\)
-
e) \(2-(2-x)=10x\)
-
f) \(2x-2=2(x-1)\)
Løsning 1.4.4
-
a) \(x=2\)
-
b) \(x=-12\)
-
c) \(x=-3{,}5\)
-
d) Har ingen løsninger.
-
e) \(x=0\)
-
f) Alle tal er løsning.
Løsningsmængde og grundmængde
Mængden af løsninger til en ligning kaldes løsningsmængden og betegnes med \(L\).
-
Eksempel 1.4.5
Betragt ligningen \(2x=8\). Deler vi med \(2\) på begge sider får vi løsningen \(x=4\). Løsningsmængden er
\[L=\{4\}\]
Betragt i stedet ligningen \(x+1=x\). Den ligning har vi set før og der konkluderede vi, at den ikke havde nogle løsninger. Løsningsmængden bliver derfor:
\[L=\emptyset \]
Øvelse 1.4.5
Bestem løsningsmængden til følgende ligninger
-
a) \(-(2-x)=x\)
-
b) \(2x=4(x+3)\)
-
c) \(3(x+2)+2=3x+8\)
Løsning 1.4.5
-
a) \(L=\emptyset \)
-
b) \(L=\{-6\}\)
-
c) \(L=\mathbb {R}\)
Skal man tjekke om et tal er løsning til en ligning, sætter man tallet ind i ligningen og ser om ligningen bliver sand. Men vi kan risikere, at man slet ikke kan sætte tallet ind i ligningen. Mængden af tal, som kan sættes ind i
ligningen kaldes for grundmængden og betegnes med \(G\).
-
Eksempel 1.4.6
Betragt ligningen \(x+1=2x+5\). Vi har:
\[G=\mathbb {R}\]
fordi man kan sætte alle tal ind i ligningen. Det er ikke sikkert, at ligningen bliver sand, men vi kan regne både venstre og højresiden af ligningen uden problemer uanset hvilket tal vi sætter ind.
Betragt nu ligningen
\[\frac {1}{x-2}=4\]
Hvis vi sætter \(2\) ind på \(x\)’ets plads kommer der til at stå nul i nævneren, det er ikke godt, da man ikke kan dele med nul. Derfor er \(2\) ikke med i grundmængden. Man kan dog sætte alle andre tal ind i ligningen så:
\[G=\mathbb {R}\setminus \{2\}\]
Øvelse 1.4.6
Bestem grundmængden for følgende ligninger
Løsning 1.4.6
-
a) \(G=\mathbb {R}\setminus \{0\}\)
-
b) \(G=\mathbb {R}\setminus \{3\}\)
-
c) \(G=[0;\infty [\)
-
d) \(G=[-1;\infty [\setminus \{0\}\)
To ligninger med to ubekendte (Mat-A)
Nogle ligninger indeholder mere end én ubekendt.
Skal man løse en ligning med flere ubekendte skal man bestemme hvilke værdier af de ubekendte, som gør ligningen sand.
-
Eksempel 1.4.8
Ligningen \(x+y=10\) har \(x=0\) og \(y=10\) som løsning. Indsætter vi disse tal i ligningen bliver den nemlig sand. Men der er dog andre løsninger også. F.eks. \(x=1\) og \(y=9\). Faktisk har
ligningen uendelig mange løsninger, da der er uendelig mange talpar, der tilsammen giver \(10\) (husk at man også kan bruge negative tal).
Vi har netop set, at en ligning med to ubekendte kan have uendelig mange løsninger. Sådan er det typisk. Men har man to ligninger med to ubekendte, vil der ofte kun være en løsning, som opfylder begge ligninger.
Der findes en simpel systematisk måde at løse to ligninger med to ubekendte. Den er nemmest at forklare igennem et eksempel:
-
Eksempel 1.4.10
Vi vil løse ligningssystemet:
\[x+y=10\qquad \text {og} \qquad x-y=0\]
Vi starter med at isolere \(x\) i den første ligning. Det giver:
\[x=10-y\]
Nu erstatter vi \(x\) i den anden ligning med det \(x\) vi lige har fundet. Den anden ligning var \(x-y=0\) og indsætter vi \(x=10-y\) i den får vi:
\[10-y-y=0\]
Det er nemt at se at \(y=5\) er løsning til denne ligning. Vi indsætter nu denne \(y\)-værdi i den første ligning. Altså vi indsætter \(y=5\) i ligningen \(x+y=10\). Det giver
\[x+5=10\]
Denne ligning har løsning \(x=5\) og vi konkludere at ligningssystemet (de to ligninger tilsammen) har løsning
\[x=5\qquad \text {og} \qquad y=5\]
Man bestemmer selv, hvilken en ligning man starter med, og hvilken en ubekendt man isolere. Det går godt, så længe man indsætter den isolerede variabel i den ligning, man ikke tog udgangspunkt i. Der er også valgfrihed i forhold
til, hvilken en ligning man sætter ind i til sidst, når man altså har fundet en af de to variable.
Øvelse 1.4.7
Løs ligningssystemerne med metoden fra eksempel 1.4.10.
Det er ikke altid, at der er netop én løsning, når man har to ligninger med to ubekendte. Nogle gange har de uendelig mange løsninger, og nogle gange har de slet ikke nogle.
Ekstra om ligninger med brøker
Ligninger med brøker løses nemmest ved at gange igennem med et tal, der får brøkerne til at forsvinde.
-
Eksempel 1.4.11
Vi vil løse ligningen \(\frac {2}{3}x+4=\frac {25}{6}\).
Vi vil gerne af med brøkerne og da \(6\) er fællesnævner for brøkerne, ganger vi med \(6\) på begge sider.
\[6\cdot \frac {2}{3}x+6\cdot 4 =6\cdot \frac {25}{6}\]
Vi ganger ud:
\[4x+24 = 25\]
Denne ligning skulle du gerne kunne løse uden problemer. Løsningen er
\[x=\frac {1}{4}\]
Øvelse 1.4.8
Løs ligningerne ved brug af metoden fra eksempel 1.4.11
Man kan også komme ud for at den ubekendte står i nævneren. Her kan man igen benytte samme strategi med at gange igennem med et tal, som får brøkerne til at forsvinde.
-
Eksempel 1.4.12
Vi vil løse ligningen
\[\frac {2}{x+1}+1=\frac {4}{3}\]
Vi ganger igennem med \(3(x+1)\), da det er fællesnævner for de to brøker i ligningen.
\[3(x+1)\frac {2}{x+1}+3(x+1)1=3(x+1)\frac {4}{3}\]
Vi reducerer.
\[3\cancel {(x+1)}\frac {2}{\cancel {x+1}}+3(x+1)1=\cancel {3}(x+1)\frac {4}{\cancel {3}}\]
Vi får så:
\[3\cdot 2+3(x+1)=(x+1)\cdot 4\]
Denne ligning kan nu løses på sædvanligvis og det giver:
\[x=5\]
Øvelse 1.4.9
Løs ligningerne
Løsning 1.4.9
-
a) \(x=\frac {1}{2}\)
-
b) \(x=-1\)
Ekstra om ligninger med numerisk værdi
Vi husker, at numerisk værdi betyder at man ”fjerne minusset hvis der er et”.
-
Eksempel 1.4.13
Vi vil løse ligningen \(|x|=8\). Vi skal altså finde et tal, sådan at man får \(8\), når man tager den numeriske værdi. Det er der to tal der opfylder, nemlig \(x=8\) og \(x=-8\). Så ligningen
har altså to løsninger. Man kan opskrive løsningerne på følgende måde
\[x=-8\quad \vee \quad x=8\]
Tegnet ”\(\vee \)” betyder ”eller”.
-
Eksempel 1.4.14
Vi vil løse ligningen \(|x+5|+1=3\). Vi starter med at isolere den numeriske værdi:
\[|x+5|=2\]
Så \(x+5\) skal altså give \(2\) når vi fjerner et evt. minus. Det giver os to muligheder:
\[x+5=2\quad \vee \quad x+5=-2\]
Løser vi disse to ligninger får vi
\[x=-3\quad \vee \quad x=-7\]
og dette er løsningerne til den oprindelige ligning.
Øvelse 1.4.10
Løs ligningerne
-
a) \(|x|=4\)
-
b) \(2=|x-3|\)
-
c) \(|2x+4|=3x\)
-
d) \(|x|=-3\)
Løsning 1.4.10
-
a) \(x=-4\quad \vee \quad x=4\)
-
b) \(x=1 \quad \vee \quad x=5\)
-
c) \(x=-\frac {4}{5} \quad \vee \quad x=4\)
-
d) Der er ingen løsninger.