Beviser
En sætning er altså en "rigtig påstand". Men hvorfra ved vi at påstanden er rigtig? Det ved vi fordi der til enhver sætning findes et bevis. Et bevis er en redegørelse for hvorfor påstanden i sætningen er rigtig. Beviset består af en række argumenter som i sidste ende fører til påstanden. Her er det ikke vigtigt hvor argumenterne kommer fra, men til gengæld er det afgørende at de er rigtige.
Hver gang man opskriver en sætning burde man bevise den, men på mathhx er beviserne gemt væk i selvstændige afsnit til sidst i kapitlerne for ikke at skræmme da n00bs.
Beviser skal ikke bruges til almindelig opgaveregning, men handler udelukkende om at redegøre for sætningerne. Derfor kan man godt følge med og regne afleverinsopgaverne uden at kunne beviserne. Derfor anbefales det at beviserne er det sidste man kigger på. Har man svært ved matematik og stræber man ikke efter høje karakterer, kan det anbefales at springe dem over.
Beviserne er pakket ind i mindre dele så man kan øve sig på dem et skridt ad gangen.
Formel for gennenemsnit for diskrete observationer
Første skridt
Vi starter med at skrive den sætning op, vi vil bevise:
Sætning 1
Gennemsnittet $$\bar{x}$$ kan bestemmes ved følgende formel: $$$\bar{x}=x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2+\cdots+x_k\cdot f_k,$$$ hvor $$x_1,x_2,\ldots,x_k$$, er de forskellige observationer og $$f_1,f_2,\ldots,f_k$$ er de tilhørende frekvenser.
Næste skridt
Bevis
Gennemsnittet betyder alle observationerne lagt sammen divideret med antallet af observationer. Har vi de forskellige observationer $$x_1,x_2,\ldots x_k$$ og de tilhørende hyppigheder $$h_1,h_2,\cdots, h_k$$, betyder det at gennemsnittet må være givet ved: $$$\bar{x}=\frac{x_1\cdot h_1+x_2\cdot h_2+\cdots+x_k\cdot h_k}{n}$$$
Næste skridt
Vi deler brøken op: $$$\bar{x}=\frac{x_1\cdot h_1}{n}+\frac{x_2\cdot h_2}{n}+\cdots+\frac{x_k\cdot h_k}{n}$$$
Næste skridt
Sætter $$x$$’erne ned foran: $$$\bar{x}=x_1\frac{h_1}{n}+x_2\frac{h_2}{n}+\cdots+x_k\frac{h_k}{n}$$$
Sidste skridt
Men hyppighed delt med samlet hyppighed er jo frekvens: $$$\bar{x}=x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2+\cdots+x_k\cdot f_k$$$ og sætningen er bevist.