Middelværdi, varians og standardafvigelse
Ligesom vi i statistik talte om middelværdi, varians og standardafvigelse kan man også gøre det i sandsynlighedsregning.I statistik fortalte middelværdien noget om størrelsen af vores observationer og varians og standardafvigelsen fortalte om spredningen. I sandsynlighedsregning har vi ikke nogle observationer - i stedet har vi stokastiske variable. Middelværdien fortæller om hvilke værdier af den stokastisk variabel vi kan forvente og varians og standardafvigelse fortæller om hvilken spredning vi kan forvente.
Vi betegner middelværdien af en stokastisk variabel med $$\mu$$, variansen med $$\sigma^2$$ og standardafvigelsen med $$\sigma$$. Bogstavet $$\mu$$ udtales "my" og $$\sigma$$ udtales "sigma".
Øvelse 1
Lad $$X\sim b(10;0{,}5)$$
Kom med et gæt på middelværdien $$\mu$$.
Det er klart at $$\mu=5$$.
Øvelse 2 (svær)
Lad $$X\sim b(10;0{,}5)$$
Kom med et gæt på standardafvigelsen $$\sigma$$
Et gæt på at $$\sigma$$ lægger et sted mellem $$1$$ og $$3$$ er et godt gæt.
Sætning 1
Lad $$X\sim b(n,p)$$. Da er:
- Middelværdien givet: ved $$$\mu=n\cdot p$$$
- Variansen givet ved: $$$\sigma^2=n\cdot p\cdot (1-p)$$$
- Standardafvigelsen er givet: $$$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$$$
Eksempel 1
Vi vil nu udregne middelværdi og standardafvigelse for binomialfordeligen $$X\sim b(10;0{,}5)$$ fra øvelse 1 og 2. Vi har $$\mu=n\cdot p=10\cdot 0{,}5=5$$ og \begin{align}\sigma&=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\\&=\sqrt{10\cdot 0{,}5\cdot (1-0{,}5)}\\&=\sqrt{2{,}5}=1{,}58\end{align}
Øvelse 3
Lad $$X\sim b(8;0{,}4)$$.
-
Bestem $$n$$ og $$p$$.
$$n=8$$ og $$p=0{,}4$$
-
Bestem $$P(X=1)$$.
$$P(X=1)=8{,}96\%$$
-
Bestem middelværdi, varians og standardafvigelse for $$X$$.
$$\mu=3{,}2$$, $$\sigma^2=1{,}92$$ og $$\sigma=1{,}39$$.
Øvelse 4
Forstil dig du skal slå en terning 10 gange.
Hvor mange 6'ere vil du gætte på du får?
Det bedste gæt er 2.