Lineære funktioner i to variable
Vi husker at en funktion består af sammenhængen mellem nogle $$x$$-værdier og de tilhørende $$y$$-værdier. Dette er ikke rigtigt for funktioner i to variable.
Når man har funktioner i to variable er $$y$$-værdien en uafhængig variabel ligesom $$x$$. Funktionen beskriver så sammenhængen mellem punktern $$(x,y)$$ og de tilhørende funktionsværdier som vi betegner med $$z$$. Vi skriver $$f(x,y)=z$$. Dette er nemmest at forstå ved at se på et eksempel.
Eksempel 1
Vi kigger på funktionen $$f(x,y)=x+y$$. Denne funktion tager $$x$$-værdien og lægger den sammen med $$y$$-værdien. F.eks. er $$f(2,4)=2+4=6$$.
Øvelse 1
-
Beregne $$f(3,7)$$ for funktionen $$f(x,y)=x+y$$.
$$f(3,7)=3+7=10$$
-
Bestem $$f(4,1)$$ for funktionen $$f(x,y)=3x+2y-5$$.
$$f(4,1)=3\cdot 4+2\cdot 1 -5=9$$
Definition 1
En lineær funktion i to variable er en funktion på formen $$$f(x,y)=ax+by+c$$$
Øvelse 2
Funktionerne fra øvelse 1 er begge lineære funktioner i to variable.
-
Bestem $$a$$, $$b$$ og $$c$$ for funktionen $$f(x,y)=3x+2y-5$$.
$$a=3$$, $$b=2$$ og $$c=-5$$
-
Bestem $$a$$, $$b$$ og $$c$$ for funktionen $$f(x,y)=x+y$$.
$$a=1$$, $$b=1$$ og $$c=0$$
Øvelse 3
Bestem hvilken af følgende funktioner der er lineære funktioner i 2 variable.
-
$$f(x,y)=2x-3y+1$$
Er lineær funktion i to variable
-
$$f(x,y)=x^2+2y$$
Er ikke lineær funktion i to variable
-
$$f(x,y)=x$$
Er lineær funktion i to variable
-
$$f(x,y)=0$$
Er lineær funktion i to variable
Kriteriefunktionen
Når vi laver lineær programmering, kalder vi den lineære funktion i to variable for kriteriefunktionen, og den beskriver det vi gerne vil optimere. Vi vil nu opstille kriteriefunktionen for eksemplet i indledningen. Altså vi har en tøjproducent som producerer bukser og jakker. Dækningsbidraget for bukser er 500kr. pr. par og dækningsbidraget for jakker er 400 kr. pr. jakke. Kalder vi antallet af solgte bukser for $$x$$ og antallet af solgte jakker for $$y$$ kan det samlede dækningsbidrag beskrives ved kriteriefunktionen: $$$f(x,y)=500x+400y$$$
Øvelse 4
En elev fra Niels Brock spiller gentagende gange computer og skak med sin far. Hvert spil skak tager en halv time og hvert spil computer tager 1,5 timer.
-
Hvis du vil opskrive kriteriefunktionen der beskriver elevens samlede tidsforbrug, hvad skal $$x$$ og $$y$$ stå for?
$$x$$ er antallet af gange eleven spiller skak, og $$y$$ er antallet af gange eleven spiller computer.
-
Opstil kriteriefunktionen.
$$f(x,y)=0{,}5x+1{,}5y$$
Grafen for en lineær funktion i to variable
Vi er vandt til at tegne funktioner ved at afsætte $$x$$-værdien ud af $$x$$-aksen og $$y$$-værdien ud af $$y$$-aksen, men hvordan gør man mon når man har en lineær funktion i 2 variable? Her har vi jo ud over $$x$$ og $$y$$-værdien også en $$z$$-værdi. Skal man tegne sådan en funktion, er man nødt til at have et koordinatsystem med tre akser og da alle akserne skal stå vinkelret på hinanden, skal man bruge et 3d koordinatsystem som dette:
Vi skal dog ikke tegne 3d koordinatsystemer. I stedet for at tegne funktionerne tegner vi deres niveaulinjer. Mere om det i næste afsnit... spændende....