Differentialkvotienter ved tabelopslag

Vi har lært hvad en differentialkvotient er, men ikke rigtig hvordan man finder den. Jaja vi har fundet nogle enkle differentialkvotienter ved at tegne tangenter og aflæse hældninger, men det er jo upræcist!

Det er ikke svært at finde en differentialkvotient. Den kan man slå op i en tabel.

Nedenunder ses en tabel over differentialkvotienter for nogle udvalgte funktioner.

$$f(x)$$ $$f'(x)$$
$$k$$ ($$k$$ er en konstant). $$0$$
$$x$$ $$1$$
$$x^a$$ $$ax^{a-1}$$
$$\sqrt{x}$$ $$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$\frac{1}{x}$$ $$-\frac{1}{x^2}$$
$$e^x$$ $$e^x$$
$$a^x$$ $$\textrm{ln}(a)\cdot a^x$$
$$\textrm{ln}(x)$$ $$\frac{1}{x}$$

Eksempel 1

📌

Lad $$f(x)=\sqrt{x}$$. Vil vil gerne bestemme $$f'(x)$$.

Vi kigger i tabellen og konstaterer at $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Øvelse 1

📌

Bestem ved tabelopslag $$f'(x)$$ for følgende funktioner

  1. $$f(x)=x$$

    $$f(x)=1$$

  2. $$f(x)=\textrm{ln}(x)$$

    $$f'(x)=\frac{1}{x}$$

  3. $$f(x)=5$$

    $$f'(x)=0$$

Eksempel 2

📌

Vi vil bestemme den afledte funktion (differentialkvotienten) til funktionen $$f(x)=x^7$$.

Vi kan se at $$f$$ har form som $$x^a$$, som ifølge tabellen har differentialkvotient $$f'(x)=ax^{a-1}$$.

Vi får $$f'(x)=7x^{7-1}=7x^6$$.

Altså er $$f'(x)=7x^6$$.

Øvelse 2

📌

Bestem ved tabelopslag den afledte funktion for følgende funktioner:

  1. $$f(x)=x^5$$

    $$f'(x)=5x^4$$

  2. $$f(x)=2^x$$

    $$f'(x)=\textrm{ln}(2)\cdot 2^x$$

  3. $$f(x)=x^{-4}$$

    $$f'(x)=-4x^{-5}$$

  4. $$f(x)=e^x$$

    $$f'(x)=e^x$$