Tretrinsreglen

Indtil videre har vi lært at man kan differentiere funktioner ved at slå op i tabeller (regneregler) eller bruge computer. Nu skal vi se hvordan man kan regne differentialkvotienter uden at bruge tabel eller computer.

Vi husker definitionen af differentialkvotienten:

Definition 1

📌

Lad $$f(x)$$ være en funktion. Hvis grænseværdien $$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$$ eksisterer for alle $$x\in\textrm{Dm}(f)$$ siges $$f(x)$$ at være differentialbel. Differentialkvotienten $$f'(x)$$ er da givet ved:

$$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$$

Har vi en differentiabel funktion kan vi altså ifølge definition 1 bestemme differentialkvotienten med følgende udtryk: $$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$$ Det er lidt af en mundfuld og derfor deler vi det op i tre mindre dele. Det bliver til tretrinsreglen:

Tretrinsreglen

📌

Lad $$f(x)$$ være en differentialbel funktion. Man finder differentialkvotienten ved følgende process:

  1. Opskriv differenskvotienten (sekantens hældning): $$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$$

  2. Reducer differenskvotienten så meget som du kan.

  3. Bestem grænseværdien af differenskvotienten: $$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$$

Vi regner et eksempel

Eksempel 1

📌

Vi vil bestemme differentialkvotienten for funktionen $$f(x)=x^2$$.

  1. Vi skal først opskrive differenskvotienten: $$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$$ Da $$f(x)=x^2$$ bliver dette til $$$\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}$$$

  2. Vi skal nu reducere. Vi husker vores kvadratsætninger og får: $$$\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}.$$$ Vi ser at $$x^2$$'erne i tælleren går ud: $$$\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x},$$$ og da $$\Delta x$$ optræder i alle led i tæller og nævner kan vi forkorte brøken med $$\Delta x$$: $$$ 2x+\Delta x,$$$ og vi kan ikke reducere den mere.

  3. Vi skal nu finde grænseværdien: $$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} (2x+\Delta x).$$$ Vi forstiller os at $$\Delta x$$ bliver uendelig småt, hvad er der så tilbage? Det må være $$2x$$. Altså er $$$f'(x)=2x.$$$

I forrige afsnit undersøgte vi funktionen $$f(x)=x^2$$, og ved at tegne tangenter så vi at tangentens hældning altid var det dobbelte af den tilhørende $$x$$-værdi så derfor måtte $$f'(x)=2x$$. Vi vil nu bruge tretrinsreglen til at vise at dette virkelig er rigtigt.

Øvelse 1

📌
Benyt tretrinsreglen til at finde $$f'(x)$$ når $$f(x)=-x^2$$

$$f'(x)=-2x$$

Øvelse 2

📌
Benyt tretrinsreglen til at finde $$f'(x)$$ når $$f(x)=x^2+1$$

$$f'(x)=2x$$

Øvelse 3

📌
Benyt tretrinsreglen til at finde $$f'(x)$$ når $$f(x)=2x^2$$

$$f'(x)=4x$$

Øvelse 4

📌
Benyt tretrinsreglen til at finde $$f'(x)$$ når $$f(x)=2x+1$$

$$f'(x)=2$$

Øvelse 5

📌
Benyt tretrinsreglen til at finde $$f'(x)$$ når $$f(x)=0$$

$$f'(x)=0$$