Differentialregning - Beviser
Bevis for differentialkvotienten for en lineær funktion
Vi vil bevise sætningen
Sætning 1
For en lineær funktion $$f(x)=ax+b$$ er differentialkvotienten givet ved $$f'(x)=a$$.
i en øvelse!
Øvelse 1
Brug tretrinsreglen til at bevise ovenstående sætning
Du går til tavlen og viser mig det:-)
Bevis for tangentens ligning
Vi vil nu bevise den sætning der kan bruges til at bestemme tangentens ligning. Fremgangsmåden er magen til den vi brugte til at finde tangentens ligning inden sætningen blev introduceret.
Første skridt
Vi starter med at opskrive sætningen
Sætning 2
Lad $$f$$ være en differentiabel funktion. Da er tangenten gennem punktet $$(x_0,f(x_0))$$ givet ved ligningen: $$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$$
Næste skridt
Bevis
Tangenten er en linje med ligningen $$y=ax+b$$. Vi skal bestemme $$a$$ og $$b$$.
Næste skridt
Vi starter med $$a$$. Vi husker at man kan bruge differentialkvotienten til at finde hældningen. Så tangentens hældning $$a$$ i punktet $$(x_0,f(x_0))$$ er givet ved $$f'(x_0)$$.
Næste skridt
Vi vil nu bestemme $$b$$. Det gør vi ved at indsætte i ligningen $$y=ax+b$$. Vi ved at $$a=f'(x_0)$$ så det kan vi sætte ind: $$$y=f'(x_0)x+b.$$$
Næste skridt
Vi ved også at tangenten går igennem $$(x_0,f(x_0))$$ så det punkt skal passe ind i tangentens ligning, når vi udskifter $$x$$ med $$x_0$$ og $$y$$ med $$f(x_0)$$:
$$$f(x_0)=f'(x_0)x_0+b.$$$
Næste skridt
Vi isolerer $$b$$
$$$b=f(x_0)-f'(x_0)x_0$$$
Næste skridt
Nu har vi både $$$a=f'(x_0)$$$ og $$$b=f(x_0)-f'(x_0)x_0$$$ som vi sætter ind i ligningen $$y=ax+b$$: $$$y=f'(x_0)x+f(x_0)-f'(x_0)x_0.$$$
Næste skridt
Vi bytter rundt på rækkefølgen: $$$y=f'(x_0)x-f'(x_0)x_0+f(x_0),$$$
Sidste skridt
og sætter $$f'(x_0)$$ ud foran en parentes $$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0),$$$ og vi er færdige!
Beviser for sætninger hvor grænseværdier er i spil
I beviserne får vi brug for nogle egenskaber for grænseværdier:
Regler for grænseværdier
Antag at grænseværdierne $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$$ og $$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$$ findes og lad $$k$$ være en vilkårlig konstant. Da gælder:
Regel 1: $$$\lim_{x\rightarrow a}\big(k\cdot f(x)\big)=k\cdot \lim_{x\rightarrow a}f(x)$$$
Regel 2: $$$\lim_{x\rightarrow a}\big( f(x)+g(x) \big) = \lim_{x\rightarrow a}f(x)+\lim_{x\rightarrow a}g(x)$$$
Regel 3: $$$\lim_{x\rightarrow a}\big( f(x)-g(x) \big) = \lim_{x\rightarrow a}f(x)-\lim_{x\rightarrow a}g(x)$$$
Regel 4: $$$\lim_{x\rightarrow a}\big( f(x)\cdot g(x) \big) = \lim_{x\rightarrow a}f(x)\cdot \lim_{x\rightarrow a}g(x)$$$
Beviser for opbyggede funktioner
Vi vil nu bevise nogle af reglerne for differentiation af opbyggede funktioner. Vi bruger selvfølgelig tretrinsreglen.
Bevis for reglen om differentiation af en konstant gange en funktion
Første skridt
Vi starter at med at opskrive den sætning vi gerne vil vise.
Sætning 3
Lad $$f$$ være en differentiabel funktion og $$k$$ en konstant. Da er $$h(x)=k\cdot f(x)$$ differentiabel og differentialkvotienten er $$h'(x)=k\cdot f'(x)$$.
Næste skridt
Bevis
Vi bruger tretrinsreglen:
Trin 1: Opskriv differenskvotienten:
$$$\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}.$$$
Næste skridt
Da $$h(x+\Delta x)=k\cdot f(x+\Delta x)$$ og $$h(x)=k\cdot f(x)$$ bliver differenskvotienten til:
$$$\frac{k\cdot f(x+\Delta x)-k\cdot f(x)}{\Delta x}.$$$
Næste skridt
Trin 2: Vi skal nu reducere differenskvotienten. Vi sætter $$k$$ ud foran en parentes: $$$\frac{k( f(x+\Delta x)- f(x))}{\Delta x},$$$
Næste skridt
og flytter $$k$$ ned foran brøken: $$$k\frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}.$$$
Sidste skridt
Trin 3: Vi skal nu undersøge om differenskvotienten har en grænseværdi for $$x$$ gående mod nul. Vi skal altså kigge på:
$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( k\frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}\big).$$$
Da $$f$$ er differentiabel ved vi at grænseværdien $$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( \frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}\big)$$ findes så vi kan bruge regel 1 for grænseværdier til at flytte $$k$$ ud foran "lim":
$$$k\cdot\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( \frac{f(x+\Delta x)- f(x)}{\Delta x}\big)= k\cdot f'(x),$$$
og $$h$$ er altså differentiabel med differentialkvotient $$h'(x)=k\cdot f'(x)$$.
Bevis for reglen om differentiation af en sum af to funktioner
Første skridt
Vi vil gerne bevise at:
Sætning 4
Lad $$f$$ og $$g$$ være differentiable funktioner. Da er $$h(x)=f(x)+g(x)$$ differentiabel og differentialkvotienten er $$h'(x)=f'(x)+g'(x)$$.
Næste skridt
Bevis
Vi bruger tretrinsreglen:
Trin 1: Opskriv differenskvotienten:
$$$\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}.$$$
Næste skridt
Da $$h(x+\Delta x)=f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)$$ og $$h(x)=f(x)+g(x)$$ bliver differenskvotienten til:
$$$\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-\big(f(x)+g(x)\big)}{\Delta x}.$$$
Næste skridt
Trin 2: Vi skal nu reducere differenskvotienten. Vi ophæver parentesen i tælleren:$$$\frac{f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)-f(x)-g(x)}{\Delta x},$$$
Næste skridt
og ændrer lidt på rækkefølgen: $$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.$$$
Næste skridt
Vi deler brøken op: $$$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.$$$
Sidste skridt
Trin 3: Vi skal nu undersøge om differenskvotienten har en grænseværdi for $$x$$ gående mod nul. Vi skal altså kigge på:
$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big( \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\big).$$$
Vi genkender de to led inde i parenteserne som differenskvotienterne (differens - ikke differential) for $$f$$ og $$g$$. Da vi ved at $$f$$ og $$g$$ er differentiable ved vi, at hvis vi lader $$\Delta x\rightarrow 0$$, så vil de to differenskvotienter have en grænseværdi (nemlig $$f'(x)$$ og $$g'(x)$$), og vi kan derfor bruge Regel 2 til at dele udtrykket op:
$$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x},$$$
hvilket er det samme som $$f'(x)+g'(x)$$.
Vi konkluderer at $$h$$ er differentiabel med differentialkvotient $$h'(x)=f'(x)+g'(x)$$.
Øvelse 2
Reglen for differens ligner reglen for sum ($$h(x)=f(x)+g(x)$$) og bevises på tilsvarende måde.
Sætning
Lad $$f$$ og $$g$$ være differentiable funktioner. Da er $$h(x)=f(x)-g(x)$$ differentiabel og differentialkvotienten er $$h'(x)=f'(x)-g'(x)$$.
Bevis sætningen
Spørg mig.
A-niveau beviser
Bevis for at differentiable funktioner er kontinuerte
Første skridt
Vi opskriver sætningen
Sætning 5
Alle differentiable funktioner er kontinuerte.
Næste skridt
Vi vil gerne vise at $$f$$ er kontinuert og det vil vi gøre ved at vise at $$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} f(x+\Delta x)=f(x)$$$
Næste skridt
Antag at $$f$$ er differentiabel. Dette betyder at $$f$$ har en differentialkvotient $$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$$
Næste skridt
Vi vil nu gøre noget smart. Vi vil gange med nul på begge sider. Normalt er det ikke nogen fantastisk idé at gange igennem med nul, men vil vil gøre det på en snedig måde. På højre side vil vi nemlig skrive nul som $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} (\Delta x)$$. Det kan vi selvfølgelig gøre fordi at denne grænseværdi er nul. $$$f'(x)\cdot 0 = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot \lim_{\Delta x\rightarrow 0} (\Delta x)$$$
Næste skridt
Venstresiden er bare nul og vi bruger Regel 4 for grænseværdier til at omskrive højresiden: $$$0 = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\big(\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot \Delta x \big)$$$
Næste skridt
Vi reducerer $$$0 = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} (f(x+\Delta x)-f(x))$$$
Næste skridt
Vi lægger nu $$f(x)$$ til på begge sider. På højresiden vil vi skrive $$f(x)$$ som $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} f(x)$$. Det må vi gøre fordi at $$f(x)$$ ikke indeholder noget $$\Delta x$$ og derfor ikke ændrer sig når $$\Delta x\rightarrow 0$$. $$$f(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} (f(x+\Delta x)-f(x))+ \lim_{\Delta x\rightarrow 0} f(x)$$$
Næste skridt
Vi bruger Regel 2 for grænseværdier og samler udtrykket til én grænseværdi. $$$f(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \big(f(x+\Delta x)-f(x)+ f(x)\big)$$$
Sidste skridt
Vi reducerer $$$f(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} f(x+\Delta x)$$$
og ånder lettet op, fordi vi er endt med det udtryk vi gerne ville nå frem til (se skridt nummer 2).
Bevis for regel for differentation af et produkt