Bestemmelse af værdimængde ved hjælp af differentialregning

Vi har set hvordan man kan beregne ekstrema for begrænsede funktioner. Derfra er der ikke langt til at bestemme værdimængden. For har man en begrænset funktion, må værdimængden nødvendigvis være afgrænset af de globale ekstrema eller funktionsværdierne i endepunkterne. Så skal vi finde værdimængden ved beregning skal vi altså gøre følgende:

  1. Bestemme ekstremumsværdierne
  2. Bestemme funktionsværdierne ved endepunkterne
  3. Finde den mindste og største blandt de fundne værdier. Værdimængen er intervallet fra den mindste til den største værdi.

Eksempel 1

📌

Vi vil bestemme værdimængden for funktionen $$$f(x)=2x^3-3x^2-12x+5, \quad\textrm{ hvor } x\in [-2;4[$$$

Vi skal første beregne ekstrema, så vi finder $$f'(x)$$: $$$f'(x)=6x^2-6x-12$$$

Vi sætter $$f'(x)=0$$, og da $$f'$$ et andengradspolynomium, skal vi regne diskriminanten først:

$$$d=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 6\cdot(-12)=36+288=324$$$

Vi Insætter nu i nulpunksformlerne og ser at: $$$x_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{-(-6)+\sqrt{324}}{2\cdot 6}=\frac{24}{12}=2$$$ og $$$x_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{-(-6)-\sqrt{324}}{2\cdot 6}=\frac{-12}{12}=-1.$$$

Vi regner nu funktionsværdierne i de to mulige ekstremumssteder samt endepunkterne:

$$x$$ -2 -1 2 4
$$f(x)$$ 1 12 -15 37

Bemærk at funktionsværdien i 4 er lidt en snyder, da funktionen strengt taget ikke er defineret i $$x=4$$. På den måde er det ikke rigtigt at $$f(4)=37$$, men funktionen kommer helt op til punktet.

Vi kigger nu på funktionsværdierne og kan se at $$$\textrm{Vm}(f)=[-15;37[$$$

Vi tegner I Geogebra og tjekker om vi har regnet rigtigt:

Det ser rigtigt ud hurra hurra!

Øvelse 1

📌

Bestem værdimængden for følgende funktioner ved beregning:

  1. $$f(x)=2x^2-8x+4$$, hvor $$x\in]3;4]$$

    $$\textrm{Vm}(f)=]-2;4]$$

  2. $$f(x)=x\cdot e^x$$, hvor $$x\in ]-4;2[$$ (den er herresvær)

    $$\textrm{Vm}(f)=[-0{,}37;14{,}78[$$