Vækst og regression for potensfunktioner

Indtil videre har vi set på følgende former for vækst:

Funktionstype Vækst
Lineær $$y$$ vokser med en fast værdi, når $$x$$ vokser med en fast værdi
Eksponentiel $$y$$ vokser med en fast procent, når $$x$$ vokser med en fast værdi

Men hvad med potensfunktioner? Potensfunktioner vokser med en fast procent når $$x$$ vokser med en fast procent.

Vi kan altså udvide skemaet:

Funktionstype Vækst
Lineær $$y$$ vokser med en fast værdi, når $$x$$ vokser med en fast værdi
Eksponentiel $$y$$ vokser med en fast procent, når $$x$$ vokser med en fast værdi
Potens $$y$$ vokser med en fast procent, når $$x$$ vokser med en fast procent

Vi skal ikke komme nærmere ind på, hvorfor potensfunktioner vokser som de gør.

Øvelse 1 (meget svær)

📌

Antag at en potensfunktion $$f(x)$$ vokser fra 200 til 300 når $$x$$ vokser fra 10 til 20.

  1. Hvor stor er den procentvise vækst fra 200 til 300?

    50%

  2. Hvor stor er den procentvise vækst fra 10 til 20?

    100%

  3. Benyt de netop fundne resultater til at bestemme $$f(40)$$

    $$f(40)=450$$

VINK: I sidste spørgsmål får du brug for at udnytte hvad du ved om potens-vækst fra skemaet oven over

Regression med potensfunktioner

Ligesom vi har lavet lineær og eksponentiel regression, kan vi også lave regression med potensfunktioner. Det foregår på helt tilsvarende måde. Man vælger bare potensfunktioner som funktionstype.

Øvelse 2

📌

Kan du huske, at da vi lavede ekspontiel reggression kiggede vi på en udvikling som både kunne beskrives med en lineær og en eksponentiel funktion. Det var en spillers udvikling i et computerspil. Udviklingen kan ses her:

Klik for at hente Excel-ark

  1. Undersøg om udviklingen bedre kan beskrives med en potensfunktion.

    Ved regression med en potensfunktion har vi $$r^2=0{,}99$$ så en potensfunktion beskriver tallene bedst.

  2. Angiv forskriften $$f(x)$$ for den potensfunktion der bedst beskriver udviklingen.

    $$f(x)=774{,}95x^{1{,}3865}$$