68-95-99,7-reglen

Vi har lært at standardafvigelsen $$\sigma$$ viser hvor "flad" normalfordelingen er. Jo større $$\sigma$$, jo fladere tæthedsfunktion. Vi skal nu se på en regel som kan give os en endnu bedre fornemmelse for standardafvigelsens betydning for tæthedsfunktionen.

68-95-99,7-reglen

📌

For en normalfordelt stokastisk variabel $$X\sim N(\mu,\sigma)$$ gælder følgende:

Sandsynligheden for at $$X$$ ligger indenfor en afstand af $$1\sigma$$ fra $$\mu$$ er 68%.
Sandsynligheden for at $$X$$ ligger indenfor en afstand af $$2\sigma$$ fra $$\mu$$ er 95%.
Sandsynligheden for at $$X$$ ligger indenfor en afstand af $$3\sigma$$ fra $$\mu$$ er 99,7%.

Eksempel 1

📌

Vi vil illustrere sidste del af 68,95,99,7-reglen. Altså at sandsynligheden for at $$X$$ ligger indenfor en afstand af $$3\sigma$$ fra $$\mu$$ er 99,7%.

Vi tegner en normalfordeling i Geogebra:

Tæthedsfunktion

Det er standardnormalfordelingen $$X\sim N(0,1)$$, men vi kunne have valgt hvilken som helst $$\mu$$ og $$\sigma$$.

Vi skal nu finde sandsynligheden for at $$X$$ ligger indenfor en afstand af $$3\sigma=3\cdot 1=3$$ fra $$\mu$$. Da $$\mu=0$$ må det svare til at $$X$$ skal ligge imellem -3 og 3. Vi skal altså finde $$P(-3\leq X\leq 3)$$. Det gør vi i Geogebra og får:

Tæthedsfunktion

Hvilket jo svarer til $$99{,}73\%\approx 99{,}7\%$$

Øvelse 1

📌
Tjek som i eksempel 1 de to første påstande i 68-95-99,7-reglen.

Jojo de er gode nok.

Øvelse 2 (svær)

📌

Man kan formulere 68-95-99,7-reglen mere præcist på følgende måde:

68-95-99,7-reglen

For en normalfordelt stokastisk variabel $$X\sim N(\mu,\sigma)$$ gælder følgende:

$$P(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma)\approx68\%$$
$$P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu+2\sigma)\approx95\%$$
$$P(\mu-3\sigma\leq X\leq \mu+3\sigma)\approx 99{,}7\%$$

Gør rede for at denne formulering svarer til den der står i starten af afsnittet.

Lidt svært at angive et facit her.

Øvelse 3

📌

Normalfordelingen $$X\sim N(0;1)$$ kaldes standardnormalfordelingen.

Uden at bruge Geogebra skal du bestemme følgende sandsynligheder for standardnormalfordelingen.

  1. $$P(X\geq 0)$$

    50%

  2. $$P(-1 \leq X\leq 1)$$ (VINK: brug 68-95-99,7-reglen)

    68%

  3. $$P(X\leq -2)$$ (VINK: brug 68-95-99,7-reglen)

    Bruger man 68-95-99,7-reglen giver det 2,5%.

Øvelse 4

📌

En Amerikaner vil gerne starte en skofabrik. Han ved at skostørrelser for mænd er normalfordelt $$X\sim N(11;1{,}5)$$.

  1. Hvad er middelværdien og standardafvigelsen?

    Middelværdien er 11 og standardafvigelsen er 1,5.

  2. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig mand bruger mindre end 9,5 i sko? Kan du svare på det uden at åbne Geogebra?

    Den er ca. 16%.

  3. Ud fra 68-95-99,7-reglen, kom med et forslag til hvilken størrelser han skal producere, hvis han gerne vil have størrelser til næsten alle. Igen er det meningen at du skal kunne svare på det uden at bruge Geogebra.

    Han skal producere sko i størrelserne 6,5-15,5. Så har han 99,7% af mændene som potentielle kunder.