Tangenter og sekanter
Tangenter
Vi har brug for at kunne sætte et tal på hvor meget en funktion vokser eller aftager i et punkt. Det gør vi ved at kigge på funktions tangent. En tangent er en linje som ligger op ad grafen som her:
Tangenten er karakteriseret ved at når man zoomer langt ind kan man næsten ikke se forskel på grafen og tangenten. På nedenstående billeder har jeg zoomet ind på punktet:
Vi kan se at inde tæt på punktet er det umuligt at se forskel på grafen og tangenten.
Nedenunder ses en funktion og en tangent til et punkt $$P$$ på grafen for funktionen. Træk i skyderen for at flytte punktet og se hvordan tangenten kommer til at se ud.
Tangenter er lineære funktioner som vi husker har forskriften $$f(x)=ax+b$$. Vi kan derfor beskrive tangenten med ligningen $$$y=ax+b.$$$ Læg mærke til at vi skriver $$y$$ i stedet for $$f(x)$$ når det er en tangent vi vil beskrive. Vi husker at $$a$$ er hældningen og $$b$$ er skæringspunktet med $$y$$-aksen. Vi husker også at hældningen er det stykke vi går op eller ned (hvis hældning er negativ), hver gang vi går 1 ud af $$x$$-aksen.
Øvelse 1
Betragt tangenten:
Bestem tangentens hældning
Hældningen er -0,5.
Øvelse 2
Betragt tangenten:
Bestem tangentens ligning
$$y=2x-1$$
Sekanter
Når man laver differentialregning er man interesseret i tangentens hældning. Der er dog en udfordring.... Hvordan finder vi den? Indtil videre har vi set nogle eksempler, hvor jeg har tegnet tangenten ind, men typisk har man bare en funktion og et punkt:
Hvordan beregner vi tangenten i $$P$$? Vi husker (selvom det er lang tid siden), at hvis man vil beregne hældningen for en lineær funktion, skal man kende to punkter. Vi kender kun et uuhhhuhhuuhhuhu....
Vejen til at finde tangentens hældning går via sekanten. En sekant er en linje, der går igennem to punkter på grafen. Vi tilføjer nu et til (tilfældigt) punkt til på grafen og tegner en sekant gennem de to punkter:
Vi kan så beregne sekantens hældning vha. den gode gamle formel $$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$$
Øvelse 3
Betragt sekanten gennem punkterne $$P$$ og $$Q$$:
-
Beregn vha. ovenstående formel hældningen for sekanten gennem de to punkter $$P$$ og $$Q$$:
Se b)
-
Aflæs sekantens hældning og sammenlig med dit resultat i a).
Du behøver ikke noget facit, da du har fundet dit facit på to forskellige måder. Hvis dine to facit er ens, kan du være tilfreds.
Hvordan vi så kommer fra sekant til tangent, skal vi se i et senere afsnit. Spændende er det.