Introduktion til binomialfordelingen

Et kast med en mønt kan betragtes som et Bernoulli-forsøg. Vi bestemmer selv hvad der er succes og fiasko. Vi kunne f.eks. vælge krone som succes og plat som fiasko. Vi får så at $$p=\frac{1}{2}$$ da det sandsynligheden for krone.

Et kast med en terning kan også betragtes som et Bernoulli-forsøg. Det kan umiddelbart virke lidt underligt, da man jo kunne tro der er 6 udfald når man kaster en terning. Men hvis vi f.eks. kun er interesseret i en 6'er får vi et Bernoulli-forsøg med $$p=\frac{1}{6}$$, da resten af mulighederne bliver betragtet som det samme udfald, nemlig fiasko.

Kaster vi en terning 10 gange er antallet af 6'ere binomialfordelt $$X\sim b(10,\frac{1}{6})$$, hvor, $$X$$ er antallet af 6'ere, $$p=\frac{1}{6}$$ og $$n=10$$.

En virksomhed som producerer en vare som de pakker i æsker med 12 i hver. Da det er mennesker der fremstiller varene er der fejl på nogle af dem. Ligesom på mathhx. Sandsynligheden for at der en defekt på en vare er 0,2%.

Vi er interesserede i, hvor mange varer der er defekter på i en pakke. Vi kan betragte, hvert vare som et Bernoulli-forsøg med $$p=0{,}002$$ (0,2%=0,002) og $$n=12$$.

Hvis vi kalder antallet af vare som har defekt for $$X$$ får vi $$X\sim b(12;0{,}002)$$

Vi bestemmer nu $$P(X=3)$$ for en binomialfordelt stokasisk variabel $$X\sim b(5;0{,}4)$$

$$$P(X=3)=K(5,3)\cdot 0{,}4^3 \cdot (1-0{,}4)^{5-3}$$$

Vi bestemmer $$K(5,3)$$ i excel ved at skrive "=KOMBIN(5;3)" og det giver 10. Vi regner videre

$$$P(X=3)=10\cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^{2}=0{,}2304=23{,4}\%$$$

Med udgangspunkt i eksempel 4 bestemmer vi nu sandsynligheden for at få en æske uden defekte varer:

$$$P(X=0)=K(12,0)\cdot 0{,}002^0 \cdot (1-0{,}002)^{12-0}$$$

Vi bestemmer $$K(12,0)$$ i excel ved at skrive "=KOMBIN(12;0)" og det giver 1 (hvorfor er det ikke overaskende?). Vi regner videre

$$$P(X=0)=1\cdot 0{,}002^0 \cdot 0{,}998^{12}$$$

Da $$0{,}002^0=1$$ får vi $$P(X=0)=0{,}998^{12}=0{,}976262$$. Atlså er der 97,6% chance for at få en æske uden defekte varer.

Vi vil nu beregne sandsynligheden for at der er højst er 1 defekt varer i hver æske (se eks. 4 ). Altså $$P(X\leq 1)$$.

Hvis $$X\leq 1$$ må det betyde at $$X=0$$ eller $$X=1$$ og da det er disjunkte hændelser kan vi finde sandsynligheden ved at sige $$$P(X\leq 1)=P(X=0) + P(X=1).$$$ Vi fandt $$P(X=0)$$ i eksempel 6 og $$P(X=1)$$ i øvelse 5 så vi får: \begin{align} P(X\leq 1)&=P(X=0) + P(X=1)\\&=0{,}976262+0{,}023447\\&=0{,}9997\\&=99{,}97\%\end{align} Vi kan altså være meget sikre på at der højst er en defekt pr. æske.

Vi kunne også være interesserede i at finde sandsynligheden for at der er mindst en defekt varer (se eks. 4). Det kunne vi gøre ved at sige $$$P(X=1)+P(X=2)+\cdots+P(X=12),$$$ men det ville jo være besværligt. Det er derfor nemmere at kigge på den komplementære hændelse som må være at der er ikke nogle defekte varer. Den sandsynlighed regnede vi ud i eksempel 4, hvor vi fik den til at være: 0,976262. Vi kan derfor udregne: \begin{align}P(\textrm{mindst en defekt vare})&=1-P(\textrm{ingen defekte vare})\\&=1-0{,}976262\\&=0{,}023738\\&=2{,}4\%\end{align}